四川省资阳市2022年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为0,的是（ ） A．ylgx1

B．yx2

1C．y2x D．ylnx

2．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为( ) A．1

B．

1 3C．

2 3D．

4 33．我国数学家陈景润在哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511，30723．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A．

1 14B．

1 12C．

3 28D．以上都不对

4．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）

A．22S，且23S B．22S，且23S C．22S，且23S D．22S，且23S

5．已知空间两不同直线m、n，两不同平面，，下列命题正确的是（ ） A．若m且n，则mn

B．若m且mn，则n

C．若m且m，则 D．若m不垂直于，且n，则m不垂直于n

6．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n的样本.若样本中高中生恰有30人，则n的值为（ ） A．20

B．50

C．40

D．60

x23x37．已知函数fx，gxxm2，若对任意x11,3，总存在x21,3，使得fx1gx2x1成立，则实数m的取值范围为（ ） A．17,9 2B．,1721749,

9, 2C．179, 422D．,8．抛物线方程为y4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A．2xy10

B．2xy10

C．2xy10

D．2xy10

02xy6x,y9．若满足约束条件则zx2y的最大值为（ ）

3xy6，A．10

B．8

C．5

D．3

10．若a＞b＞0，0＜c＜1，则 A．logac＜logbc

5B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb

11．已知xa展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则x2项系数为（ ） A．10

B．32

C．40

D．80

12．已知a3b3，且(2ab)(a4b)，则2ab在a方向上的投影为（ ） A．

7 3B．14

C．

20 3D．7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，则双曲线C的离心率为 . 14．函数fx为C的实轴长的2倍，

xlog21x的定义域为__________．

15．已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，|cb|1，则|ac|的取值范围为_________.

116．二项式x的展开式中所有项的二项式系数之和是，则展开式中的常数项为______. 2x三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设函数f（x）＝|x﹣a|+|x（1）若不等式f（x）﹣| xn2|（a＞0）． a2|≥4x的解集为{x|x≤1}，求实数a的值； a（2）证明：f（x）22．

18．（12分）已知动圆M经过点N(2,0)，且动圆M被y轴截得的弦长为4，记圆心M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的标准方程；

（2）设点M的横坐标为x0，A，B为圆M与曲线C的公共点，若直线AB的斜率k1，且x0[0,4]，求x0的值．19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD， 底面ABCD是矩形，ADPD，E，F分别是CD，PB的中点.

（Ⅰ）求证：EF平面PAB；

（Ⅱ）设AB3BC3， 求三棱锥PAEF的体积. 20．（12分）已知函数fxxa21lnx. aR，g(x)4xx（1）当a为何值时，x轴为曲线yfx的切线；

（2）用maxm,n表示m、n中的最大值，设函数hxmaxxfx,xgx零点的个数.

21．（12分）已知0（1）若x0，当01f（2）若，求sin的值．

46222．（10分）记Sn为数列an的前n项和，已知Snn，等比数列bn满足b1a1，b3a5.

（1）求an的通项公式； （2）求bn的前n项和Tn.

参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 【解析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果. 【详解】

对于A，ylgx1图象如下图所示：

则函数ylgx1在定义域上不单调，A错误； 对于B，yx21x的图象如下图所示：

则yx在定义域上单调递增，且值域为0,，B正确；

x对于C，y2的图象如下图所示：

则函数y2单调递增，但值域为0,，C错误；

x对于D，ylnx的图象如下图所示：

则函数ylnx在定义域上不单调，D错误. 故选：B. 【点睛】

本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题. 2．B 【解析】

首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可. 【详解】

yx2x10x21联立方程：2可得：，，

y10y21yx结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：

S102311xxdxx2x3|1. 03332本题选择B选项. 【点睛】

本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题. 3．A 【解析】

首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】

不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，

2从这8个素数中任选2个，有C828种可能；

其中选取的两个数，其和等于20的有3,17，7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率P故选：A. 【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 4．D 【解析】

如图所示：在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，四棱锥C1ABCD满足条件，故S2,22,23，得到答案. 【详解】

如图所示：在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，四棱锥C1ABCD满足条件. 故ABBC21． 2814CDADCC12，BC1DC122，AC123.

故S2,22,23，故22S，2故选：D.

3S.

【点睛】

本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 5．C 【解析】

因答案A中的直线m，n可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线n也成立，故不正确；答案C中的直线m可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面，互相垂直，是正确的；答案D中直线m也有可能垂直于直线n，故不正确．应选答案C． 6．B 【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可. 【详解】

由题意，30=1500故选：B. 【点睛】

本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题. 7．C 【解析】

将函数fx解析式化简，并求得fx，根据当x11,3时f′由函数gxxm2x0可得fx1的值域；在x21,3上单调递减可得gx2的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得m的取值范围. 【详解】

2x23x3xx2x11 依题意fxx1x1n，解得n50.

