(2021年整理)矢量分析与场论课后答案..

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矢量分析与场论

习题1

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

1xacost,ybsint 2x3sint,y4sint,z3cost

解： 1racostibsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。

2r3sinti4sintj3costk,其图形是平面4x3y0与圆柱面x2z232之交线，为一椭圆.

4．求曲线xt,yt2,z23t的一个切向单位矢量。 32解：曲线的矢量方程为rtitj23tk 3dr2i2tj2tk 则其切向矢量为dt 模为|dr|14t24t412t2 dt

drdri2tj2t2k/||于是切向单位矢量为dtdt12t26．求曲线xasin2t,yasin2t,zacost,在t4处的一个切向矢量。

2rasintiasin2tjacostk 解：曲线矢量方程为

drasin2ti2acos2tjasintk 切向矢量为dt在t4处,drdtt4aia2k 27。求曲线xt21,y4t3,z2t26t 在对应于t2 的点M处的切线方程和法平面方

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程。

解:由题意得M(5,5,4),曲线矢量方程为r(t1)i(4t3)j(2t6t)k, 在t2的点M处,切向矢量drdt[2ti4j(4t6)k]t24i4j2k

t222于是切线方程为

x5y5z4x5y5z4,即 442221于是法平面方程为2(x5)2(y5)(z4)0，即 2x2yz160

8．求曲线rtit2jt3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面x2yz4。 解:曲线切向矢量为dri2tj3t2k， ⑴ dt平面的法矢量为ni2jk，由题知

ni2tj3t2ki2jk14t3t20

1得t1,。将此依次代入⑴式，得

3|t1ijk,|t13111ijk3927

111故所求点为1,11,,,

3927

习题2

1．说出下列数量场所在的空间区域,并求出其等值面.

1u1;

AxByCzD2uarcsinzxy22

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解：1场所在的空间区域是除AxByCzD0外的空间。 等值面为

11C1或AxByCzD0（C10为任意常数），这是与平面

AxByCzDC1AxByCzD0平行的空间.

2场所在的空间区域是除原点以外的z2x2y2的点所组成的空间部分。

等值面为z2(x2y2)sin2c,(x2y20),

当sinc0时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外)； 当sinc0时，是除原点外的xOy平面。

x2y22．求数量场u经过点M1,1,2的等值面方程。

z解：经过点M1,1,2等值面方程为

x2y21212u1，

z2即zx2y2,是除去原点的旋转抛物面.

3．已知数量场uxy，求场中与直线x2y40相切的等值线方程。 解：设切点为x0,y0,等值面方程为xycx0y0，因相切，则斜率为 ky01，即x02y0 x02点x0,y0在所给直线上,有

x02y040

解之得y01,x02 故xy2

4．求矢量Axy2ix2yjzy2k的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为 Adr0，

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或

dxdydz 222xyxyzy有xdxydy,dxdz. xzx2y2C1,(C1,C2为任意常数) 解之得zC2x5.求矢量场Ax2iy2j(xy)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为dxdy11得C1， 22xyxyd(xy)d(xy)dzdz,.解得xyC2z. 即

xyzx2y2(xy)zdxdydz.

(xy)zx2y2由

按等比定理有

111C1,故矢量线方程为xy又M(2,1,1)求得C1,C21

2xyCz2111故所求矢量线方程为xy2.

xyz

习题3

1．求数量场ux2z32y2z在点M2,0,1处沿l2xixy2j3z4k的方向导数. 解:因lM2xixy2j3z4k在点M(2,0,1)处有

4i3k,其方向余弦为cosM43,cos0,cos. 55uuu2xz34,4yz0,3x2z22y212, xyz所以

u43•(4)0•0•124 l552．求数量场u3x2zxyz2在点M1,1,1处沿曲线xt,yt2,zt3朝t增大一方的方

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向导数。

解:所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为t1，从而在点M处沿所取方向,曲线的切向方向导数为dxdt1,Mdydt2tMt12,114dzdt3t2Mt13，

314其方向余弦为cosux,cos214,cos.

