第1章 珠算概述
第一节 珠算的起源与发展
珠算是以算盘为工具，数学理论为基础，运用手指拨珠，进行运算的一门计算技术，它是我国古代劳动人民重要的发明创造之一，千百年来这一技术不断扩散，传播到世界各国，推进着人类文明的发展历程。 珠算和算盘是由我国古代的“筹算”和“算筹”发展演变而来的。算筹是小竹棍。用算筹表示数和进行计算叫“筹算”。从我国最早的天文学、数学著作《周髀算经》中可以知道“筹算”至少在春秋时代就有了广泛的应用。近年我国考古学者已从秦汉古墓中发现了古代算筹。
据史书记载，南宋时代已有珠算歌诀出现，珠算自产生之日起发展到今，已有1800多年的历史。
由于珠算所具有优越的计算功能、教育功能和启智功能，即使社会已进入电子时代，计算工具中的传统算盘仍然具有广泛的适用性，发挥着重大作用。
新中国成立后，党和国家领导人十分重视珠算事业的发展。1972年，周恩来总理在接见美籍物理学家李政道博士时说：“要告诉下面不要把算盘丢掉，猴子吃桃子最危险。”1979年，薄一波同志为《珠算》杂志题词“算盘是我国的传统计算工具。一千多年以来，在金融贸易和人民生活等方面起了重要作用。用算盘和用电子计算机并不矛盾。现在还应充分发挥算盘的功能，为我国经济建设事业服务。”我国的珠算及算盘，是我国劳动人民在长期的生产、生活实践中创造发明的，是中华民族优秀的科学文化遗产之一，即使在当今计算机盛行的时代，仍不失为一门实用的科学和一项优良的计算技术。
第二节 珠算基础知识
一、认识算盘
算盘的发明历史悠久，在长期的社会实践过程中，我国劳动人民创造出各种精美的算盘。随着经济的发展和科学技术的进步，算盘作为一种计算工具也不断得到改进和革新。现就算盘的结构与种类分述如下：
（一）算盘的结构 算盘呈长方形，由边（框）、梁、档、珠四个基本部分组成。改进后的算盘又增加了清盘器、计位点和垫脚等装置（见图1-1）
清盘器 粱 框 计位点 垫脚 · · · · 上珠 档 下珠 图1-1
边、梁、珠多为木质，档用细竹（或细金属条）制作。目前有以塑料、牛角、金属材料制造边、梁、珠的算盘。
边（框）：是算盘的四周框架，用以固定算盘的梁、框、珠各部分，它决定了算盘的大小及形状。
梁：是连接左右两边的一条横木，将盘面分为梁上、梁下两部分。
档：是连接上下边并穿过横梁的细柱，用以穿连算珠并表示数位。 珠：又称“算珠”或“算盘子”，梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠。七珠算盘最上面的一颗叫顶珠，最下面一颗叫底珠。
清盘器：是近年来改革新加的。它是安装在横梁下面用以使算珠离梁的装置，其操作按钮装置在算盘上边的左端。主要用于提高清盘的速度与质量。 垫脚：装在算盘左右两边底面，共三个。其作用是使算盘底面离开桌面，当推拉算盘下面的计算资料时，防止算珠被带动。 计位点：是在梁上做出的计位标记，每隔三档一点，主要作用是为计数与看数方便。
（二）算盘的种类
我国目前使用的算盘大致分为三类。 1.圆形七珠大算盘。
这是我国的传统算盘，算珠上二下五，又分为九至十五档等几种。这种算盘手指拨动算珠的幅度大，使用时声音响，处于被淘汰的趋势（见图1-2）
·
图1-2 圆形七珠大算盘
2.菱珠中型算盘。 这种算盘是在圆形七珠大算盘的基础上改进而来的。算珠上一下四，比圆形七珠算盘缩短了档距，减少了算珠，增加了档位，并装有清盘装置及垫脚。它克服了圆形七形大算盘的缺点，是我国目前使用最广泛的一种算盘（见图1-1）
3. 菱形小算盘。
这是一种上一下四（或下五）珠条形菱珠小算盘，一般档位较多，便于手握移动。档距短，利于提高速度。该种算盘目前流行于我国东北地区，有大力推广的趋势（见图1-3）.
· · · · · · 图1-3 菱形六珠小算盘
二、打算盘的基本功
（一）握笔方法 珠算运算需要用手拨珠，又要用手持笔书写计算结果，所以要求握笔方法正确：一是用无名指和小指握住笔头部分，笔身横在拇指和食指间，使拇指、食指和中指能够灵活拨
珠（见图1-4）；二是将笔夹在无名指和小指之间，笔头在小指方向，笔身横在拇指和食指之间（见图1-5）；三是菱珠小型算盘握笔法，将笔身横在右手拇指与食指间，笔杆上端伸出虎口，笔尖露在食指与中指之外（见图1-6）.
