综合练习试卷52 (题后含答案及解析)
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正确答案： 涉及知识点：综合
2． 一架巡逻直升机在距地面3 km的高度以120 km／h的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车．通过雷达测出直升机与汽车间的距离为5 km，并且此距离以160 km／h的速率减少．试求出汽车行进的速度．
正确答案：如图2．2所示，设A、C分别为直升机与汽车的位置，x为两者之间距离，y为两者之间水平距离． 由勾股定理得32＋y2＝x2， ①等式两边对t求导2y×yˊt＝2x×xˊt，即 y×yˊt＝x×xˊt． 已知当x＝5时，xˊt＝－160，由①式易得y＝4，于是有即直升机与汽车两者之间的水平距离以200km／h的速度减少，因为直升机的水平速度为1 20 km／h，故汽车的(水平)速度应为200－120＝80 km／h． 涉及知识点：综合
3． 设两个正数x1与x2的乘积是定数a，求xm1＋xn2的最小值．
正确答案： 涉及知识点：综合
4． 求下列曲线所围成的图形的面积：(1)ρ＝asin3φ； (2)ρ2＝a2cos2φ．
正确答案： 涉及知识点：综合
5． 试确定下面哪个函数是哪个方程的解:(1)y〞＝2yˊ＋y＝0； (i)y＝y(x)由方程x2－xy＋y2＝1所确定的隐函数；(2)(x－2y)yˊ＝2x－3，； (ii)y＝xex；(3)(1十xy)yˊ＋y2＝0；(iii)y＝y(x)为由方程xy＋lny＝0所确定的隐函数．
正确答案：对x2－xy＋y2＝1，两边求导有2x－y＋xyˊ＋2yyˊ＝0，即(x－2y)yˊ＝2x－y，故(i)是(2)的解． 对xy＋lny＝0两边求导有xyˊ＋y＋y／x＝0，即(1＋xy)yˊ＋y2＝0，故(iii)是(3)的解． 将y＝xe2代入(1)的左端有 (xex)〞－2(xex)ˊ＋xex＝ex＋ex＋xex－2(xex＋ex)＋xex＝2ex＋2xex－2(xex＋ex)＝0，故(ii)是(1)的解． 涉及知识点：综合
6． 已知某曲线经过点(1，1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程．
正确答案：设曲线方程为y＝y(x)，则y｜x＝1＝1，且其在任意点(x，y)处的切线方程可表示为Y－y＝yˊ(X－x)，其在纵轴上截距Y＝y－xyˊ． 涉
及知识点：综合
7． 设准线方程为，母线的方向向量为｛－1，0，1｝，求该柱面方程．
正确答案：柱面的母线方程可表示为(其中(x，y，z)为母线上的点，(xo，yo，zo)为准线上的点) 涉及知识点：综合
8． (1)证明三个向量共面的充要条件是其中一个向量可以表示为另两个向量的线性组合．(2)设a＝(ax，ay，az)，b＝(b，by，bz)，且a×b≠0，证明：过点Mo(x，yo，zo)，并且以a×b为法向的平面具有如下形式的参数方程：
正确答案：(1)①充分性 若一向量为其余两向量的线性组合，不妨设c＝λa＋kb，则cx＝λax＋kbxcy＝λay＋kby，cz＝λaz＋kbz，于是 涉及知识点：综合
9． 利用全微分求下述各数的近似值：
正确答案： 涉及知识点：综合
10． 求下列函数在约束方程下的最大、最小值：(1)f(x，y)＝2x＋y，x2＋4y2＝1；(2)f(x，y，z)＝xyz，x2＋2y2＋3z2＝
正确答案： 涉及知识点：综合
11． 设D＝[a，b]×[c，d]，证明：
正确答案： 涉及知识点：综合
12． 求密度均匀的圆柱体x2＋y2≤a2，｜z｜≤h对于直线x＝y＝z的转动惯量．
正确答案：直线x＝y＝z的方向向量l＝(1，1，1)，设P(x，y，z)在圆柱体内任一点，则P到x＝y＝z的距离为d，易知Po(1，1，1)为直线上的点． 涉及知识点：综合
13． 设u(x，y，z)，v(x，y，z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，依次表示u(x，y，z)，v(x，y，z)沿∑的外法线方向的方向导数．证明：其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面．
正确答案： 涉及知识点：综合
14． 用比较审敛法判别下列级数的收敛性：
正确答案： 涉及知识点：综合
15． 利用已知函数的幂级数展开式，求下列幂级数的和函数，并指出其收敛区间：
正确答案： 涉及知识点：综合
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