18光的衍射习题解答

第十八章 光的衍射

一 选择题

1．平行单色光垂直入射到单缝上，观察夫朗和费衍射。若屏上P点处为第2级暗纹，则单缝处波面相应地可划分为几个半波带 ( )

A. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个 解：暗纹条件：asin(2k故本题答案为D。

2．波长为的单色光垂直入射到狭缝上，若第1级暗纹的位置对应的衍射角为 =π/6，则缝宽的大小为 ( )

A. /2 B.  C. 2 D. 3 解：asin(2k2),k1,2,3....，k=2，所以2k=4。

2),k1,2,3....k1,，所以asin()2,a2。 662故本题答案为C。

3．一宇航员在160km高空，恰好能分辨地面上两个发射波长为550nm的点光源，假定宇航员的瞳孔直径为5.0mm，如此两点光源的间距为 ( )

A. 21.5m B. 10.5m C. 31.0m D. 42.0m 解：11.22Dx,x1.22h21.5m。 hD本题答案为A。

4．孔径相同的微波望远镜与光学望远镜相比，前者的分辨本领小的原因是（ ） A. 星体发光的微波能量比可见光能量弱 B. 微波更易被大气吸收 C. 大气对微波的折射率较小 D. 微波波长比光波波长大 解：本题答案为D

5．波长=550nm的单色光垂直入射于光栅常数d=2×104cm的平面衍射光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为 ( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解：dsink，k故本题答案为B。

6．一束单色光垂直入射在平面光栅上，衍射光谱出现了5条明纹。若已知此光栅缝宽度与不透明宽度相等，那么在明纹一侧的第二条明纹是第几级？( )

A. 1级 B. 2级 C. 3级 D. 4级

dsin3.。k的可能最大值对应sin1，所以k3。

2

解：dsink,ab2,因此2,4,6...等级缺级。衍射光谱出现了5条明a纹，所以k3,1,0，那么在明纹一侧的第二条明纹是第3级。

故本题答案为C。

7．一束白光垂直照射在一光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，偏离明纹最远的是（ ）

A. 紫光 B. 绿光 C.黄光 D. 红光 解：本题答案为D

8．测量单色光的波长时，下列方法中哪一种最为准确（ ） A. 光栅衍射 B. 单缝衍射 C. 双缝干涉 D. 牛顿环 解：本题答案为A

9．X射线投射到间距为d的平行点阵平面的晶体中，发生布拉格晶体衍射的最大波长为（ ）

A. d / 4 B. d / 2 C. d D. 2d

解：最大波长对应最大掠射角90和最小级数k=1。根据布拉格公式易知： 本题答案为D

二 填空题

1．波长为的单色光垂直照射在缝宽为a=4的单缝上，对应 =30衍射角，单缝处的波面可划分为 半波带，对应的屏上条纹为 纹。

解：asin4sin300242，所以可划分为4个半波带，且为暗纹。

2．在单缝衍射中，衍射角 越大，所对应的明条纹亮度 ，衍射明条纹的角宽度 （明条纹除外）。

解：越小；不变。

3．平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15mm的单缝上，缝后有焦距f=400mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕，现测得屏幕明条纹两侧的两个第3级暗纹之间的距离为8mm，则入射光的波长为 = 。

解：asin2k2,k3,sin3x afax1.51044103500nm 3f34001034．在单缝实验中，如果上下平行移动单缝的位置，衍射条纹的位置 。 解：衍射条纹的位置是由衍射角决定的，因此上下移动单缝，条纹位置不会变化。 5．一个人在夜晚用肉眼恰能分辨10公里外的山上的两个点光源（光源的波长取为

=550nm）。假定此人眼瞳孔直径为5.0 mm，则此两点光源的间距为 。

3

解：11.22所以Δx1.22Dx h1.22550109101031.342m。

5.01036．已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84106 rad，它们发出的光波波

Dh长为550nm，为了能分辨出这两颗星，望远镜物镜的口径至少应为 0.139m 。

解：D1.220.139m 17．平行单色光垂直入射到平面衍射光栅上，若增大光栅常数，则衍射图样中明条纹的间距将 ，若增大入射光的波长，则明条纹间距将 。

解：dsink,~sin~tan~x f所以d增大，变小，间距变小；增大，变大，间距变大。

8．波长为500nm的平行单色光垂直入射在光栅常数为2×103mm的光栅上，光栅透光缝宽度为1×103mm，则第 级主极大缺级，屏上将出现 条明条纹。

解：a1103mm,d2103mm,d2；故第2级主极大缺级； a 4；故屏上将出现k=0,1, 3 共5条明条纹。

dsink,当sin1 时，kmaxd9．一束具有两种波长的平行光入射到某个光栅上，1=450nm，2=600nm，两种波长的谱线第二次重合时（不计明纹），1的光为第 级主极大，2的光为第 级主极大。

解：重合时，dsink11k22，

1k23 2k14 k1、k2为整数又是第2次重合，所以k18，k26。

10．用X射线分析晶体的晶格常数，所用X射线波长为0.1nm。在偏离入射线60角方向上看到第2级反射极大，则掠射角为 ，晶格常数为 。

解：30 ；0.2nm

三 计算题

1．在单缝衍射实验中，透镜焦距为0.5m，入射光波长=500nm，缝宽a=0.1mm。求：（1）明条纹宽度；（2）第1级明条纹宽度。

解：（1）明条纹宽度

0.110(2) 第1级明条纹宽度为第1级暗条纹和第2级暗条纹间的距离

x02ftan02fa20.55001093=5103m=5mm

4

x1ftan2ftan1f(f2=2.5mm )aaa2．在单缝夫琅禾费衍射实验中，第1级暗条纹的衍射角为0.4°，求第2级亮条纹的衍射角。

解：由亮条纹条件a sin2=（2 k + 1）/ 2和k =2 得

a sin2 = 5 / 2

由暗条纹条件a sin 1=（2k）/2和k = 1 得

a sin 1=

故 sin 2/sin 1=5/2

衍射角一般很小，sin   ，得  2=5/2 1=1°

3．假若侦察卫星上的照相机能清楚地识别地面上汽车的牌照号码。如果牌照上的笔划间的距离为4cm，在150km高空的卫星上的照相机的最小分辨角应多大？此照相机的孔径需要多大？光波的波长按500nm计算。