15001000x12， x1则fx11x12，

当x1,3时，f′x0，故函数fx在1,3上单调递增， 当x11,3时，fx1,721；

24而函数gxxm2在1,3上单调递减，

故gx2m1,m1，

721则只需,m1,m1，

247m11792m， 故，解得42m1214故实数m的取值范围为故选：C. 【点睛】

本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题. 8．A 【解析】

179,. 42y1y242，所以直线AB的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式设Ax1,y1，Bx2,y2，利用点差法得到

x1x22即可得到直线AB的方程. 【详解】

解：设Ax1,y1,Bx2,y2，∴y1y22，

y124x122又2，两式相减得：y1y24x1x2， y24x2∴y1y2y1y24x1x2，

y1y242， ∴

x1x22∴直线AB的斜率为2，又∴过点(1,1)，

∴直线AB的方程为：y12(x1)，即2 xy10， 故选：A. 【点睛】

本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．

9．D 【解析】

画出可行域,将zx2y化为y【详解】

11zx,通过平移yx即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 22202xy6解:由约束条件作出可行域如图,

3xy6

化目标函数z＝x2y为直线方程的斜截式,y当直线y故选:D. 【点睛】

1zx.由图可知 221zx过A3,0时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为3. 22本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为yaxbz 的形式,在可行域内通过平移

yax找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.

10．B 【解析】

试题分析：对于选项A，logac1gc1gc,logbc，0c1，1gc0，而ab0，所以lgalgb，但不lgalgblgalgb,logcb,lgalgb，两边同乘以lgclgclgb的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，logca能确定lga、一个负数

1c改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用yx在第一象限内是增函数即可得到acbc，lgcx所以C错误;对于选项D，利用yc在R上为减函数易得cacb，所以D错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比

较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 11．D 【解析】

rrnrrrnr根据二项式定理通项公式Tr1Cnab可得常数项，然后二项式系数和，可得a，最后依据Tr1Cnab，可得

结果. 【详解】

rr5r由题可知：Tr1C5xa

5当r0时，常数项为T1a

又xa展开式的二项式系数和为25 由a525a2

rr5r所以Tr1C5x2

22322时，T3C5x280x

5当r所以x2项系数为80 故选：D 【点睛】

本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题. 12．C 【解析】

由向量垂直的向量表示求出ab，再由投影的定义计算． 【详解】

由(2ab)(a4b)

可得(2ab)(a4b)2a27ab4b20，因为|a|3|b|3，所以ab2．故2ab在a方向上的投影

(2ab)a2a2ab18220为．

|a||a|33故选：C． 【点睛】

本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．3 【解析】

x2y2x2y2b2不妨设双曲线C:221，焦点Fc,0，令221,xcy，由AB的长为实轴的二倍能够推

ababa导出C的离心率. 【详解】

x2y2不妨设双曲线C:221，

ab焦点Fc,0，对称轴y0，

x2y2b2由题设知221,xcy，

aba因为AB的长为实轴的二倍，

2b2 4a,b22a2，

ac2a22a2,c23a2，

ec3，故答案为3. a【点睛】

本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式，从而求出e的值. 14．0,1 【解析】

根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域. 【详解】

x0 , 解:要使函数有意义,则1x0即0x1.则定义域为: 0,1. 故答案为: 0,1 【点睛】

本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件. 15．0,4 【解析】

设aOA，bOB，cOC，aOAOA，由|a|1，|b|2，|cb|1，根据平面向量模的几何意义，可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，ac为AC的距离，利用数形结合求解. 【详解】

设aOA，bOB，cOC，aOAOA， 如图所示：

因为|a|1，|b|2，|cb|1，

所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆， 则ac即AC的距离， 由图可知，0AC4. 故答案为：0,4 【点睛】

本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题. 16．

15 4【解析】

由二项式系数性质求出n，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项．

【详解】

由题意2n，n6． 展开式通项为Tr1C(x)∴常数项为T3()C6故答案为：【点睛】

本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）a＝1；（2）见解析 【解析】

（1）由题意可得|x﹣a|≥4x，分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出a的值．（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得f（x）≥22．． 【详解】

15． 4r66r3r1r1rr332r()()C6x，由30得r22x22，

122215． 42|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0）， aa当x≥a时，x﹣a≥4x，解得x，

3（1）由f（x）﹣|x这与x≥a＞0矛盾，故不成立， 当x＜a时，a﹣x≥4x，解得x又不等式的解集是{x|x≤1}，故

a， 5a1，解得a＝1． 5222（2）证明：f（x）＝|x﹣a|+|x| |x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，

aaa∴| a222|＝a2a22，当且仅当a2时取等号，

aaa故f（x）22． 【点睛】

本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题． 18．见解析

【解析】

（1）设M(x,y)，则点M到y轴的距离为|x|， 因为圆M被y轴截得的弦长为4，所以|MN|2|x|24， 又|MN|2(x2)2y2，所以|x|24(x2)2y2， 化简可得y4x，所以曲线C的标准方程为y4x．

