第１０卷第３期 Ｖｏ１．１０ Ｎｏ．３ 读与写杂志 Ｒｅａｄ ａｎｄ Ｗｒｉｔｅ Ｐｅｒｉｏｄｉｅａｌ ２０１３年３月 Ｍａｒｃｈ ２０１３ 含变限积分的极限求法探讨 夏滨 （四川建筑职业技术学院 四川 德阳６１８０００） 摘要：本文主要通过一些典型例题对含变限积分的极限求法进行了探讨。包括：用洛必达法则求之、用等价无穷小代换求之、使用积 分中值定理求之等 关键词：变限积分极限 中图分类号：Ｇ６４２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２～１５７８（２０１３）０３—００５０—０２ 设函数／ｉｘ）在区ｆ￣７１ｏ，ｂ］上连续，当ｘ取［ａ，ｂ］上任一定值时， ｆ Ｘ ｒ Ｉ ｆ（ｔ）ｄｔ有唯一确定值与对ｘ应。因此，Ｊ ｆ（ｆ） 在Ｋｆ－￣］［ａ’ｂ】上 确定了一个Ｘ的函数，称它为变上限定积分所确定的函数。即变 ｒ ｄ）， ： 二 （ｘ≠０）。 由题设，Ｉ／ｏ）：ｌｉｍ ：ｌｉｍ盟． Ａ．０：０ ｘ— Ｘ 上限定积分。记为４）（ｘ）ｌ ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘＥ【Ｑ，ｂ】。含变限积分的极限问 题是求极限的一个难点，下面笔者就对含变限积分的极限求法 做～探讨。 １ 用洛必达法则求之 ＝由导数定义， ，（０）： ｘ— 一掣Ｕ ｘ： — Ｕ ＝ Ａ， ｌｉ ｍ ｘ— 二 带有变限积分的 型或 型的极限问题一般用洛必达法 Ｕ ｗ 则求之。这是求含变限积分的极限的一般方法。 ３ ｘ ’ ‘、 ２ ３ ～ 由 ）＝ｌｘｉ Ｘ ． ：Ａ一争： ）， Ｚ ｘ＜０，故知巾 （ｘ）在ｘ＝－０处连续。 例１：设函数ｆ（ｘ）＝ ，Ｘ０ ．。ｆ旦 毗 ０ 解： ｆ（ｘ）＝ｌ—求ｌｉｍ／Ｉｘ）。 ｘ—哪 ２ 用等价无穷小代换求之 变限积分中常用的等价无穷小有下列几对： ｓｉｎｔｄｔ￣ Ｘ２，ｉｍ ＇￣ｆ ｏ ｓｉｎｆ２ｄ扛ｌｉ ａｒ＋ ｓｉｎｘ２＝｝， ＝ 』：ｔａｎ ｄ卜手，ｆ。ｘ ｔ ｃｄ卜争２， ｌ ｉ ａ／ｒＩｘ）＝ｌｉ ｍｘ 。 ｊｘ 。 １一 （旦 ３ｘ一｝’ｊ Ｊ。ａｒｃｓｉｎｔｄｔ－，Ｊ ｏｌｎ（１＋ｏａｔ－２，（ ）。 由等价无穷小的传递性得到 ｘ ＝ｌ ｉｍ ２ｘ３ １ ＝ ｎｔ ｎｆｄｆ￣ …ｎ础～ ｓｉｎｆｄｆ （１＋０ｄ卜 因为ｌｉｍ／Ｉｘ）＝ｌｉｍ ＝ ｘ——．０ ｘ—旧 Ｊ 争，（ ） 上述一系列结果可通过对被积函数求极限用相应的等价无 穷小代换，再积分得到。根据这～原则也可求出其它未列出的变 限积分中的等价无穷小。 所以，有ｌＩｍ／Ｉｘｔ＝￣。 