图1-4 图1-5 图1-6
（二）正确坐姿：
打算盘的姿势正确与否直接影响运算的准与快。因为眼、脑、手要并用，配合要默契，动作要连贯，所以打算盘时，身要正，腰要直，肘和腕离开桌面，头稍低，要求视线落在算盘与练习题交界处，运算时靠视觉转移看数拨珠，不能摆头。打算盘时肘部摆动的幅度不宜过大，手离开桌面距离大约为0.5cm，过低在运算中会产生带珠，过高会发生手指上下跳动拨珠。要做到指不离档，手指与盘面的角度，一般为45°~60°较好。 身体与桌沿的距离约10cm，算盘放在适当的位置，并与桌边基本平行。使用算盘时，应利用算盘的边与计算资料的行次进行运算。这样才能加快速度，提高运算质量。
（三）记数与看数
1、记数
算盘以算珠表示数码，靠梁算珠表示数字，离梁算珠表示零。上珠一颗当五，下珠一颗当一。以档表示数位，计算中各档表示的数位不同，高位在左，低位在右，每隔一档相差10倍，选定个位档以后，向左分别为十位档、百位档、千位档„„向右分别为十分位、百分位、千分位„„每差一档扩大或缩小10倍。某档下珠满五，需换用上珠表示，称为“五升”；某档算珠满十，需换用左档一颗算珠表示，称为“十进”。这种上下珠记数和进位方法称为“五升十进制”。作加减运算时，选定档位不得变化。
算盘中全部算珠离梁靠边称为空盘，将数码拨入空盘，使算珠离边靠梁叫“置数”，如置123456789于盘上，如图1-7所示。
· · 图1-7
· ·
2、看数
将数码置数于空盘，或将盘上的数字记录下来，都需要看数。要练习一眼能看几位数字，一般开始时分节看数，从左到右三位一节，熟练之后要能边看边打。不要看一个数码拨一次算珠，或看完一个数后再拨算珠。看数与拨珠要防止口中读出声音，应练成看数反映快、记数牢而准的基本功。 3、写数
计算完毕，将算盘上的答案记录下来，这是珠算运算的最后一个环节。表面上看抄写数字与计算关系不大，但一道题的正确与否，除取决于运算拨珠是否正确外，还与抄写数字有较大关系。一是数字抄写是否准确、清晰、整齐；二是抄写是否快捷。 在运算过程中，要养成笔不离手的习惯，写数时，应在准的基础上求快。要养成盯盘写
数的好习惯，这就要锻炼眼睛捕捉盘上数字的能力，当一道题计算完毕，左手握住清盘器，眼睛盯盘，在确定写数位置后，一笔数就能从高位到低位很快写完。写数时从高位到低位连同小数要一次书写完毕。只有做到盯盘写数，并认真练习，才能达到书写数字的准与快。 （四）正确的定位与清盘
计算水平的高低，除了计算各环节相互衔接外，主要是要提高计算效率，尽量减少一些环节，如定位、清盘等在整个计算过程中所占用的时间。具体做法为：在一道题快要计算到尾数时，位数就已确定，就应抓紧时间书写答案，当答案书写到末位数时，左手中指按下清盘器随即清盘。这样，定位、清盘就不占用计算时间，大大提高了运算的节秦和运算的效率。 使用装有清盘器的算盘，应直接使用清盘器进行清盘。使用没有清盘器的算盘，其清盘方法是：将右手的拇指和食指捏拢，顺梁的两侧从右向左迅速将上下珠排开并靠边，每次清盘要求用力适当，动作不要重复。 三、拨珠方法
珠算拨珠法又称指法。拨珠方法的合理、准确与否，直接影响着计算的速度与准确度。拨珠方法可分为两种 （一）三指拨珠法
为了适合算珠位置和拨动方向，使拨珠迅速，拇指、食指和中指应有一定的分工。 1、单指独拨
（1）拇指：专拨下珠靠梁
（2）食指: 专拨下珠离梁
（3）中指:专拨上珠靠梁与离梁
· · ·
2．两指联拨(拇指、中指联合拨珠) 为了提高拨珠速度，在熟练单指独拨的基础上，力求应用两指联合拨珠。 （1）双合： 即上下珠同时靠梁
6，7，8，9 ； 15，25，35，45
· ·
（2）双分：即上下珠同时离梁
6，7，8，9 ； 15，25，35，45方
· ·
（3）双上 即下珠靠梁，上珠离梁
5-3，5-2，5-4 ； 25＋5 ，5＋5，16＋15
（4）双下 即上珠靠梁，下珠离梁
2＋3、4＋1、2+4 ；
2+4
· ·
10-5、20-5、20-15、30-25
·
3.三指分工练习
(1)拇指：在四个档位上来回加1共四次。 (2)食指：在算盘是4、4、4、4的基础上来回减1共四次。 (3)中指：在算盘的上四个档位上来回加减5四次。 (4)双合、双分：在空盘上分别加减6、7、8、9各八次。
(5)双上、双下：盘上置数4、4、4、4，然后分别加减1、2、3、4各八次。
（二）两指拨珠法
一般情况下使用菱珠小算盘，用拇指、食指拨珠，称“二指法”。 使用小算盘运算应用右手的拇指和食指进行拨珠，中指、无名指和小指应向掌心自然弯曲。 1、单指独拨 （1）拇指
二指法：管下珠靠梁，有时管下珠离梁
（2）食指
• 二指法：管下珠离梁，上珠靠梁和上珠离梁。
2、 两指联拨 ●双合
（1）二指法：用拇、食指，托拨上下珠靠梁。
① 同档法：同一档上、下珠同时靠梁。例：在空盘上拨入6、7、8、9或1＋7、2＋6、3＋6、2＋7。
② 异档法：左档下珠和右档上珠同时靠梁。例：在空盘上拨入15、25、35、45或20＋15、10＋35、12＋25。
●双分
（1）同档法：用拇、食指，挑拨上下珠离梁。 一是同档上珠与全部下珠同时离梁。例：9–9、8–8、7–7、6–6。
二是同档上珠与部分下珠离梁。例：8–7、9–7、9–6、8–6、9–8、7–6。
（2） 异档法：
一是左档全部下珠与右档上珠同时离梁。例：45–45、35–35、25–25、15–15、89–35 二是左档部分下珠和右档上珠同时离梁。例：45–25、45–15、45–35、35–15、35 15、96–15。
●双上
（1） 同档法：用拇、食指，托下珠靠梁，挑上珠离梁。同档下珠靠梁，上珠同时离梁。例：5–1、5–2、5–3、5–4、6–1、6–2、6–3等 （2） 异档法：左档下珠靠梁，右档上珠同时离梁。例：5＋5、5＋15、5＋25、5＋35、6＋5、7＋5、8＋5、9＋5。
●双下
（1）同档法：用拇、食指，拨上珠靠梁，下珠离梁。 一是同档上珠靠梁，全部的下珠同时离梁。例：1＋4、2＋3、 3＋2、4＋1 二是同档上珠靠梁，部分下珠同时离梁。例：4＋4、4＋3、4＋2
（2）异档法： 一是左档全部下珠离梁，右档上珠同时靠梁。例：10–5、20–15、30–25、40–35 。 二是左档部分下珠离梁，右档上珠同时靠梁。例：20–5、30–15、40–25、62–15
●扭进：用拇、食指，拨本档下珠离梁，托前档下珠靠梁。例：1＋9、2＋8、3＋7、4＋6、6＋9、3＋17、7＋8
●扭退：用拇、食指，拨前档下珠离梁，托本档下珠靠梁。例：10–9、10–8、10–7、10–6、20–18、32–19
第三节 数字写法
计算离不了数字，珠算运算必须和书写数字结合起来。只有正确和规范化的书写，才能保证计算任务的顺利完成。在实际工作中，往往由于数字书写的错误，给经济工作带来损失。常用的数字有中文大写数字和阿拉伯数码两大类。
一、中文大写数字
一般填写发票、账单、签订合同收据等用中文大写。
壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿、零 在书写中文大写数字时，应注意以下问题： 第一、书写一定要正规，不可随意简写。
