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上海市浦东新区2020届高三数学二模试卷

来源：筏尚旅游网

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浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测

高三数学试卷

2020.05

一、填空题（本大题满分

分．

分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生

4分或5分，否则一律得零

应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得

1．设全集U

0,1,2，集合A

0,1，则CUA

．

2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为

3. 若函数4. 若1

fxx，则f

1px

．

i是关于x的方程x

．

0的一个根（其中

为虚数单位，

p,q，则R）

5.若两个球的表面积之比为

1:4则这两个球的体积之比为

．

6.在平面直角坐标系

xOy中，直线l的参数方程为

t1t

t为参数，圆O的参数方程

．

为

cossin

为参数，则直线l与圆O的位置关系是

7. 若二项式

展开式的第

x4项的值为42，则limny

x，且右焦点与抛物线

．

8. 已知双曲线的渐近线方程为曲线的方程是____________. 9. 从mm出的则m

10. 已知函数fx为

．

4x的焦点重合，则这个双

N，且m

．

4个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表示选

2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，

alog2x

2a2的零点有且只有一个，则实数a的取值集合

11. 如图，在

ABC中，AP

BAC13

，D为AB中点，P为CD

332

，

上一点，且满足

tAC

AB，若

ABC的面积为

则

AP的最小值为

an,bn满足a1bn

12.已知数列

1，对任何正整数3

n均有an

anbn

b，

为

，设cn

1an

1bn

，则数列

的前2020项之和

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须

5分，否则一律得零分．

在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得

13．若x、

y的最大值为(

)

y满足

y1，则目标函数f

A．

B．

C．3

14. 如图，正方体上的点，在平面

A．有一条

A1B1C1D1

ABCD中，E、F分别为棱A1A、BC

)

ADD1A1内且与平面DEF平行的直线(

B．有二条D. 不存在

C．有无数条

15.已知函数

fxcosxcosx.给出下列结论：

②函数

①

fx是周期函数；

fx1

fx图像的对称中心（k+k

Z；

,0)(kZ)；

③若

fx2，则x1sin2xsin2x

(

)

④不等式

cos2xcos2x的解集为

,kZ

则正确结论的序号是A．

①②

B．②③④C．①③④D. ①②④

16. 设集合

1,2,3,...,2020，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小A的直径. 那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为

B．2

元素之差称为集合A．

( )

711949

1949

C．

371949

721949

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有

2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．

（1）求此几何体的体积；（2）设直线

P是弧EC上的一点，且BPBE，求异面

FP与CA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．（本题满分14分）本题共有

已知锐角于

2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交

、的顶点与坐标原点重合，

P、Q两点，若P、Q两点的横坐标分别为

cos

的大小；

31025

、．105

（1）求

（2）在

ABC中，a、b、c为三个内角A、B、C对应的边长，若已知角

，且a

，

tanA

bcc，求

的值．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

疫情后，为了支持企业复工复产，某地决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．两个条件：①补助款低于原纳税额

方案要求同时具备下列

fx（万元）随企业原纳税额

x（万元）的增加而增加；②补助款不

x（万元）的50%．经测算决定采用函数模型

4（其中

b为参数）作为补助款发放方案．

（1）判断使用参数

b12是否满足条件，并说明理由；

b的取值范围．

（2）求同时满足条件①、②的参数

20．（本题满分16分）本题共有

题满分6分.

3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

在平面直角坐标系

xOy中，F1，F2分别是椭圆

A、B，且AF1

：2

1a0的左、右焦点，

直线l与椭圆交于不同的两点

（1）求椭圆（2）已知直线求直线

的方程；

AF2

22.

l经过椭圆的右焦点

F2，P,Q是椭圆上两点，四边形

ABPQ是菱形，

l的方程；

l不经过椭圆的右焦点

F2，直线AF2，l，BF2的斜率依次成等差数列，

（3）已知直线求直线

l在y轴上截距的取值范围.

21．（本题满分18分）本题共有

题满分8分.

若数列

3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

对任意连续三项

ai,ai1,ai

，均有

aiai

0，则称该数列

为“跳跃数列”

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1,2,3,4,5,

；

1111②等比数列：1,,,,

24816

；

（2）若数列

an满足对任何正整数

n，均有an

an1

a10.证明：数列an是跳跃数

列的充分必要条件是

（3）跳跃数列

an满足对任意正整数

n均有an

，求首项a1的取值范围.

浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测

高三数学答案及评分细则

2020.05

一、填空题（本大题满分

分．

分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生

4分或5分，否则一律得零

应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得

1．设全集U

0,1,2，集合A0,1，则CUA

．

2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为

100．

3. 若函数4. 若1

fxx，则f

1px

．

i是关于x的方程x

．

0的一个根（其中

i为虚数单位，p,qR），则

5.若两个球的表面积之比为

1:4则这两个球的体积之比为1:8

．

6.在平面直角坐标系

xOy中，直线l的参数方程为

t1t

t为参数，圆O的参数方程

相交

．

为

cossin

为参数，则直线l与圆O的位置关系是

7. 若二项式

展开式的第

x4项的值为42，则limny

x，且右焦点与抛物线

5．

8. 已知双曲线的渐近线方程为曲线的方程是__2x9. 从mm出的则m

4x的焦点重合，则这个双

1__________.

N，且m10

4个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表示选

．

2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，

10. 已知函数fx为

{1}

．

alog2x

2a2的零点有且只有一个，则实数a的取值集合

11. 如图，在

ABC中，BACtAC

，D为AB中点，P为

ABC的面积为

CD上一点，且满足APAB，若

332

，则AP的最小值为

12.已知数列

an,bn满足a1bn

1，对任何正整数3

n均有an

anbn

b，

为

anb

，设cn

1an

1bn

，则数列

cn的前2020项之和

【解】

2an+bnan

，cn

bn2，23

an1bn2anbn

3，S2020

2021

二、选择题（本大题满分

20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须

5分，否则一律得零分．

在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得

13．若x、y满足

y的最大值为( B

)

y1，则目标函数f

A．

B．

C．

14. 如图，正方体上的点，在平面

A．有一条

A1B1C1D1

ABCD中，E、F分别为棱A1A、BC

)

ADD1A1内且与平面DEF平行的直线( C

B．有二条D. 不存在

C．有无数条

16.已知函数①

fxcosxcosx.给出下列结论：

②函数

fx是周期函数；

fx1

fx图像的对称中心（k+k

Z；

,0)(k

Z)；

③若

fx2，则x1sin2xsin2x

④不等式

cos2xcos2x的解集为

5,k8

则正确结论的序号是A．

①②

(

)

C．

①③④

①②④

B．②③④

16. 设集合

S1,2,3,...,2020，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小A的直径. 那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为

B．2

元素之差称为集合A．

(

)

7119491949

C．

371949

721949

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有

2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．

（1）求此几何体的体积；（2）设直线

P是弧EC上的一点，且BPBE，求异面

FP与CA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【解答】（1）因为S扇形EBC

122

．…………（4分）

所以，VSh

．………（7分）

（2）如图所示，以点角坐标系．则

B为坐标原点建立空间直

A0,0,2，F2,0,2，P0,2,0，

C1,3,0．FP

2,2,2，

所以，

AC1,3,2.…………………（11分）

设异面直线

FP与CA所成的角为

，则

cos

FPACFP

.…………（13分）

所以，异面直线

FP与CA所成角为

arccos

.…………（14分）

18．（本题满分14分）本题共有

已知锐角于

2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交

、的顶点与坐标原点重合，

P、Q两点，若P、Q两点的横坐标分别为

cos

的大小；

31025

、．105

（1）求

（2）在

ABC中，a、b、c为三个内角A、B、C对应的边长，若已知角

，且a

，

tanA

bcc，求

31010

的值．

【解答】（1）由已知cos=

，sin=

1010

，cos255

2551010

,sin

555

…………(2分)

因而cos(+)=cos

cossinsin

31010,cosC

…………（6分）

（2）法一：（正弦定理）由已知，C

4221

222

,sinC222

7210

………….(7分) 2

sinBsin(AC)sin(

…………(10分)

sinA

sinC

bcsinBsinC

9257210

…………(14分)

法二：（余弦定理）a

2bccosA，

2c4c5

721022

因而由已知得b

2bccosA=bc

sinBsinC

法三：（余弦定理、正弦定理）cosB

cos(

210ccosB

bcosC

2c10

2b2

因而由余弦定理得：

2accosB2abcosC

同理

2bccosA2abcosC

bccosAacosC

4c52a2

得a

325

四

c,b

7c5

射

得=

定

理

法：（影）可得

accosBbcosC

2c102b2

，

bccosAacosC

下同解法二

19．（本题满分14分）本题共有

2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

方案要求同时具备下列

fx（万元）随企业原纳税额

x（万元）的增加而增加；②补助款不

x（万元）的50%．经测算决定采用函数模型

4（其中

b为参数）作为补助款发放方案．

（1）判断使用参数

b12是否满足条件，并说明理由；

b的取值范围．

，所以当b

（2）求同时满足条件①、②的参数

【解答】（1）法一：因为当

b12时，f

12时不满足条件②．

…………（6分）

法二：由条件②可知

12x

xx4,12．

6分）

因为

34,12，所以当b12时不满足条件②．…………（

法三：由条件②可知

在

3,6上恒成立，所以b

max

，

解得b

394

，所以当b12时不满足条件②．…………（

2分)

