函数图像与变换

一、目标定位

1掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法

2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题 3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题 4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力 二、知识梳理

1．描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。

2．描点法：通过 、 、 三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。 3．函数图象变换：

①平移变换： ⑴水平平移：

如yf(xa)，把函数yf(x)的图象，沿 轴方向向 (a0)或向 (a0)平移a个单位，就得到yf(xa)的函数图象。

⑵竖直平移：如yf(x)a，把函数yf(x)的图象沿 轴方向向 (a0)或向 (a0)平移a个单位，就得到yf(x)a的函数图象。 ②对称变换：

⑴如yf(x)，其函数图象与函数yf(x)的图象关于 对称； ⑵如yf(x)，其函数图象与函数yf(x)的图象关于 对称； ⑶如yf(x)，其函数图象与函数yf(x)的图象关于 对称； ⑷如yf1(x)，其函数图象与函数yf(x)的图象关于 对称。

③翻折变换：

⑴形如yf(x)，将函数yf(x)的图象在x轴下方沿x轴翻到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留yf(x)在x轴以上部分，为函数yf(x)的图象；

⑵形如yf(x)，将函数yf(x)的图象在y轴右边沿y轴翻到y轴左边部分替代原y轴左边部分并保留yf(x)在y轴右边部分，为函数yf(x))的图象。 ④伸缩变换：

⑴形如yaf(x) (a0)，将函数yf(x)的图象 得到。

⑵形如yf(ax)(a0)，将函数yf(x)的图象 得到。

三、课堂互动

知识点1： 函数的图象变换

函数的图象变换这一节的知识点是高考考查的重要方面，一些复杂的函数是可以通过一些较为简单的函数由相应的变换得到，从而我们可以利用之研究函数的性质。

【例题1】（1）设f(x)2,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线yx对称，h(x)的图像由

xg(x)的图像向右平移1个单位得到，则h(x)为__________

（2）要得到ylg(3x)的图像，只需作ylgx关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到

（3）将函数yf(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的

1（纵坐标不变），再将此3图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____

巩固练习

（1）如若函数yf(2x1)是偶函数，则函数yf(2x)的对称轴方程是_______ （2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于____对称 【例题2】已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．

巩固练习

设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，则函数y=f(x-1)与y=(1-x)的图象关系为( )

Ａ、直线y=0对称 Ｂ、直线x=0对称 Ｃ、直线y=1对称 Ｄ、直线x=1对称 知识点2 函数图象的画法

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换。 【例题3】画出下列函数的图象

21（1）y2 （2）y2|x||x2| （3）y|2x22x1|

巩固练习⑴ yfxlgx1； ⑵ gxlg(x1)

【例题4】作出下列函数的图象（1）y=|x-2|(x＋1) （2）yx

巩固练习 画出下列函数的图象 y

1 x2x1 x3知识点3 函数图象的识别

通过对函数解析式的形式了解函数的图象的特点，在识别上可以采用特殊的原则，去寻找特殊点和特殊位置等方法；在图象变换的问题上，需要依据变换的方法对函数的图象进行变换，而得到函数的图象；现在有一类很常见的的题型是和实际的生活相联系的问题，比如例题6，对于这样的问题首先需要我们把它转化成数学问题去进行思考

【例题5】 已知y=f(x)的图象如图(A)，则y=f(-x)的图象是_______；y=-f(x)的图象是_______；y=f(x)的图象是______；y=f(x)的图象是_______。

巩固练习 方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )

【例题6】如下图所示，向高为H的水瓶A,B,C,D同时以等速注水，注满为止； (A) (B) (C) (D)

（1）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的a，则水瓶的形状是 ； （2）若水量v与水深h的函数图像是下图中的b，则水瓶的形状是 ； （3）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的c，则水瓶的形状是 ； （4）若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的d，则水瓶的形状是

htvht

巩固练习：某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )

(a)(b)h(c)t(d)h

知识点4 函数图象的应用

有关函数图象的应用在前面的几个知识点当中有适当的涉及，函数的图象在我们函数有关问题的解决中是有着相当重要的作用，起着直观，简洁，化繁为简的作用。 【例题7】方程44xx

巩固练习 方程xlgx2的实根共有几个？

22x的实根共有几个？ x1四、小试身手【考题再现】

1．( 2006年重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是 ( )

2．（2006年江西卷）某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）

G(t)

G(t) G(t)