第二、大写金额前加“人民币”三字，后面接写数。
第三、金额数字中有几个零时，空位要补零（如贰万零叁佰零肆元整），但两个以上的空位在一起可只写一个零（如肆万零壹元），元以下无角、分时，元后面必须写一个“整”字，不应写成“正”。大写金额有角、分时，元以下不要写“整”字。
第四、为防止涂改，“拾”字前必须加写一个“壹”字（如壹拾元叁角贰分），不要只写拾元。
第五、一笔数字不论写错了一个字或几个字，都不得在原来的数字上单码更改。一般再换单据或把错误数字全部划上一道红（或蓝）线，表示注销，然后重新把正确数字写在
划掉数字的上面，并在原错字划掉数字的左端加盖个人印章，表示负责。
二、阿拉伯数码
阿拉伯数码在一切单据和帐表上的写法是和普遍写法不同的，它有一定的格式和要求：
第一，在帐表横格上书写时，上面要空出1/3到一半的位置，一是好看，二是备作改错用。
第二，数字写法是自上而下，先左后右。
第三，一般数字在格内的斜度以60°为准（见上面标准字样）。
第四，除7和9两个字的上端要低下半格的1/4，腿伸出下一格上半格的1/4外，其他12345680都要靠在底线上
第五，4的左竖，上至下半格右边线，下至下半格左边1/4处；中竖高度为下半格的1/2，以防改1为4。
第六，6的上竖伸入上半格1/4，防止改6为8。
第七，8的左上端略出格外，避免把3改成8的可能性。
第八，0字切勿写小了，不要敞口，不要写成扁长型“0”，在连写几个0时，不要加连接线如：“000”。
第九，整数部分，按“三位一节”的记数方法。在国际和我国有关规定中，数码字一律不用分节号，但由于珠算的特点，往往还应用分节号，即由个位起从右至左，每隔三位，用分位点（，）隔开，如9，876，543，210，便于看数打算盘。 第十，整数金额以下，角、分位数字下，应划一横线，并在横线左前端（即角位数字以前，元位数字以后）点一小数点。如捌元整应写为“8.00”，伍角叁分应写成“0.53”，但在账册报表上已印有数位分隔线的，就不必这样写了，整数后的角分，可同样写数就可以，不必在数码下划线。数前面加￥，表示人民币。 第十一，如果在账表上写错了数字，应把错误的数字用一道红线或蓝线全部划去以示销去，然后重新把正确数字写在错数上端，决不应在原错数字上改错。同时要在原错字划线左端加盖个人印章，以示负责。
练习题：用汉字大写金额数字写出下列各数 1) ￥1,234,000,009.00 2) ￥987,076.30 3) ￥89,000,987.32 4) ￥ 654,100.30 5) ￥906,089,116.00 6) ￥9,087.00 7) ￥ 450,987,056.07 8) ￥76,908.56 9) ￥120,000,000.30 10) ￥230,003.04
第四章 珠算除法
除法是将一个数平均分成几份，求出每份是多少，或求一个数是另一个数的几倍的方法，实际上也是同一个数连续相减的的简便算法。其算式为：被除数÷除数=商数。当除不尽时，除法的算式成为：被除数÷除数=商数„„余数。 珠算除法的种类较多，一般分为基本算法和变通算法。基本算法可按以下分类：①按置商档次分，有挨档置商和隔档置商；②按求商是否用口诀分，有不用口诀求商和用口诀求商。
挨位置商除法是根据我国传统的归除口诀来拨珠运算的，一归除法为代表；隔档置商除法是用九九口诀来拨珠运算的，以商除法为代表。也就是说，珠算的基本除法主要有归除法和商除法两种，这两种方法各有其优缺点：归除法的优点是利用九归口诀定商是较准的，但运算时必须用口诀，因而牢记口诀就成为必需。商除法的计算方法和笔算类同，由于它不需口诀，故易于掌握，虽其定商不如归除明显，但如掌握了估商的规律，其速度是快的。不论用哪种方法运算，珠算除法应遵守以下两个基本规则：①用被除数除以除数时，应从左到右，先从被除数的最高位除起，依次除到最低位。②珠算除法是用大九九口诀相乘，其乘积是递位迭减，它是乘法的逆运算。 为便于读者学习掌握各种珠算除法，我们对商除法、归除法均加以介绍，同时还介绍一些变通除法。
第一节 商的定位法
商的定位法就是确定商数位数的方法。商的定位方法也有多种，常用的有：公式定位法、固定个位点定位法。 一、公式定位法
公式定位法也叫通用定位法，它是用公式的方法进行定位，把定位的规律公式化，使之易懂、易记、易用。它有以下优点：①适用范围广，不论笔算、心算、珠算、机械算等都能适用，并且比较方便；②不论整数、小数的除法，定位公式一致，原理相同；③不论在计算前、计算后，都适用；④盘上盘下都可用。
（一）定位公式
先假设：被除数的位数为m,除数的位数为n,商的位数为W,则有商的两个定位公式： 公式一：W=m-n 公式二：W=m-n+1
从上面可以看出，商的位数有两种情况：一是被除数位数减除数位数；二是被除数位数减除数位数再加一位。因此，在实际运算中如何来判断用哪个公式进行定位是一个重要的问题，可先看下面两组实例：
56÷8=7 „ （2位-1位=1位） 第一组 270÷45=6„ （3位-2位=1位） 2628÷36=73„ （4位-2位=2位）
92÷4=23„ （2位-1位+1位=2位） 第二组 72÷24=3„ （2位-2位+1位=1位）
169÷13=13„（3位-2位+1位=2位）
从上面的例题可以看出，第一组是用公式一进行定位的，即用W=m-n进行定位；第二组是用公式二进行定位的，即用W=m-n+1进行定位。
（二）进行定位的方法
在实际运算中，如何迅速正确的判断用哪个公式进行定位，可用两种方法进行：一是公式定位基本方法；二是盘上公式定位法。 1、公式定位基本方法。 公式定位基本方法，是用被除数的首位数与除数的首位数进行比较后来确定用哪个公式进行定位，通过比较会出现三种情况： （1）被除数的首位数小于除数的首位数。当被除数的首位数小于除数的首位数时，就用公式一进行定位，即用W=m-n进行定位。如上面第一组的第一题，被除数首位是5，除数的首位是8,5比8小，就用公式一进行定位。第一组的另外两题也是如此。
（2）被除数的首位数大于除数的首位数。当被除数的首位数大于除数的首位数时，就用公式二进行定位，即用W=m-n+1进行定位。如上面第二组的第一题，被除数的首位是9，除数的首位是4,9比4大，就用公式二进行定位。
（3）被除数的首位数等于除数的首位数。当被除数的首位数等于除数的首位数时，还要将两因数的同位数进行比较，即将被除数的第二位数与除数的第二位数进行比较，如果被除数小于除数，就用公式一进行定位；如果被除数大于除数，就用公式二进行定位。如上面第二组的第三题169÷13，被除数与除数的首位数都是1，相等，则将两因数的第二位进行比较，6比3大，所以用公式二进行定位。当被除数与除数的各位都相等时，用公式二进行定位，如10÷10=1，是用公式二进行定位的。
这种方法的定位可概括为：“位数相减，实大加1”。“位数相减”，代表公式一，即将被除数的位数减除数的位数。“位数相减，实大加1”，代表公式二，即将被除数的位数减除数的位数，还要再加1位。在什么情况下加1呢？实大的时候才加1。所谓“实大”，就是指被除数首位数大于除数的首位数，亦即够除。 2、盘上公式定位法。