ｘ— 例２：设函数 ）可导，且Ｆ（ｘ）＝』 ￡ ［（Ｘｎ＿ｔｎ） ，ｆ（０）＝０， 求 警。 解：令ｕ＝ 一ｆｒＩ，则ｄｕ＝－ｎ，～ｄｆ，且拄０、ｘ时，ｕ： 、０。 如』Ｊ ０ｘ ｓｍｘｉｎｆ２ ０』 ｝ｓ｛ ｉｎ ｘ（、 ） Ｉ ｌｎ（１＋。ｄｔ—ｆ ｃｄｆ～ １ ｇ２∞ ０， 一０） ，８ｌｎｘ ＾ ＾ ‘ 故 一 １ ｆ ￣ Ｉ／ｕ）ｄｕ＝ １』／ｉｕ）ｄｕ， ㈤＝Ｘｎ～Ｊ｛ ） 因而 ＝ 例４：设 ＝ｆＪ Ｕ ｓｉｎ（ｔ。）ｄｔ，ｇ ＝ｘ ＋ｘ ，则当ｘ－－￣０￣－，ｊ－，求证 与 ｘ）是同阶无穷小。 证明． 。Ｉ／ ｘ） ，（０） 例３：设 连续， ＝Ｉ ” ｔ）ｄｔ，Ｊ￣ｌｉｍ盥 ＝Ａ（Ａ为常数）， ｘ—帕 Ｘ ＝ｌ ｉａ ｒｌｉｍ １ １ 求巾 （ 并讨论 在ｘ＝－Ｏ处的连续性。 解：令ｘｔ＝ｚ，则ｆ＝ ｄｆ＝堕。当 ０时ｚ＝０；当拄１时，ｚ＝ｘ。 ，所以 与 ｘ）是同阶无穷小。 例５：确定常数ｎ、ｂ、ｃ的值，使ｌｉｍ— 一＝ｃ Ｘ Ｘ ｆ （ ± ｄ￡ （ｘ）： ｄ拉 ， （Ｃ≠０） 解：因为当 —Ｏ时，ｕｘ－ｓｉｎｘ－￣．且极限ｃ＃０ ５０— 第１０卷第３期 Ｖｏ１．１０ Ｎｏ．３ 读与写杂志 Ｒｅａｄ ａｎｄ、 ｔｅ Ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌ ２０１３年３月 Ｍａｒｃｈ ２０１３ 所以当ｒ＋０时，分母ｆＪ ｂ ｔ ｄ卜＋０，故有ｂ：０。 故ｌｉａｒ Ⅱ ａ Ｊ珂ｆ）ｄ￡＝ｌｉｍ— 一珂 Ｑ）＝姐Ｑ）。 ａ Ｘ—Ｑ ｌｉｍ— －ｓｌ 一ｏｓｘ）＝ｌｉｍ ｌ二 ！ 一：ｌｉｍ—ｘ（ｕ－ｃ 例８：设函数ｆ（ｘ）在（一。。，＋ ）内有连续导数，证明 。ｆ ！ （ ± ｊ ｄｌ ± ２ ４ｘ丁Ｊ Ｊ｛ ｘ）一ｆ（ ｄ拄，（０）。 ＝ｌｉｍ旦＝： ０旦＝ｃ（ｃ≠０）， 证：由积分中值定理，存在 ∈［一ｘ， ，使 ｘ—＋ｏ 由最后等式，必有。＝１，ｃ＝争。 ｆ ［ 件ｘ）一 ｆ—ｘ）］ｄｔ：２ ｘ）一 ｝ 】 再用拉格朗日ｑ直定理，得到： ｆ ｆ 。ｉ ｔｄｆ １ ｘ）一／｛￣－ｘ）＝２ｘｆ（－ｑ），其中ｒ／∈（｝ｘ， ｘ）ｃ卜２ｘ，２ｘ］， 例６：求ｌｉｍ 、Ｊ ０ ／ 故原式左端：ｌｉｍ ２ｘ．２ｘｆｒ （ｒ／）一：ｌｉｍ，（叼）：，（０） ，ｒｃｔａｎ础 ｉｎｔｄｔ ４ｘ Ｔ广’ 』２＼２ 例９：计算ｌｘ＿＋∞ｉｍ １Ｊ ｘ 计Ｚ ｄｔ ａ＞０，ｎ为自然数。 式： 解：由积分中值定理有 ’ ３ 使用积分中值定理求之 鲁拈害 。害 ｘ＋。 积分中值定理：设函数 在［ｎ，ｂ】上连续，则在［Ｑ，ｂ］上至少 存在一点亭，使Ｉ／（ｘ）ｄｘ＝－／（￣・（ｂ－ａ）。