2y12y2（2）设A(,y1)，B(,y2)，

4422因为直线AB的斜率k1，所以可设直线AB的方程为yxm，

22由yxm及y4x，消去x可得y4y4m0，所以y1y24，y1y24m，

所以|AB|2(y1y2)24y1y2421m．

设线段AB的中点为T，点M的纵坐标为y0，则T(2m,2)，MTAB，

2y02y01所以直线MT的斜率为1，所以，所以m4x0y04y0，

x0(2m)42y0y03． 4所以|AB|421m42易得圆心M2y0|y0m|2|y02|， 到直线AB的距离d4214y0由圆M经过点N(2,0)，可得|AB|2|MN|d242(y02)2，

162224y0y042y03200， 所以32(y03)4[42(y02)2]，整理可得y04162232811或y032811，所以x08211或x08211， 解得y0又x0[0,4]，所以x08211． 19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取PA中点G，连FG，GD，根据平行四边形，可得EF//DG，进而证得平面PAB平面PAD，利用面面垂直的性质，得DG平面PAB，又由EF//DG，即可得到EF平面PAB. （Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解. 【详解】

3 4（Ⅰ）取PA中点G，连FG，GD， 由FG//AB,FG11AB,ED//AB,EDAB，可得FG//ED,FGED， 22可得EDGF是平行四边形，则EF//DG，

又PD平面ABCD，∴平面PAD平面ABCD，

∵ABADAB平面PAD，AB平面PAB，∴平面PAB平面PAD， ∵PDAD，G是PA中点，则DGPA，而DG平面PADDG平面PAB， 而EF//DG，∴EF平面PAB. （Ⅱ）根据三棱锥的体积公式， 得VPAEFVBAEFVFBAE111VPBAE SBAEPD 2231113333. 2324【点睛】

本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 20．（1）a【解析】

3；（2）见解析. 4fx00（1）设切点坐标为x0,0，然后根据可解得实数a的值；

fx003（2）令f1xxfxxaxa1afgxxgxlnxx0，1，然后对实数进行分类讨论，结合134和f11的符号来确定函数yhx的零点个数. 【详解】 （1）

fxx2a11，fx2x2， 4x4xfx00，

fx00设曲线yfx与x轴相切于点x0,0，则121xa0x04x002. 即，解得31a2x00244x03时，x轴为曲线yfx的切线； 413（2）令f1xxfxxax，g1xxgxlnxx0，

4所以，当a则hxmaxf1x,g1x，f1x3xa，由f1x0，得x2a. 3aax,当x此时，函数yf1x为增函数；当此时，函数yf1x3时，f1x0，0,3时，f1x0，

为减函数.

0a3，0a1. 3a3f00a①当1，即当时，函数yhx有一个零点； 34②当f1a30a，即当时，函数yhx有两个零点； 34a0f1353a③当，即当时，函数yhx有三个零点； 44f110a0f15④当3，即当a时，函数yhx有两个零点；

4f101a0f153a3时，函数yhx只有一个零点. ⑤当，即当4f110综上所述，当0a当a当

35或a3时，函数yhx只有一个零点； 4453或a时，函数yhx有两个零点； 4435a时，函数yhx有三个零点. 44【点睛】

本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题． 21．（1）332k,kkZ；. （2）636【解析】

（1）利用三角恒等变换思想化简函数yfx的解析式为fx11sin2x，然后解不等式26222k2x622kkZ，可得出函数yfx的单调递增区间；

（2）由f【详解】

13cos得出，并求出sin的值，利用两角差的正弦公式可求出sin的值. 3331cos2x33132sin2xcosxsin2xcos2x （1）当时，fx232222331111sin2xcos2xsin2x， 442262由22k2x622kkZ，得3kx6kkZ，

因此，函数yfx的单调递增区间为k,kkZ；

63（2）

31333， fsin，sin6234433202，33556，，cos， 62363333321sinsinsincos．

3323236【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属中等题．

1(3)n3n1. 22．（1）an2n1nN（2）当q3时，Tn；当q3时，Tn4422*【解析】

（1）利用数列an与Sn的关系，求得an2n1；

（2）由（1）可得：b11，b39，算出公比q，利用等比数列的前n项和公式求出Tn. 【详解】

（1）当n1时，a1S11，

当n2时，anSnSn1

n2(n1)2

2n1，

因为a11适合上式，

*所以an2n1nN.

（2）由（1）得b11，b39，

设等比数列bn的公比为q，则b3b1q9，解得q3，

2当q3时，Tn113n133n1，

221(3)n. 44当q3时，Tn【点睛】

n11(3)1(3)本题主要考查数列an与Sn的关系、等比数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考 查运算求解能力. .