把公式定位法原理运用到算盘上定位，叫做“盘上公式法”，又称“首位档定位法”。它是指经运算后，根据商数的首位数落在哪一档上来确定用哪个公式进行定位。用这种方法进行定位，要依据运用什么除法来运算。如果用隔位置商（如商除法）的方法进行运算时，运算完毕，如果商的首位数落在原被除数首位数的前一档上，就用公式一进行定位；如果商的首位数落在原被除数首位数的隔一档上，就用公式二进行定位。假如用挨位置商（如归除法）的方法进行运算时，运算完毕，如果商的首位数落在原被除数首位数的本档上，就用公式一进行定位；如果商的首位数落在原被除数首位数的前一档上，就用公式二进行定位。 为了尽快确定一道题用哪个公式进行定位,最好是将被除数拨在固定的档位上,不要随意变动.运用归除法运算一般是将被除,数从算盘左边第二档起拨入,即算盘左边留出一个空档;运用商除法运算将被除数从算,盘左边第三档起拨入,即算盘左边留出两个空档。这样，当运算完毕后，如果算盘左边第一档有商数时就要加1位，即用公式二进行定位；否则是不能加1位的，即用公式一进行定位。
这种方法的定位可概括为：“位数相减，满档加1”。“位数相减”，代表公式一，即将被除数的位数减除数的位数。“位数相减，满档加1”。代表公式二，即将被除数的位数减除数的位数，还要再加1位。在什么情况下加1呢？满档的时候才加1位，所谓“满档”，就是指商数的首位数在算盘左边第一档出现。
[例一]239668÷57.2=4190（用不隔位除法运算）
①将被除数239668从算盘左边第二档起拨入。 图
· · · ·
②运算结果的盘面数是419，但首位档是空档，故用公式m-n进行定位,即6位-2位=4位，得到商数为4190。
图
· · · ·
[例2]69275÷42.5=1630（用不隔位除法运算） ①将被除数69275从算盘左边第二档起拨入。 图
· · · ·
②运算结果的盘面数是163，但首位档是满档，故用公式m-n+1进行定位,即5位-2位+1位=4位,得到商数为1630。 图
· · · ·
二、固定个位点（档）定位法
它是一种算前定位法，又叫固定个位档定位法。是在运算前运用m-n或m-n+1求出商的个位然后按此要求,将被除数和除数两数的位数相减(m-n)得出位数;如采用隔位除法运算,是将被除数的位数减除数的位数后再减1位(m-n-1)得出位数。得出的位数作为“实数”的新位数，然后对应个位档拨入盘内，它的个位就是所求商的个位。
[例1]457.71÷57=8.03(用不隔位除法运算)
①算前定位: m-n=3位-2位=1位,并将被除数457.71改变为4.5771拨入算盘,定出个位档。 图
· · · ·
②运算结果，盘面数为803，原定个位档是8，故商数为8.03。 图
· · · ·
[例2]8.046÷0.14=57.6(用隔位除法运算)
①算前定位: m-n-1=1位-0位-1位=0位,并将被除数8.064改变为0.8064拨入算盘,定出个位档。
图
· · · ·
②运算结果,盘面数为576,以原定个位档计数,则商数为57.6。 图
· · · ·
练习题
用公式定位法确定下列各题的商 (1)2506.61÷68.3→367 (2)412.02÷327→126 (3)3.74496÷0.752→498 (4)0.76076÷3.08→247 (5)49491.2÷836→592 (6)24.60051÷0.03267→753 (7)4.76248÷23.6→2018 (8)19226.66÷498.1→386 (9)52.3882÷0.00326→1607 (10)0.03100188÷85.17→364
第二节 基本除法
一、商除法
（一）笔算除法与珠算除法的联系和区别 基本商除法，又称算术商除法，它是用大九九口诀进行求商，计算的原理和方法与笔算除法基本一致。商除法的“商”，是商量、商议之意，即用估商的办法求出商数，每求一位商数都需经过估商和乘减两个步骤。但也有不同的地方：一是珠算运用的工具是算盘而笔算的用纸，和笔；二是珠算估商后将商置在算盘左边，而笔算把商数写在被除数上方；三是减积时，笔算将积数写在纸上，珠算则只须边乘边从算盘上减去积数。所以，珠算比笔算方便又快速。 商除法历史悠久，古书《孙子算经》早有记述方法，但有商除专名者，始见南宋杨辉《算法通变本末》一书。历史上商除法都是“隔位”法的，即“够除隔位置商，不够除挨位置商”。当今，发展有“不隔法”的，即“够除挨位商，不够除本位改商”。
(二)隔位商除法
1.商除法程序、步骤。 （1）置数。是将被除数拨入算盘，拨入被除数时，算盘的左边起码要留出两个空档，即被除数从算盘左边第三档起拨入。
（2）估商。估商也叫试商，就是被除数除以除数确定商数是几。 （3）置商。置商也叫立商，就是将估计的商数拨在某一档上。置商原则是：“数大（相等）隔位商，数小前位商。 “数大”包括两种类型：①被除数的首位数大于除数首位数字。如：763÷48，被除数首数是7，除数首位是4，7比4大。②被除数和除数头几位数字相同，但后面的数字，被除数大于除数。如：33763÷335，被除数和除数的首次两位都是3，相同，但被除数和除数的第三位分别是7和5，7比5大。
“相等“是指被除数和除数相同的。如”473627÷473，被除数和除数的前三位都是473，相等。
“数小”包括以下两类型：①被除数的首位数字小于除数的首位数的。如：41263÷653，被除数首位是4，除数首位是6，4比6小。②被除数和除数的头位或头几位数字相同，但后面的数字被除数小于除数。如：5367÷586，被除数和除数的首位都是5，相同，但被除数和除数的第二位分别是3和8，3比8小。
“隔位商”，就是指要在被除数首位的左边隔一档上置商。
“前位商”，就是指在要被除数首位的左边前一档上置商。 分清数大（相等）或数小，在商除法中是极为重要的，因为它决定置商的档次。 （4）减积。即从被除数中减“商数与除数的乘积”。就是将试商乘以除数，依次相乘，边乘边从被除数中减去积数。是从商数的右边一档开始减。
（5）商数或余数。减商积以后，被除数被减后，被减数减完，便是除尽了，所以之商就是商数。
如果还有余数，这个数也叫做第二次被除数，按照以上程序再进行估商、置商、减商积，去做第二次除、第三次除„„有几次余数就要做几次除，直到除尽或计算到所要求的位数为止。
（6）定位。用公式定位法进行定位。 2.一位数除法。
在珠算方面，除数只有一个非零的数字，称一位数除法。一位数除法的运算方法及步骤为：
（1）置数。将被除数从算盘左第三档起拨入，要求默记除数。
（2）估商。就是把被除数的首位或首次两位除以除数，用心算估计出商数。当被除数首位大于除数时，是将被除数的首位数除以除数而求出商数;当被除数首位小于除数时，是将被除数的首次两位除以除数而求商数。
（3）置商。按置商原则规定的要求进行置商。
（4）减积。将估计的商数乘以除数，其积数从商数的右边一档开始减去。 （5）定位。用公式定位法进行定位。 [例1]2622÷6＝437 ①将被除数2622从算盘左边第三档起拨入。 图
· · · ·
②被除数首位2小于除数6，是属数小类型。将被除数的首次两位26除以6，估计商数4并拨在被除数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商4的右档起减乘积“四六24”，得首位商4，余数为222。