利用该定理可求含变限积分 故 『＿窖ｄ仁 ｎ喾＝０ 的极限。 例７：若』Ｉ曲连续，求１ｉｍ— 一ｆ参考文献： Ｑ Ｊ Ｈｆ ）ｄ￡。 ［１】朱弘毅．高等数学【Ｍ］．上海科学技术出版社，２００２．６． 解：由积分中值定理知，存在点 （０－９ｘ），使 ［２】廖玉麟等．高等数学试题精选题解［Ｍ］．华中科技大学出版社 Ｊ珂ｆ）ｄ仁 ９（ｘ—Ｑ），０－＜ ｘ ２００１．１Ｏ． ［３］薛嘉庆．高等数学题库精编［Ｍ】．东北大学出版社，２０００．３． （上接２９页） 对少数民族学生的英语语言学习特点，对其实施有效的教学方 当前．英语教学方法和教学研究的中心也从先前的“以教师和教 法，将更多地为国家培养少数民族高等英语专业人才，以满足少 学为中心”的模式逐渐转向“以学习者和学习为中心”的模式 这 数民族地区对英语专业大学毕业生的需求。 种模式突出强调学习者在学习过程中的重要性。因此，实施有效 的教学方法的原则应是鼓励和激励学生的学习热情．深入了解 参考文献： 学生的学习的情况，对课程设置、师资安排和课程材料进行最佳 ［１】蔡凤珍，杨忠．Ｌ２（汉语）对少数民族学生Ｌ３（英语）习得 化的调整。从教学方法、教学主体、教学时间、教学目标等多个角 的影响研究Ⅱ］．外语与外语教学，２０１０（２）． 度进行有针对性的安排。例如在课程内容上应该增加贴近民族 ［２］金英．第三语言习得中的语言迁移ＩＪ］．东北农业大学学报（社会 习俗和文化交际层面的知识，提高学生的学习兴趣，一方面让学 科学版），２０１０（４）． 生了解文化差异，另一方面让学生在可以更容易的参与课堂讨 【３】李嘉东．维吾尔族学生第二语言能力与第三语言英语阅读的 论。授课方法上应该着重增加英语授课的比例、增加课外辅导时 相关性研究［Ｄ】．华东师范大学硕士学位论文，２００８． 间，增加帮助每个学生解决学习问题的机会。针对口语和听力方 ［４］熊晟奇．浅谈预科班英语教学Ｕ】．华章，２０１０（１８）． 面的教学策略可以引进讨论式的课堂教学模式，向学生们提问 ［５】许淑玲．维吾尔语、汉语、英语相似性对习得第三语言英语介 个人观点问题．促进学生表达自己的意见和想法等。 词的影响Ⅱ］．海外英语，２０１２（１８）． 我国少数民族英语专业学生和其学习英语的过程特点明 显，原因在于学生英语基础能力差异、受母语和汉语能力影响和 作者简介：王琳卓（１９８８．１０－），男，辽宁大连人，大连外国语大学 受文化差异的影响，应该采取相对应的方式进行课程安排．从增 英语学院２０１１级英语语言文学专业研究生。研究方向：英语语 加课时比例、考虑文化差异、全面提高学生英语素质等方面人 言学。 手，为我国少数民族英语专业学生量身打造合适的教学方式。针 一５１—