10ºc

10ºc 10ºc

t O 12 6 t 6 12 t O O 6 12

10º c O C

A B G(t) 图（1） G(t) 10ºc 12 6 t t O 6 12 D 3．(2006年山东卷）函数y=1+ax(0（A） （B） （C） （D）

（A） （B） （C） （D） 4．（2006年全国卷II）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点 对称，则f(x)的表达式为 ( )

1

(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0) (C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)

log2x5．（2006年天津卷）已知函数yf(x)的图象与函数ya（a0且a1）的图象关于直线yx对称，记g(x)f(x)[f(x)2f(2)1]．若yg(x)在区间[,2]上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．[2,) B．(0,1)(1,2) C．[,1) D．(0,]

6. （2006年上海春卷）设函数f(x)x24x5.（1）在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像；（2）设集合Axf(x)5,x121212B(,2][0,4][6,). 试判断集合A和B之间

的关系，并给出证明；

（3）当k2时，求证：在区间[1,5]上，

ykx3k的图像位于函数f(x)图像的上方.

7．(2005年全国)设b＞0，二次函数y＝ax2

＋bx＋a2－1的图像为下列之一则a的值为

(A)1

(B)

1

(C)

1515 (D) 22yyy

yO-1O1x-1O1xO2x2x8．[05山东，理2]函数y1xx0的反函数图像大致是 （ ） xyyy 1111 xooxox （A） （B） （C） （D）

yox1【模拟训练】1．（北京市东城区2005—2006学年度综合练习（二））已知函数f(x)()x的图

2象与函数g(x)的图象关于直线yx对称,令h(x)g(1|x|), 则关于h(x)有下列命题： （1）h(x)的图象关于原点对称；

（2）h(x)为偶函数；

（3）h(x)的最小值为0；（4）h(x)在（0，1）上为减函数.。其中正确命题的序号为 .

2.（2006年北京市朝阳区综合练习（一））如下图，正方形ABCD的顶点A（0，0），顶点C、D位于第一象限，直线l：xt(0t22），B（，222)将正方形ABCD分成两部分，记位于

直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数Sf(t)的图象大致是（ ）

3．（连云港市2006届高三第二次调研考试）设曲线yx1在其上任一点(x,y)处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象可以为 y y y

O O x O x

A． B． C． D． 4．（北京市海淀区2005年11月高三数学期中考试）

2y x O x 2x若函数f(x)logx12x≤1,x1,则y=f(1－x)的图象可以是（ ）

（A） （B） （C） （D） 5. （2006年南京市高三第一次模拟考试）函数y2|log2x|的图像大致是( )

6（湖北省黄冈中学2005—2006学年度上学期高三年级检测题） 若函数ya(b1)(a0)的图像经过第一、三、四象限，则一定有

x（ ）

A．a1且b1 B．0a1且b0 C．0a1且b0 D．a1且b0 五、参考答案： 知识梳理 2．列表、描点、连结 3．（x,左，右），（y,上，下），（y轴），（x轴），（原点中心），（直线yx），（纵坐标（横坐标不变）伸长(a1)或压缩(0a1)到a倍），（横坐标（纵坐标不变）压缩(a1)或伸长 (0a1)到

1倍） a和直线y=x对称向右平移一个单位xf(x)2xg(x)log2h(x)log(2x1) 关于y轴对称向右平移三个单位课堂互动

【例题1】（1）

ylg(x)ylg((x3))答案为y；右。 （2）ylgx在此要注意平移变换时，不是向左，这是很容易出错的。

13yf(3x)yf(3(x2))yf(3x6) （3）yf(x)巩固练习：

（1）函数yf(2x1)是偶函数，所以它的对称轴为x=0，yf(2x1)向左平移

横坐标变为原来的向左平移两个单位1个单位2得到函数yf(2x)，所以函数yf(2x)的对称轴也将x=0向左平移

11个单位得到x 22（2）F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)Fx，函数为偶函数，关于y轴对称

【例题2】f(x＋199)和f(x)这两个函数的最小值是相同的，所以

1f(x)4x24x34(x)22，得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2

2【例题2】 巩固练习：解：函数y=f(x)与y=f(－x)的图象关于y轴对称，y=(1-x)= y=[-(x-1)],把y=f(x)与y=f(－x)的图象同时都向右平移一个单位，就得到y=f(x-1)与y=(1-x)的图象，对称轴y轴向右平移一个单位得直线x=1，故选Ｄ。