图
· · · ·
③余数首位2小于除数6，是属数小类型。将余数首次两位的22除以6，估计商数3并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商3的右档起减乘积“三六18”，得首、次位商为43，余数为42。
图
· · · ·
④余数首位4小于除数6，是属数小类型。将余数首次两位42除以6，估计商数7并拨在余数首位4的前一档上（数小前位商），然后在商7的右档起减乘积“七六42”，恰好除尽。
图
· · · ·
⑤定位，用盘上公式定位法定位，盘左一档无商数，则不加1，4位-1位＝3位，得商数为437。
[例2]738÷3＝246
①将被除数738从算盘左边第三档起拨入。
②被除数首位7大于除数3，是属数大类型。将被除数的首位7除以3，估计商数2并拨在被除数首位7前面隔一档上（数大隔位商），然后在商2的右档起减乘积“二三06”，得首位商2，余数为138。
图
· · · · ····
③余数首位1小于除数3，是属数小类型。将余数首次两位13除以3，估计商数4并拨在余数首位1的前一档上（数小前位商），然后在商4的右档起减乘积“四三12”，得首、次位商为24，余数为18。
图
· · · ·
④余数首位1小于除数3，是属数小类型。将余数首次两位18除以3，估计商数6并拨在余数首位1的前一档上（数小前位商），然后在商6的右档起减乘积“六三18”，恰好除尽。
图
· · · ·
⑤定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，3位-1位+1位＝3位，得商数为246。
练习题
用商数法计算下列各题： （1）1548÷4＝ （2）3052÷7＝ （3）286÷2＝
（4）5056÷8＝ （5）3228÷6＝ （6）26.46÷9＝
（7）2.58÷0.5＝ （9）723.4÷2＝
（8）0.1134÷0.03＝ （10）1.7325÷0.07＝3.多位数除法 除数里非零的数字超过一位者，称之为多位数除法。多位数除法与一位数除法大同小异，也有置数、估商、置商、减积、定位等五个计算步骤。不同的只是由于除数的位数增加后，减积次数也相应增加，同时，给估商和减积带来了一定的难度。
多位数除法的运算方法及步骤：
（1）置数。同一位数除法一样，将被除数从算盘左边第三档开始拨入。 （2）估商。虽然与一位数除法一样，是将被除数的首位或首次两位除以除数的首位，但由于除数的第一位数字和第二位数字对商数影响较大，因此，估商时要灵活运用。
（3）置商。同一位数除法的置商一样。
（4）减积。估商后，用商数与除数各位数字逐一相乘，依次从被除数中减去。减积的档次是：除数是第几位，它与商数相乘，其乘积的十位数就从商右边第几档中减去。也就是说，除数是第一位，它与商数相乘后其乘积的十位数就在商数右边第一位减，个位数在商右边第二位减；除数是第二位，它与商数相乘后其乘积的十位数就在商右边第二位减，个位数在商右边第三位减，余依此类推。或者是从商数右边一档起开始减积数，以下各减的数依照“指不离档”原则逐位从被除数中减去。
（5）定位。用公式定位法进行定位。 [例1]308924÷826＝374
①将被除数308924从算盘左边第三档起拨入。 图
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②被除数首位3小于除数首位8，属数小类型。将被除数的首次两位30除以除数首位8，可估商3并拨在被除数首位3的前一档上（数小前位商），然后在商3的右一档起依次减去乘积“三八24”、“三二06”、“三六18”，余数为61124。
图
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③余数首位6小于除数首位8，属数小类型。将余数的首次两位61除以除数首位8，可估商7并拨在余数首位6的前一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七八56”、“七二14”、“七六42”，余数为3304。
图
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④余数首位3小于除数首位8，属数小类型。将余数的首次两位33除以除数首位8，可估商4并拨在余数首位3的前一档上（数小前位商），然后在商4的右一档起依次减去乘积“四八32”、“四二08”、“四六24”，恰好除尽。
⑤定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，6位-3位＝3位，得商为374。
· · · ·
[例2]0.82002÷0.00346＝237
说明：本例题是小数除法，运算时看成是整数除法，即可看成是：82002÷346，因为是算后定位的（以下同）。
①将被除数82002从算盘左边第三档起拨入。 图
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②被除数首位8大于除数首位3，属数大类型。将被除数首位8除以除数首位3，可估商2并拨在被除数首位8的左边隔一档上（数大隔位商），然后在商2的右档起依次减去乘积“二三06”、“二四08”、“二六12”，余数为12802。
图
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③余数首位1小于除数首位3，属数小类型。将余数的首次两位12除以除数首位3，可估商3并拨在余数首位1的左边一档上（数小前位商），然后在商3的右一档起依次减去乘积“三三09”、“三四12”、“三六18”，余数为2422。
图
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④余数首位2小于除数首位3，属数小类型。将余数首次两位24除以除数首位3，可估商7并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七三21”、“七四28”、“”七六42，恰好除尽。
图
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⑤定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，0位-（-2）位+1位＝3位，得商237。
[例3]2.829043÷4.23＝0.67
说明：本例为除不尽题，商数要求保留两位小数，以下四舍五入。 ①将被除数2829043从算盘左边第三档起拨入。 图
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②被除数首位2小于除数首位4，属数小类型。将被除数的首次两位28除以4，可估商6并拨在被除数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商6的右一档起依次减去乘积“六
四24”、“六二12”、“六三18”，余数为291043。
图