解：最小分辨角应为

d41027rad 12.6710l150103照相机的孔径为

500109mD1.221.222.28m 712.67104．毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄，这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击。（1）有一毫米波雷达，其圆形天线直径为55cm，发射波长为1.36mm的毫米波，试计算其波束的角宽度。（2）将此结果与普通船用雷达的波束的角宽度进行比较，设船用雷达波长为1.57cm，圆形天线直径为2.33m。

（提示：雷达发射的波是由圆形天线发射出去的，可以将之看成是从圆孔衍射出去的波，其能量主要集中在艾里斑的范围内，故雷达波束的角宽度就是艾里斑的角宽度。） 解：（1）根据提示，雷达波束的角宽度就是艾里斑的角宽度。根据(18.3.3)式，艾里斑的角宽度为

1.36103m212.442.440.00603rad

D10.551（2）同理可算出船用雷达波束的角宽度为

1.57102m212.442.440.01rad

D22.332对比可见，尽管毫米波雷达天线直径较小，但其发射的波束角宽度仍然小于厘米波雷达波束的角宽度，原因就是毫米波的波长较短。

5．一束具有两种波长1和2的平行光垂直照射到一个衍射光栅上，测得波长1的第3级主极大与2的第4级主极大衍射角均为30°，已知1=560nm，求：（1）光栅常数d；（2）波长2。

5

解：（1）由光栅衍射明纹公式

dsin = k

d = k /sin =3×5.6×107 m /sin30°=3.36×106m （2） d sin30°= 42

2= d sin30°/ 4 = 420 nm

6．一个每毫米500条缝的光栅，用钠黄光垂直入射，观察衍射光谱，钠黄光包含两条谱线，其波长分别为5.6nm和5.0nm。求第2级光谱中这两条谱线互相分离的角度。

解：光栅公式：dsin = k

d =1 mm /500 =2×103 mm

1=5.6 nm =5.6×104mm

2=5.0 nm =5.0×104mm

因为 k =2

所以 sin1 = k1/ d =0.56

1 =sin10.56=36.129° sin2 = k/d =0.50 2=sin10.50=36.086° 所以 = 12 =0.043°

7．平行光含有两种波长1= 400.0nm，2=760.0nm，垂直入射在光栅常数d = 1.0×

103cm的光栅上，透镜焦距f = 50 cm，求屏上两种光第1级衍射明纹中心之间的距离。

解：由光栅衍射主极大的公式

d sin 1 = k1= 11 d sin 2 = k2= 12 x1 = f tg 1  f sin 1= f1 /d x2 = f tg 2  f sin 2= f2 /d Δx= x2 x1=1.8cm

8．用波长=700nm的单色光，垂直入射在平面透射光栅上，光栅常数为3×106m的光栅观察，试问：（1）最多能看到第几级衍射明条纹？（2）若缝宽0.001mm，第几级条纹缺级？

解：（1）由光栅方程d sin = k 可得：k =d sin /

可见k的可能最大值对应sin =1。将d及值代入上式，并设sin =1，得 4.28

700109k只能取整数，故取k =4，即垂直入射时最多能看到第4级条纹。

k3106（2）当d 和a 的比为整数比

dk时，k级出现缺级。题中d= 3×106m，a = 1×ak'106m，因此d/a = 3，故缺级的级数为3，6，9。

6

又因k≤4，所以实际上只能观察到第3级缺级。

9．设d/a =3，光栅中的单缝总数为6条，试画出光栅衍射的光强分布曲线，注意主极大、次极大、极小以及缺级等。

解：因N=6，故在相邻两主极大明条纹之间，有61=5个暗条纹（极小），共62=4个次极大。因d/a =3/2，缺级的级数为3，6，。光强分布曲线参见图18.17。

10．白光（紫= 400.0nm，红=760.0nm）垂直入射到每厘米有4000条缝的光栅，试求利用此光栅可以产生多少级完整的光谱？

解：对第k级光谱，角位置的范围从 k紫到 k红，要产生完整的光谱，即要求紫的第(k+1)级纹在红的第k级条纹之后，亦即

k红（k1）紫

根据光栅方程d sin = k，得

dsink红k红 dsin（k1）紫 （k1)紫由以上三式得到

k红（k1）紫

760k400（k1）所以只有k=1才满足上式，所以只能产生一级完整的可见光谱，而第2级和第3级光谱即有重叠出现。

11．一个X射线管发出的X射线主要是波长为0.15nm的特征谱线，当它以掠射角

1 =1115照射某一组晶面时，在反射方向上测得1级衍射极大，求该组晶面的间距。若

用另一个X射线管所发出的波长连续的X射线照射该组晶面，在2 =36的方向上可测

得什么波长的X射线的第1级衍射极大值？

解：由布拉格公式得

2dsin11

得晶面间距为

d1/2sin10.15/(2sin1115)0.38nm

若以连续波长的X射线入射，令

2dsin22

得220.38sin360.45nm。