全国卷理科数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.3i（）

1iA．12iB．12iC．2iD．2i

2.设集合1,2,4，xx24xm0．若I1，则（） A．1,3B．1,0C．1,3D．1,5

3.我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A．90B．63C．42D．36

2x3y305.设x，y满足约束条件 2x3y30，则z2xy的最小值是（）

y30A．15B．9C．1D．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A．12种B．18种C．24种D．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙

的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的a1，则输出的S（） A．2B．3C．4D．5 9.若双曲线

x2y2C:221（a0ab，b0）的一条渐近线被圆

x22y24所截得的弦长为

2332，则C的离心率为（）

A．2B．3C．2D．

CCC11，C120o，10.已知直三棱柱C11C1中，2，

则异面直线1与C1所成角的余弦值为（） A．

32B．155C．105D．33

11.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1`的极值点，则f(x)的极小值为（）

A.1B.2e3C.5e3D.1

12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，

uuuruuuruuur则PA(PBPC)的最小值是（）

A.2B.3C.4D.1

23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D． 14.函数fxsin2x3cosx3（x）的最大值是． 0,421． k1Skn15.等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则16.已知F是抛物线C:y28x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中点，则F．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(AC)8sin2B2．

(1)求cosB

(2)若ac6,ABC面积为2,求b. 18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养

殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认

为箱产量与养殖方法有关： 旧养殖法 新养殖法 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位

数的估计值（精确到0.01） P（𝐾2≥𝑘） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 k 19.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面

ABCD，ABBC1AD,BADABC90o,E是PD的中点.

2（1）证明：直线CE//平面PAB

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o，求二面角M-AB-D的余弦值 20.（12分）

设O为坐标原点，动点M在椭圆垂线，垂足为N，点P(1) (2)

x2C：y21上，过

2M做x轴的

uuuruuuur满足NP2NM.

求点P的轨迹方程； 设点Q在直线x=-3

uuuruuur上，且OPPQ1.证明：过点

P且垂直

于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.（12分）

已知函数f(x)ax3axxlnx,且f(x)0. （1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)23.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求OAB面积的

3最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a0,b0,a3b32，证明： （1）(ab)(a3b3)4； （2）ab2．

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

一、选择题

1.D2.C3.B4.B5.A6.D 7.D8.B9.A10.C11.A12.B 二、填空题 13.1.9614.115.三、解答题 17.解：

（1）由题设及ABC得sinB8sin2，故

22n16.6 n1上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0 解得cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=15 1715814得sinB，故SABCacsinBac 171721717 2又SABC=2，则ac由余弦定理学科&网及ac6得 所以b=2

18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg” 由题意知PAPBCPBPC 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 故PB的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为 故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

旧养殖62 法 新养殖34 法 由于15.7056.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

66 38 箱产量50kg 箱产量≥50kg （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

0.0040.0200.04450.340.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50+0.5-0.34． ≈52.35（kg）0.06819.解：

（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为

E为

PD的中点，所以

1AD 2EFPAD,

EF=1AD2,由

BADABC90得BC∥AD，又BC所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF． 又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB （2）

由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，uuuruuurPC(1，0，3),AB(1，0，0)则

3)，

uuuruuur

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n(0，0，1)是底面

ABCD的法向量，所以

uuuurcosBM,nsin450，z(x1)2y2z22 2即（x-1）2+y2-z2=0 又M在棱PC

uuuuruuur上，学|科网设PMPC,则

2x=1+x=1-2y=1(舍去)，y=1由①，②得6zz22262

所以设muuuur2626M1-,1，，从而AM1-,1， 2222=x,y,z是平面ABM的法向量，则

000所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,nmgnmn105

因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解

（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设由NPuuuruuuur2NM105 uuuruuuurN（x0,0）,NPxx0,y,NM0,y0

得x0=x,y02y 2x2y21 22因为M（x0,y0）在C上，所以

因此点P的轨迹方程为x2y22

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则

uuuruuuruuuruuurOQ3,t,PF1m,n,OQgPF33mtn，

uuuruuur由OPgPQ1得-3mm2tnn21，又由（1）知m2+n2=2，故

3+3m-tn=0

uuuruuuruuuruuurOQgPF0OQPF所以，即

.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于

OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.解：

+ （1）fx的定义域为0，设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于gx0

因为g1=0，gx0,故g'1=0,而g'xa1,g'1=a1,得a1 x若a=1，则g'x=11.当0＜x＜1时，g'x＜0,gx单调递减；当x

x＞1时，g'x＞0，gx单调递增.所以x=1是gx的极小值点，故

gxg1=0

综上，a=1 （2）由（1）知fx设hxx2xxlnx,f'(x)2x2lnx

2x2lnx,则h'(x)21x

111当x所以hx在0,时，h'x＜0；,+时，h'x＞0，0,2221单调递减，在,+单调递增

2当x1又he＞0,h＜0,h1221所以hx在0，0,有唯一零点

21x0，在,+2有唯一零点1，且当x当x0,x0时，hx＞0；当xx0,1时，hx＜0，

1,+时，hx＞0.

因为f'x由f'x0hx，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

0得lnx02(x01),故fx0=x0(1x0)

由x00,1得f'x0＜14

1因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e所以e20,1,f'e10得 ＜fx0＜2-2

22.解：

（1）设P的极坐标为，＞0，M的极坐标为1，1＞0，由题设知 由OMgOP=16得C2的极坐标方程=4cos＞0

2因此C2的直角坐标方程为x2y24x0 （2）设点B的极坐标为B，B＞0,由题设知

OA=2，B=4cos,于是△OAB面积

当=-12时，S取得最大值2+3 所以△OAB面积的最大值为2+3 23.解： （1） （2）因为 所以a+b38，因此a+b≤2.