又

(6xzy)M7,MuyxM1,Muz(3x22z)MM5。

于是所求方向导数为ul(Muuu12324 coscoscos)7(1)5xyz14141414M3．求数量场ux2yz3在点M2,1,1处沿哪个方向的方向导数最大？ 解： 因

ugrad ul0grad ucos, l当0时，方向导数最大。

grad uM(uuuijk)xyzMM

(2xyz3ix2z3j3x2yz2k)4i4j12k,即函数u沿梯度grad uM4i4j12k方向的方向导数最大 最大值为grad uM176411. 4。画出平面场u1213(xy2)中u0,,1,,2的等值线,并画出场在M1(2,2)与点M2(3,7)处222的梯度矢量，看其是否符合下面事实:

（1)梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小;

（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。

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x2y20,x2y21,解:所述等值线的方程为：x2y22,x2y23,其中第一个又可以写为

x2y24,xy0,xy0为二直线,其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线

（如下图，

图中G1grad uM,

1G2grad uM,）

2由于grad uxiyj, 故

grad uM2i2j,

1grad uM3i7j,

2由图可见,其图形都符合所论之事实。

5．用以下二法求数量场uxyyzzx在点P1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。

1 直接应用方向导数公式； 2 作为梯度在该方向上的投影。

解:1点P的矢径ri2j3k,其模r14.其方向余弦为

cos114,cos214,cos314.又

ux

Pu(yz)P5,yul5Pu(xz)P4,z(xy)P3

P(P所以

uuucoscoscos)xyzP421433142214。114

2grad uP(Word 资料

uuuijk)5i4j3k, xyzP(完整版)矢量分析与场论课后答案..

r0ulr123ijk. r141414grad uP•r05P故

114421433142214 。 6，求数量场ux22y23z2xy3x2y6z在点O(0,0,0)与点A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦.又问在哪些点上梯度为0？

（2xy3）i(4yx2)j(6z6)k, 解：grad ugrad uO3i2j6k,grad uA6i3j0k,

其模依次为：32(2)2(6)27,62320235 于是grad uO的方向余弦为cosgrad uA的方向余弦为cos25326,cos,cos. 77715,cos0.

,cos2xy30,求使grad u0之点，即求坐标满足4yx20,之点，由此解得x2,y1,z1故所

6z60求之点为(2,1,1).

7．通过梯度求曲面x2y2xz4上一点M(1,2,3)处的法线方程。 解:所给曲面可视为数量场ux2y2xz的一张等值面，因此,场u在点 M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即

grad uM(2xy2z)ix2j2xkM2ij2k, 故所求的法线方程为

x1y2z3. 212

习题 4

1.设S为上半球面x2y2z2a2(z0),求矢量场rxiyjzk向上穿过S的通量。【提示：

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注意S的法矢量n与r同指向】

23rdSrdSrdSadSa2a2a.

n解：

SSSS2。设S为曲面x2y2z2a2(0zh),求流速场v(xyz)k在单位时间内下侧穿S的流量Q。 解:Q22(xyz)dxdy(xyxy)dxdy, 其中D为S在xOy面上的投影区域：SDxy222Q(rcosrsinr)rdrd h.用极坐标计算，有Dd(r2cosr2sinr3)dr002h20hh212[(cossin)]dh.3.设S是锥面

3423zx2y2在平面z4的下方部分,求矢量场A4xziyzj3zk向下穿出S的通量。

解:略

4。求下面矢量场A的散度。

（1）A(x3yz)i(y2xz)j(z3xy)k; （2）A(2z3y)i(3xz)j(y2x)k; (3)A(1ysinx)i(xcosyy)j. 解:（1）div A3x22y3z2 (2）div A0

（3）div Aycosxxsiny1

5。求div A在给定点处的值：（1）Ax3iy3jz3k在点M(1,0,1)处； （2）A4xi2xyjz2k在点M(1,1,3)处；

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（3）Axyzr(rxiyjzk)在点M(1,3,2)处； 解：(1）div AM(3x23y23z2)M6 （2)div AM(42x2z)M8

（3）div Axyzdiv rgrad(xyz)r3xyz(yzixzjxyk)(xiyjzk)

