角的度量

角的度量

教学任务分析 知识技能 （1）角的定义和相关概念，用运动的观点理解角、直角、平角、周角，掌握角的表示方法； （2）能进行度与度分秒之间的转化，能够作一个角等于已知角． 使学生在学习知识的过程中体会研究几何图形的方法和步骤． 通过角的第二定义的教学，学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点． 培养学生的“几何直观”，以及学生的识别图形的能力． 教 学 目 标 数学思考 解决问题 情感态度 重点 角的概念、表示、度分秒的转化． 难点 度分秒的转化．

教学流程安排

活动流程图 一、创设情景，观察猜想，激发学生兴趣，引出本节课要研究的问题． 二、观察猜测，大胆预设，启发学生对角进行适当的表示． 三、研究角度制，引导学生探究角的运算，培养学生发现问题、解决问题的能力． 四、研究角的画法，引导学生在画角的同时体会不同画法的优点． 五、拓展创新、应用提高． 六、小结与作业． 活动内容和目的 通过对问题1、问题2、问题3的解决，探究角的定义（两种定义）． 通过对问题4的解决，探究角的表示方法． 探究角度制以及角的运算． （1）尺规作一个角等于已知角；（2）度量法画一个角等于已知角． 通过对问题8、问题9的解决培养学生思维的深刻性和灵活性． 归纳总结、巩固新知． 教学过程设计

一、创设情景，观察猜想，激发学生兴趣，引出本节课要研究的

问题1：如图所示，是小学时学过的什么图形？你能举出生活中的这种图形的形象吗？

学生活动设计：学生观察，容易知道这个图形是角，由学生举出一些实例，如桌面上的角，钟表表盘上长短针之间构成角，圆规两脚张开口后构成角等．

问题2：你是如何认识角的？根据你的理解，如何定义一个角？

学生活动设计：观察图形，发现角是由两条射线构成的，但这两条射线具有着特殊的位置关系――有公共端点，于是可以给角下如下定义．

角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角． 公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的边．

教师活动设计：引导学生理解角的概念，适时提醒学生正确理解角的定义：

（1） 有两条射线．这两条射线叫做角的两边；

（2） 两条射线有一个公共端点，这个公共端点叫做角的顶点； （3） 平时画角时，只能将边画成两条线段，即用角的一部分来研究角．

问题3：钟表上的时针与分针是如何构成角的？从中你能得到什么启发？

学生活动设计：观测钟表，发现角是由线旋转而成的，从而可以从运动的观点定义角． 角的第二定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． 进而得到两种特殊的角：平角和周角．

平角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB在一条直线上时，形成平角；

周角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB重合时，形成周角．

平角 周角

（课件：角的动态定义）

二、观察猜测，大胆预设，启发学生对角进行适当的表示

我们在学习直线、线段、射线时，首先研究的是定义，其次研究的是表示方法，那么角如何表示呢？

问题4：如图，是一个角，如何表示这个角？

学生活动设计：学生讨论，大胆猜想，找到恰当的表示方法，通过讨论，得到角的几种表示方法（若不够完善教师作适当启发和提醒）．

角的表示：

（1）用三个大写字母：表示角的顶点的字母写在中间∠AOB； （2）用数字：∠1，∠2；

（3）用希腊字母：∠α，∠β；

（4）用一个大写字母：表示角的顶点的字母∠O． 教师活动设计：

在学生讨论角的表示方法不完整或不正确时加以提醒和纠正，最终得到正确的表示方法．

引导学生讨论，下列表示方法是不正确的：

用∠O表示∠AOC（一个大写字母只能表示单角，若一个顶点处有多个角则不能用这种方法）．

用∠1表示∠AOC（一个数字只能表示单角，若一个顶点处有多个角则不能用这种方法）．

三、研究角度制，引导学生探究角的运算，培养学生发现问题、解决问题的能力

问题5：谈谈你角度制的认识．

学生活动设计：学生根据自己的已有知识进行交流，可能有下列想法：经常用量角器度

量一个角的度数，度、分、秒是常用的角的度量单位，把一个周角分成360份，一份就是 1°，把1°分成60份，一份就是1′，把1′分成60份，一份就是1″，以度分秒为单位的角的度量制就是角度制，从角度制不难发现，角的度数在进行运算时，是60进制的．