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③余数首位2小于除数首位4，属数小类型。将余数的首次两位29除以4，可估商6并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商6的右档起依次减去乘积“六四24”、“六二12”、“六三18”，余数为37243。
图
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④余数首位3小于除数首位4，属数小类型。将余数的首次两位37除以4，可估商8并拨在余数首位3的前一档上（数小前位商），然后在商8的右一档起依次减去乘积“八四32”、“八二16”、“八三24”，余数为3403。
图
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⑤因为要求保留两位小数，故不必再算下去了。定位：1位-1位＝0位，得到商数为0.668，但小数第三位是8，向第二位进1，因此，商数为0.67。
练习题
用隔位商除法计算下列各题： （1）361548÷726＝ （2）92638÷182＝ （3）250582÷718＝
（4）152796÷357＝
（5）583576÷613＝ （6）694458÷941＝
（7）510378÷627＝ （8）46129÷283＝ （9）8.1906÷9.35＝ （10）10.1388÷2.84＝ （11）2779.92÷57.2＝
（12）29.0472÷0.798＝ （13）749.47÷14.9＝ （14）0.390208÷0.0536＝ （15）461.58÷29.4＝ （16）30715.9÷40.9=
3.补商与退商。
商除法，如果计算熟练，掌握试商规律，可以作出一次准确试商，避免商的修正。但是，由于除数的位数较多，要想一次准确试商是不容易的，都难免发生误差。试商误差的表现形式不外乎两种：一是估的商偏小，还得补上一定的商数，这就是要补商。二是估的商偏大，还得减少一定的商数，这就是要退商。
（1）补商。当试商同除数的各位乘减后，商数的右边一档起就有余数，或商数的右边隔一档起的余数首位数大于除数的首位数（也包括余数的前几位与除数各位都相等）时，说明所估的商数小了，应进行补商。补商的方法是：“在补商中加1，并在商数右边隔一档起减除数一次。”如果补一次不够，就再补一次。
[例1]161.84÷2.38＝68
说明：本例的答案是68，在这里有意识的将商数估得小一点，即第一次估商为5，第二次估商为7，以便进行补商的介绍。 ①将被除数16184从算盘左边第三档起拨入。 图
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②被除数首位1比除数首位2小，属数小类型。估商5并拨在被除数首位1的左一档上（数小前位商），然后在商5的右一档起依次减去乘积“五二10”、“五三15”、“五八40”，余数为4284。
图
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③经过乘减后，商数5右边隔一档起的余数首位是4，比除数首位2要大，说明估商5偏小，要补商1，即在初商5中加1，然后在商数6右边隔一档起减除数238一次，余数为1904。
图
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④余数首位1比除数首位2小，属数小类型。估商7并拨在余数首位1的左一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七二14”、“七三21”、“七八56”，余数为238。 图
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⑤经过乘减后，商数7右边隔一档起的余数是238，与除数完全相同，说明估商7偏小，要补商1，即在初商7中加1，然后在商数8右边隔一档起减除数238一次，恰好除尽。
图
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⑥定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，3位-1位＝2位，得到商数为68。
在除法运算中，不论在哪一次试商过小，都可以随时补商。可以一次补，也可多次补。一般说，补商比退商容易。
（2）退商。出现退商有两种类型：
第一种类型称为“立商即退”，即：当立商后，这个初商乘以除数的首位数时，被除数（或余数）里就不够减其积，这说明所立商偏大，只要在初商中减1就可乘减。如果初商减1后还不够乘减，则初商再减1，直至够乘减为止。这种情形，因为初商还没有与除数的任何一位乘减过，所以，不必在被除数（或余数）中加上任何数。
第二种类型为“中途退商”，即当立商后，在从被除数减去试商与除数前几位的乘积后，才发现不够继续乘减，就应一面把试商减1，一面在试商的右二档起，依次加上除数被乘减过的那一部分数，然后用调整后的“新试商”继续与未乘过的除数相乘，并按一定的档次减积。
[例2]21646.72÷726.4＝29.8 说明：本例的答案是29.8，在这里有意识的将商数估的大一点，即第一次估商为3，以便于作退商的介绍说明。
①将被除数2164672从算盘左边第三档起拨入。
图
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②被除数首位2小于除数首位7，属数小类型。将被除数的首次两位21除以除数首位7，估商3并拨在被除数首位2的左一档上（数小前位商），然后将商数3乘以除数7246，减“三七21”、“三二06”是够减的，但在减“三六18”时算盘上的被除数不够减。
图
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③不够减，说明商数估的偏大，要退商1，并在商数右边隔一档起加还除过数72。 图
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④将退商后的商数2乘以还没有乘减过的除数后两位64，从被除数中减“二六12”、“二四08”，得到首位商数为2，余数为711872。
图
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⑤余数首次两位71小于除数首次两位72，属数小类型。估商9并拨在余数首位7的前一档上（数小前位商），然后在商9的右档起依次减去乘积“九七63”、“九二18”、“九六54”、“九四36”,余数为58112。 图
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⑥余数首位5小于除数首位7，属数小类型。估商8并拨在余数首位5的前一档上（数小前位商），然后在商8的右档起依次减去乘积“八七56”、“八二16”、“八六48”、“八四32”，恰好除尽。
图
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⑦定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1，5位-3位＝2位，得到商数为9.8。 2