1【例题3】 y2→|x|关于y轴对称. y2|x|▲|x2|11→y→y22▲|x||x2|

▲yyy(0,1)x(-2,1)xx

▲

yxy|2x22x1|→|y|关于x轴对称.

x=-1 x=1 【例题3】 巩固练习 :从复合函数认识，“先外层，后内层，由基

本的初等函数经过复合 （变换）作图

⑴lgxlgxlgx1lgx1，先对称后平移再翻折；

⑵ lgxlgx1lgx1lgx1，先平移后对称再翻折,如图. 【例题4】 (1)当x≥2时，即x-2≥0时，

X=1

当x＜2时，即x-2＜0时，

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出 （2）∵f(x)x1，∴f(x)为奇函数，从而可以作出x0时f(x)的图像， x又∵x0 时，f(x)2，∴x1时，f(x)的最小值为2，图像最低点为(1,2)， 又∵f(x)在(0,1)上为减函数，在(1,)上是增函数，同时f(x)x1x(x0)即x以yx为渐近线，于是x0时，函数的图像应为下图①，f(x)图象为图②：

【例题4】 巩固练习 形如yaxb(c0,adbc)的图像是双曲线，其两渐近线分别

cxd直线xd (由分母为零确定)和直线ya(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点

cc2定义域（图略） (d,a)yccx3x3【例题5】【答案】 y=f(-x)的图象关于f(x)的图象y轴对称， y=-f(x)的图象是关于f(x)的图象x轴对称所以答案分别为C，E，D，B

巩固练习 ：先作出f(x,y)=0关于y轴对称的函数的图象，即为函数f(-x,y)=0的图象，又 f(2－x,y)=0即为f((x2),y)0，即由f(-x,y)=0向右平移2个单位。故选C。 【例题6】【答案】(a)通过图象观察，随着时间的，瓶的高度的增加是稳定的，答案C (b)随着时间的增加，越在后段，瓶的高度增加越慢，答案A

2x17(c)随着时间的增加，瓶的高度先增加的较快，在后段则增加的较慢，答案D

(d)随着时间的增加，越在后段，瓶的高度增加越快，答案B

【例题6】巩固练习：由题意可知，当x=0时，y最大，所以排除A、C.又一开始跑步，所以直线随着x的增大而急剧下降. 答案：D 【例题7】解：看成函数y与函数y44xx2x2y28y0

22x11的图象相交，∵两个曲线有一个交点，∴方程有一个解 x1x1

【例题7】 巩固练习 解：画图得 2个

小试身手【考题再现】1.面积的增加速度是先逐渐增快然后减慢。答案D

2. A； 3. A； 4. D； 5. D

6. [解]（1）

（2）方程f(x)5的解分别是214,0,4和214，由于f(x)在(,1]和[2,5]上单调递减，在[1,2]和[5,)上单调递增，因此

A,214[0,4]214,由于2146,2142,BA.

（3）[解法一] 当x[1,5]时，f(x)x24x5.

4kk220k36 g(x)k(x3)(x4x5)x(k4)x(3k5)x， 244kk2,1. 又1x5，

24k4k ① 当1， 1，即2k6时，取x22222k220k3612 g(x)mink1064.

44 16(k10)264,(k10)2640， 则g(x)min0.

4k ② 当1，即k6时，取x1， g(x)min＝2k0.

2 由 ①、②可知，当k2时，g(x)0，x[1,5].

因此，在区间[1,5]上，yk(x3)的图像位于函数f(x)图像的上方.

b0，所以可以排除前面的两个图，所以图象经过原点，故a210， 2ab0，与后两个图不符，因此a1，答案B a1，当a1,2a18.函数的反函数为y(x1)，所以可得答案为B

1x7.由题意知

【模拟训练】

1.g(x)log2，所以h(x)log(1x)，由函数的性质可知2，3成立

x2.当0t212，st，排除A，D 22当

22t2，面积增加的速度明显小于0t时面积增加的速度，故答案C 223.y=2xcosx,奇函数，排除B，C，x3,y0，排除D，答案A

4.通过特殊值，x=1，y=2。所以在则y=f(1－x)中，1-x=1，y=2，排除A，D x=0，y=1。所以在则y=f(1－x)中，1-x=0，y=1，排除B，答案C 5.写出函数的解析式即可得到函数的图象，答案C

6图像经过第一、三、四象限，函数是增函数，故a>1，且当x=0时，y<0,b>0所以答案为D