问题6：你能解决下列问题吗？试一试： （1）23°31′25″＋42°37′56″； （2）42°31′56″－23°37′25″； （3）23°31′25″×3； （4）360°÷7．

学生活动设计；学生自主探索角的运算，根据角度制，可以发现以度分秒为单位的计算是以60进制进行的，于是（1）（2）不难解决；对于（3）可以先计算25″×3＝75″＝1′15″．

再计算31′×3＝93′＝1°33′，接着计算23°×3＝69°，最后计算： 69°＋1°33′＋1′15″＝70°34′15″． 对于第（4）个问题，可以考虑：

360÷7＝51°＋3°÷7＝51°＋180′÷7≈51°26′．

教师活动设计：适时让学生表达自己对角的运算的想法，重点突破乘法和除法运算． 〔解答〕（1）66°9′21″；（2）18°′31″；（3）70°34′15″；（4）约等于51°26′．

四、研究角的画法，引导学生在画角的同时体会不同画法的优点 问题7：如图已知∠AOB，画一个角等于这个角，你有什么方法？

学生活动设计：经过思考，容易发现可以用度量法画一个角等于已知角――先量出∠AOB的度数，然后用量角器画出这个度数的角即可．

教师活动设计：介绍用尺规法作一个角等于已知角（具体看教材133页探究）． 五、拓展创新、应用提高，培养学生思维的深刻性和灵活性 问题8：（1）从点O为2条射线，此时图有多少个角？ （2）引两条射线时，共有多少个角？ （3）引n条射线，共有多少个角？

……

学生活动设计：学生通过动手操作，思考，容易发现： 当引2条射线时，有1个角；当引3条射线时，有3个角；当引4条射线时，有6个角； 当引5条射线时，有10个角． 观察发现：2条射线――1个角；

3条射线――3＝（1＋2）个角； 4条射线――6＝（1+2＋3）个角； 5条射线――10＝（1+2＋3＋4）个角；

于是，n条射线――1＋2＋3＋…＋（n－1）＝个角．

教师活动设计：最终的结论不容易发现，此时可以组织学生进行讨论，经过讨论若还得不出结论，教师可以适当提醒；此外学生可能有如下方法．

当有n条射线时，取其中任意条射线，与剩下的n－1条射线组成（n－1）角，共有n条射线，于是可以组成n（n－1）个角，注意每一条射线重复了一次，所有当有n条射线时，

共有个角．

问题9：钟表在生活当中相当常见，瑞士的钟表更以其精密而文明世界.在钟表当中，时针与分针具有一定的关系，在不同的时刻它们有着一定的夹角，我们把这个夹角叫做钟面角，那么如何计算某一时刻的钟面角呢？

研究在4时11分的钟面角（此时时针在分针的前面）． 学生活动设计：

钟面的数字是从1到12，共有12个大格，60个小格，而1周角=360度，所以钟面的每个大格对应360o÷12=30o，每个小格对应360o÷60=6o，于是我们可以计算在4时11分时，

时针从数字12走到这个时刻时共走了（4+）×30o =125.5o,分针从数字12走到11分共

11×6o==66o所以时针与分针的夹角为（4+）×30o -11×6o =59.5o．

于是可以发现，当时针在分针的前面时，若时刻为m时n分则钟面角的计算公式为：

钟面角=（m+）×300－n×60．

同样可以研究分针在时针前面时的钟面角为n×6°－（m+六、小结与作业 小结：

1. 角的定义、表示方法； 2. 度分秒的转化、角度制； 3. 作一个角等于已知角． 作业：

1．研究当8点42分时，时针与分针的夹角； 2．习题 4.3 第1～3题．

）×300．