6分）

(注：如果证明了当

b12时满足条件①得

（2）法一：由条件①可知，

fx在3,6上单调递增，则对任意b

x24

bx2

x1x2

34b

x1x26时，

有

f(x1)f(x2)

x14b

x114

(x1x2)

4x1x2

0恒成立，

即x1x24b0

x1x2恒成立，所以b

9412

；…………（10分）

由条件②可知，

，即不等式

x在3,6上恒成立，

所以b

max

394

…………（13分）

综上，参数

b的取值范围是

939

．…………（14分）,44bxb

4在3,6上单调递增，

法二：由条件①可知，

所以当b0时，满足条件；当94

0时，得2

b0，

所以b

…………（10分）

由条件②可知，

b3b6

，即不等式

4在

3,6

上恒成立，所以

，得

394

…………（13分）

综上，参数

b的取值范围是

939

．…………（14分）,44

3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

20．（本题满分16分）本题共有

题满分6分.

在平面直角坐标系

xOy中，F1，F2分别是椭圆

A、B，且AF1

：2

1a0的左、右焦点，

直线l与椭圆交于不同的两点

（1）求椭圆（2）已知直线求直线

的方程；

AF2

22.

l经过椭圆的右焦点

F2，P,Q是椭圆上两点，四边形

ABPQ是菱形，

l的方程；

l不经过椭圆的右焦点

F2，直线AF2，l，BF2的斜率依次成等差数列，

（3）已知直线求直线

l在y轴上截距的取值范围.

AF1+AF2=22可得2a

【解答】（1）由

22，从而a2，

椭圆方程为

y1. …………

(4分)

（2）由于四边形

ABPQ是菱形，因此AB//PQ且|AB||PQ|.

由对称性，F1在线段PQ上. 因此，AP,BQ分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得设l:x1

BQ，即OAOB. …………(6分)

(m2

my，与椭圆方程联立可得2mm

2)y

2my1

(8分)

0，设

,因此

y1y2

，y1y2

. …………

由x1x2y1y2

0，可得(m

1)y1y2m(y1y2)1

2mm

10，

解得m2，即直线方程为

2y10.…………(10分)

2k，可得

（3）设l:ykx

b，由k1

y1x11

y2x21

2k，

kx1b即

x11kx2bx21

(b2)

2k.

k)(x10. kx(2k

化简可得2kx1x2即(b若

x2)2b2k(x11)(x21)，

k)(x1x2

bk0，则l:y

k经过F2，不符，因此x1

1)x

x20.

2.…………(12分)

联立直线与椭圆方程，

4kbx(2b

因为

8(2k

0①

由x1

4kb2k

12k

2，可得，b

②…………(14分)

将②代入①，4k

1,k

；再由b

(2k

)，

可得，

b(,22)(22,). …………(16分)

21．（本题满分18分）本题共有

题满分8分.

若数列

3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

对任意连续三项

ai,ai1,ai

，均有

aiai

0，则称该数列

为“跳跃数列”

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1,2,3,4,5,

；

1111②等比数列：1,,,,

24816

（2）若数列

；

an1

an满足对任何正整数

n，均有an

a10.证明：数列an是跳跃数

列的充分必要条件是

（3）跳跃数列

an满足对任意正整数n均有an

，求首项a1的取值范围.

(2分)

【解答】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；…………

②等比数列：1,

1111,,,,...是跳跃数列. …………(4分) 24816

（2）必要性：若a1若a1

1，则an是单调递增数列，不是跳跃数列；

. …………

(6分)

1，an是常数列，不是跳跃数列

充分性：下面用数学归纳法证明：若0

1，则对任何正整数n，均有

a2n

a2n,a2na2n

a2n1成立.

（1）当n1时，，a2a1a

a1，a3a1，

a2，

Qa2a1

1,a3a1…………(8分)

Qa2a3a1,a

a21

a,a3

a2k

a11

a4a2，所以n1命题成立…………

a2k

(9分)

（2）若n则

k时，a2k

a2k

a2k,a2ka2k

，

a2k

a2ka2k

，

a2k

，所以当

nk1时命题也成立………

(10

分)

根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足列.

aiai

0，故an是跳跃数

（3）an

19a

5an，

1251125

5an

1919a

5an，…………

(11分)

anan

319

5an，…………

10125

21012

(12分)

[1]若an

an，则an

an，此时an

,2；…………

(14分)

[2]若an

an，则an

an，此时an

101

；…………(16分)

若an

510125

,2，则an

，所以

2,2.

若an

1012

，则an

2,2，所以an

3,21.

所以a1

2,2U3,21，

n，均有an

此时对任何正整数

2,2U3,21…………(18分)

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上海市浦东新区2020届高三数学二模 试卷

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