[例3]1.9344÷0.248＝7.8
说明：本例的答案是7.8，在这里有意识的将商数估的大一些，即第一位商数估成9，这需退二次商；第二位商数也估成9，需退一次商。
①将被除数19344从算盘左边第三档起拨入。
图
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②被除数首位1小于除数首位2，属数小类型。将被除数的首次两位19除以除数首位2，可估商9并拨在被除数首位1的左一档上（数小前位商），然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，但在减“九四36”时算盘上的被除数不够减。
图
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③不够减，说明商数估的偏大，要退商1，并在商数右边隔一档起加还除过数2。 图
· · · ·
④将退商后的商数8乘以还没有乘减过的除数后两位48，从被除数中减“八四32”是够减的，但在减“八八64”时被除数又不够减。 图
· · · ·
⑤不够减，说明商数8还偏大，还需要退商1，并在商数右边隔一档起加除过数24。 图
· · · ·
⑥将退商后的商数7乘以还未乘减过的最后一位除数8，从被除数中减“七八56”，余数为1984。
图
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⑦余数首位1比除数首位2小，属数小类型。余数首次两位19除以除数首位2，可估商9并拨在余数首位1的左一格上（数小前位商），然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，但在减“九四36”时算盘上的被除数不够减。
图
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⑧不够减，说明商数估的偏大，要退商1，并在商数右边隔一档起加还除过数2。
图
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⑨将退商后的商数8乘以还没有乘减过的除数后两位48，从被除数中减“八四32”“八、八64”，恰好除尽。
图
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⑩定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不够加1，1位-0位＝1位，得到商数为.8。 7
另外，还可以采用一种负数退商法。 负数退商法是在“过大商”，被除数（或余数）不够减的时候，利用负数（虚珠）来解决退商的一种方法。 负数退商法的步骤是: ①在减商积时，即使发生负数，也要减到底，负数以虚珠记数。②不够减时，要取一位整数为负数（虚珠），其他数字都用正数，按照正常方法计算。③以除数补负数，直到将负数（虚珠）补完为止，补几次除数，就退几个商。
运用负数法，就不会发生续减和第二次退商的问题。 现仍以[例3]1.9344÷0.248为例，用负数退商法进行运算。
①将被除数19344从算盘左边第三档起拨入。 图
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②估商9并拨在被除数首位1的左一档上（数小前位商），然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，但在减“九四36”时不够减，在余数首位1的前一档暂虚借1，以虚珠表示，即可相减，减“九四36”、“九八72”。
图
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③因有虚珠，因此在初商9中减1，并在商数右边隔一档开始加除数248。 图
· · · ·
④因为加一次除数后，还不能归还虚借的1，则再退商1，并在商数右边隔一档开始加除数248，能归还虚借1，即得到首位商为7，余数为1984。
图
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⑤估计第二位商为9，并拨在余数首位1的左边一档上（数小前位商）然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，但在减“九四36”时，不够减，在余数首位1的前一档暂虚借1，以虚珠表示，即可相减，减“九四36”、“九八72”，余数为752。
图
· · · ·
⑥因有虚珠，因此在初商9中减1，并在商数右边隔一档开始加除数248；加248后恰好能归还虚珠1，说明刚好除尽，第二位商确定为8。
图
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⑦定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1，1位-0位=1位，得到商数为.8。 7
练习题
1、用补商法，退商法进行补商和退商的练习。 计算题 除次 第一位商数 第二位商数 第三位商数 第四位商数 用商除法计算下列各题：
（1）48396÷148= （6）75.1482÷2.49= （2）490028÷518= （7）125.7907÷25.31= （3）157472÷296= （8）4.521564÷0.549= （4）275692÷439= （9）104.2844÷380.6= （5）311856÷712= （10）40434.24÷73.92= （三）不隔位商除法
这种方法的计算原理、方法步骤和历史上形成的隔位商除法基本一致，只是置商和减积的档次不同，在一定程度上说，熟练掌握不隔法，其计算速度是快速的。
1、置商原则。
概括为“够除挨位上商数，不够除本位改商数”。
2、减积档次。
商与除数的乘积为两位数时，即在商的本位起减积，如乘积为一位数时，则再商后挨位减积。由于有“本位改商”和“本位减积”因素，所以在减积时特别要注意心算和减积档次问题，尽可能避免补商和退商，以提高计算速度。
「例1」2460÷60=41
①在算盘左边第二档起拨上被除数246，默记除数60。 图
正确商 5 7 6 8 14206584÷2463=5768 初商 4 6 5 7 初商 6 9 7 9
· · · ·
②2与6相比，不够除，即在被除数首位（本位）上拨试商4，在商本位起减乘积“六四24”，因商数位已有2，故再加2为商数4，而减积时，十位数的“2”无需拨减，只减后一位个位数4就可以了，余数为6。
图
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③余数6与6相比，视同够除，则挨位上商1“一六06”在商后位(挨位）减去乘积6恰好除尽，得商41，定位后商为41
图
· · · ·
「例2」0.10421÷1226=0.000085 ①算盘左边第二档起拨被除数10421，默记除数1226。 图