6xyz， 故div AM6xyzM36。

6。已知uxy2z3,Ax2ixzj2yzk,求div (uA)。 解:div A2x2y

grad uy2z3i2xyz3j3xy2z2k

故div (uA)udiv Agrad u•A

xy2z3(2x2y)(y2z3i2xyz3j3xy2z2k)(x2ixzj2yzk) 2x2y2z32x2y3z3x2y2z32x2yz46xy3z3 3x2y2z38x2y3z32x2yz4. 7．求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量: (1)Ax3iy3jz3k,S为球面x2y2z2a2;

x2y2z2（2）A(xyz)i(yzx)j(zxy)k,S为椭球面2221.

abc解：（1）AdSdiv AdVs2223(xyz)dV

其中为S所围之球域x2y2z2a2今用极坐标xrsincos,yrsinsin,zrcos计算，有3r2rsindrdd3220125dsindrdra

005a44（2)AdSdiv AdV3dV3abc4abc

3S

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习题五

1． 求一质点在力场Fyizjxk的作用下沿闭曲线l:xacost,yasint,

za(1cost)从t0到t2运动一周时所做的功。

解：功WFdlydxzdyxdz

ll 0a2sin2ta2(1cost)costa2costsintdt

2 a20(1costcostsint)dt2a2

2。求矢量场AyixjCk(C为常数)沿下列曲线的环量： (1）圆周x2y2R2,z0； (2）圆周(x2)2y2R2,z0.

解：（1）令xRcos，则圆周x2y2R2,z0的方程成为xRcos,yRsin,z0，于是环量

2A•dlydxxdyCdzll20(RsinRcos)d2R.

2222（2）令x2Rcos，则圆周(x2)2y2R2,z0的方程成为

xRcos2,yRsin,z0,于是环量

A•dlydxxdyCdzll20[R2sin2(Rcos2)Rcos]d

20(R22Rcos)d2R2

3。用以下两种方法求矢量场Ax(zy)iy(xz)jz(yx)k在点M（1，2，3）处沿方向

ni2j2k的环量面密度。

（1）直接应用环量面密度的计算公式； （2）作为旋度在该方向上的投影。 解：（1）n0122n122ijk,故n的方向余弦为cos,cos,cos.

333n333Word 资料

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又Px(zy),Qy(xz),Rz(yx)根据公式，环量面密度

nM[(RyQz)cos(PzRx)cos(QxPy)cos]M

12258619[(zy)(xz)(xy)]M

3333333(2）rot AM[(zy)i(xz)j(xy)k]M5i4j3k,于是

nM122rot AM•n0(5i4j3k)•(ijk)

33358619 3333 4．用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 （1）A(3x2yz)i(y3xz2)j2xyzk; (2）Ayz2izx2jxy2k; （3）AP(x)iQ(y)jR(z)k.

6xy解：（1）DAz22yz3x23y22xz122xz,故有div A6xy3y2xy2xy(8x3y)y,

22rot A4xzi(12yz)j(z3x)k.

0z22yzx2,故有div A0000, （2)DA2xz0y22xy0rot Ax(2yx)iy(2zy)jz(2xz)k.

P'(x)00Q'(y)0,故有div AP'(x)Q'(y)R'(z). （3）DA000R'(z)rot A0。

5。已知uexyz,Az2ix2jy2k,求rot uA. 解：rot uAu rotAgrad uA，

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02z0DA2x00,有rot A2yi2zj2xk,u rotA02y0grad uexyz(yzixzjxyk),grad uAexyz(2yi2zj2xk),

iexyzyzz2jxzx2kxyexyz[(xy2zx3y)i(xyz2y3z)j(x2yzxz3)k], y2rot uAexyz[(2yxy2zx3y)i(2zxyz2y3z)j(2xx2yzxz3)k]

习题六

1。证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。 (1)Aycosxyixcosxyjsinzk;

（2）A(2xcosyy2sinx)i(2ycosxx2siny)j. 解:（1）记Pycosxy,Qxcosxy,Rsinz.

