构造相似辅助线——A、X字型

11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证：

12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。 求证：

13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实： (1)当

时，EF=

；(2)当

时，EF=

；

(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和

k表示EF的一般结论，并给出证明．

14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。 求BN：NQ：QM．

15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

11.答案：证明：（方法一）如图

延长AE到M使得EM=AE，连接CM ∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴ △BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM

∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF ∴△MCF∽△ADF

∴

∵CM=AB，AD=AC

∴

（方法二）

过D作DG∥BC交AE于G

则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF

∴，

∵AD=AC，BE=CE

∴

12.答案：证明：

过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3 ∵AC平分∠DAB ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AD=DF

∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3 ∴△BEA∽△DEF

∴∵AD=DF

∴

∵AC为AB、AD的比例中项 ∴

即

又∵∠1=∠2

∴△ACD∽△ABC

∴

∴

∴

13.答案：解：

证明：

过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q ∵AB∥CD，PQ∥BC

∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形

∴PB＝EF＝CQ，

又∵AB＝b，CD＝a

∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF

∴

∴

14.答案：解：

连接MF

∵M是AC的中点，EF＝FC

∴MF∥AE且MF＝AE∴△BEN∽△BFM∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF∴BN：

BM＝NE：MF＝1:2∴BN：NM＝1:1设NE＝x，则MF＝2x，AE＝4x∴AN＝

3x∵MF∥AE∴△NAQ∽△MFQ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2∴BN：NQ：QM＝5:3:2

15.答案：证明：（1）

如图1，AD、BE为△ABC的中线，且AD、BE交于点O 过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F ∵CF∥BE且E为AC中点

∴∠AEO＝∠ACF，∠OBD＝∠FCD，AC＝2AE ∵∠EAO＝∠CAF ∴△AEO∽△ACF

∴

∵D为BC的中点，∠ODB＝∠FDC ∴△BOD≌△CFD ∴BO＝CF

∴

∴

同理，可证另外两条中线

∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的

（2）

如图2，AD为△ABC的角平分线

过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E 则∠BAD=∠E

∵AD为△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠E=∠CAD ∴AC＝CE ∵CE∥AB

∴△BAD∽△CED

∴

∴