i则rot AxPjyQk0i0j[(cosxyxysinxy)(cosxyxysinxy)]k0 zR所以A为有势场。下面用两种方法求势函数v:

10公式法：vP(x,0,0)dxQ(x,y,0)dyR(x,y,z)dzC1

000xyz 00dx0xcosxydy0sinzdzC1 0sinxycosz1C1coszsinxyC. 20不定积分法：因势函数v满足Agrad v，即有

vxycosxy,vyxcosxy,vzsinz,

xyz将第一个方程对x积分，得vsinxy(y,z),

对y求导，得vyxcosxy'y(y,z),与第二个方程比较，知

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'y(y,z)0,于是(y,z)(z),从而vsinxy(z).

再对z求导,得vz'(z),与第三个方程比较，知'(z)sinz,故(z)coszC. 所以vcoszsinxyC.

(2）记P2xcosyy2sinx,Q2ycosxx2siny,R0.

i则rot AxPjyQk0i0j[(2ysinx2xsiny)(2xsiny2ysinx)]k0所以A为有势zR场。下面用两种方法求势函数v:

1公式法:vP(x,0,0)dxQ(x,y,0)dyR(x,y,z)dzC

0000xyz 02xdx0(2ycosxx2siny)dy00dzC

x2y2cosxx2cosyx2Cy2cosxx2cosyC. 20不定积分法：因势函数v满足Agrad v，即有

xyzvx2xcosyy2sinx,vy2ycosxx2siny,vz0,

将第一个方程对x积分，得vx2cosyy2cosx(y,z),

对y求导，得vyx2siny2ycosx'y(y,z)，与第二个方程比较,知 'y(y,z)0,于是(y,z)(z),从而vx2cosyy2cos(z).

再对z求导，得vz'(z),与第三个方程比较，知'(z)0，故(z)C. 所以vx2cosyy2cosxC.

2.下列矢量场A是否保守场?若是，计算曲线积分Adl：

l

(1)A(6xyz2)i(3x2z)j(3xz2y)k,l的起点为A(4,0,1),终点为B(2,1,1); (2)A2xzi2yz2j(x22y2z1)k,l的起点为A(3,0,1),终点为B(5,1,3).

6y解：(1)DA6x3z2Word 资料

3z21,有rot A16xz6x0[(1)(1)]i(3z23z2)j(6x6x)k0,故A为保守

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场。因此,存在

A•dl的原函数u.按公式 uxx0P(x,0,0)dxQ(x,y,0)dyR(x,y,z)dz

00yz00yz00dx3x2dy(3xz2y)dz3x2yxz3yz,于是

2Adl(3xlyxzyz)3B(2,1,1)A(4,0,1)7。

02x2z（2）DA02z24yz,有rot A(4yz4yz)i(2x2x)j0k2x4yz2y2u。按公式 存在A•dl的原函数uP(x,0,0)dxQ(x,y,0)dyR(x,y,z)dz

000xyz0,故A为保守场。因此，

x00dx0dy(x22y2z1)dzx2zy2z2z,于是

00yzAdl(xl2zyzz)22B(5,1,3)A(3,0,1)73.。

3。求下列全微分的原函数u：

(1）du(x22yz)dx(y22xz)dy(z22xy)dz; （2）du(3x26xy2)dx(6x2y4y3)dy.

解:由公式u0P(x,0,0)dx0Q(x,y,0)dy0R(x,y,z)dzC （1）u0x2dx0y2dy0(z22xy)dzC

1 3xxyzxyzx313y31313z2xyzC(x33yz)2xyzC；

33（2）u03x2dx0(6x2y4y3)dyCx33x2y2y4C

9。证明矢量场A(2xy)i(4yx2z)j(2y6z)k为调和场,并求其调和函数。

210解：DA142,有div A24-60,rot A(2-2)i(00)j(11)k0故A为调和

026Word 资料

y(完整版)矢量分析与场论课后答案..

场.

其调和函数u由公式u0P(x,0,0)dx0Q(x,y,0)dy0R(x,y,z)dzC

xyzx02xdx(4yx)dy(2y6z)dzCx22y2xy2yz3z2C.

00yzWord 资料