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②10与12相比，不够除，本位（被除数首位）试商8，乘积“八一08”，因商的右挡时0，即从商本位退1后减积，因商数原位上先有被除数1，故只在后位加余数2，然后再继续减积“八一16”、“六二12”、“八六48”,有余数为613。
图
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③余数613大于122，则在左档挨位试商4，在商4后右挡挨位减积“四一04”、“丝儿08”、“四二08”、“四留24”，余数为1226。 图
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④余数1226，说明估商偏小，应在原试商后挨位减1×1226乘积，恰好除尽，经定位后得商0.000085。
图
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[例3]21756÷588＝37 ①算盘左边第二档起拨被除数21756，默记除数588。 图
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②21与58比，不够除，则在被除数首位改商作商，即不够，再续减“四八32”，但被除数17不够减32，说明估商偏大，应退商1，下位还上多减的除数5，余数为6756。
图
· · · ·
图
③再继续减积“三八24”、“三八24”，余数为4116。 图
④余数411小于588，则本位改商7，在商本位起减乘积，“七五35”，这时商数位上只要加5减“七八56”、“七八56”，恰好除尽，经定位，商为37。
图
图
（四）商除法的正确、快速试商的方法
商除法具有简单易学的特点，可是，有很多人认为：“商除法试商没有准数，估商难，试商慢”。其实，试商并非没有准数，并非难，慢。问题在于是否熟练，是否掌握试商规律，形成条件反射的，在运算时，法实数反映在脑中后，见数马上就会自然地出现准确的商数来。算盘打得好的选手确实是这样，一看到法实二数马上就能反映出正确的商数来，一次确商，不会出现补商和退商的麻烦事，这自然就算得快了。
试商是商除法的一个难点，见数即能试商，并且快而准，就能加快商除法的运算速度。试商的难点地在多位数的除法上。在算术除法的试商中，它的方法是：①够除的。用被除
数的头两位数字与除数的头两位数字来试商。②不够除的。用被除数的头三位数字与除数的头两位数字来试商。
这就产生了试商的难度，而珠算商除法可用多种方法来进行试商。 1.用扩大除数的方法来估商。
当除数首位数是1、2、3时，用首次两位估商，第三位不论多少均在次位上加1，如除数是135、246、325，则分别按14、25、33估商。除数首位是4至9的，均在首位上加1估商，如除数是536、723、837，则分别按6、8、9估商。用这种扩大除数的方法估商，避免了退商，但它常会发生补商。
2.用除数首位进行估商。
这种方法比较简单，它在估商时只用除数首位和被除数的首位或前两位比较，不考虑除数第二位以后的各个数。一般说这样估商易造成估商偏大，因而退商的机会较多。
3.看头位，顾二位，适当偏小进行估商。
这种方法是在估商时参照第二位除数，即在估商时除看除数的第一位，还要看第二位和商的乘积有“几十”进到前一位来。这种方法虽较准确，但估商费时费心，不易掌握，影响运算速度。
4.除数首位加1进行估商。
这种方法就是在心算估商时，用除数第一位数字加1，与被除数首位或前两位比较，这样商数容易估得偏小。采用这种方法则容易造成补商。
5.看除数第二位数在大小来进行估商。 如果除数第二位小于5时，可按被除数的首、次两位除以除数进行直接估商。如27836÷436，因除数的第二位是3，可将被除数的首次两位27除以除数首位4来估商，可估商6。如果除数的第二位大于5或等于5时，估商时将除数的首位加1后，再将被除数的首次两位除以除数加1后的首位。如65408÷896，除数的第二位是9，估商时要将除数的首位8加1，按65除以9来估商，可估商7。
6.看除数的次位比除数的首位数字的大小来估商。 如果除数的次位比首位小，就用首位与被除数估商；如果除数的次位比首位大，就用首位与被除数估商后的低一级数字置商（置商从小），如1436÷43，因除数的次位比首位小，就以首位4与被除数14比较置商了，余类推。再如1923÷67，因除数的次位比首位大，就用首位6与被除数19比较，虽能估商3，但只置商2，余类推。这一方法的优点是容易掌握，估商快，因它不采用“首位加1”。所以估商与除数相乘的乘积容易反映出来，缺点是容易出现补商和退商。
7.被除数首位与除数首位相同时的估商。
当被除数首位与除数首位相同，但次位除数比被除数大，估商一般是9或8，如4627÷48，估商为9。有时前面几位都相同，而后一位除数大于被除数，估商也是9或8，如77638÷778，估商为9。
8.用中诀进行估商。
有的认为商除法不如归除法试商快，因为归除法是利用口诀试商的，具有见数诀出手即拨珠的特点，不是由脑子思考商可以估多少。按这一原理，根据除数首位1至9各数与被除数1至9各数相除时，也可以编制商除法简单的试商口诀。
第一，“隔位置商”的估商口诀。
隔位置商都是在被除数首位大于除数首位的情况下运用的，它有两种类型。
第一种类型的口诀是：“一同二半商酌减”。 “一同”，是指除数的首位是1去除任何一个数时，其估商从被除数的首位为基础，在考虑除数的次位大小因素后，酌情减少一点。如果除数的次位大于5时，如16、17、18、
19等，可以把除数的首位当2来进行估商。
“二半”，是指除数的首位为2时，按被除数的首位折半酌减来进行估商。如88÷27，按除数的首位折半为4，再酌减1而估商为3。
第二种类型的口诀是：“其他各数商一、二”。 “其他各数”，是指首位不是1和2的除数，去除比它大的各数时，可估商1或2。如736÷648、639÷289、5437÷5421等，均可估商1或2。 第二，“挨位置商”的估商口诀。
挨位置商都是在除数首位小于除数的情况下运用的，具体估商口诀为： ①“二一6”。它是指除数首位是2，被除数首位是1的时候，则估商为6。
②“三一4”，“三二7”。“三一4”，是指除数首位是3，被除数首位是1的时候，估商为4。“三二7”，是指除数首位是3，除数首位是2的时候 ，估商为7。
③“四一3”，“四二5”，“四三7”。“四一3”，是指除数首数是4，被除数首位是1的时候，估商为3。“四二5”，是指除数首位是4，被除数首位是2的时候，估商为5。“四三7”，是指除数首位是4，除数首位是3的时候，估商为7。 ④“五商加倍”。它是指除数首位是5时，将除数的首位加一倍进行估商。如3647÷628，估商时将被除数首位3加一倍为6。 ⑤“六商加2”。它是指除数首位是6时，将被除数首位数加2进行估商。如2638÷628，估商时将被除数首位2加2为4。
⑥“七、八商加1”。它是指除数首位是7或8时，将被除数首位数加1进行估商，如2846÷784、3753÷886，估商时均将被除数首位加1，即估商分别为3和4。 ⑦“九商相同 ”。它是指除数首位是9时，估商是被除数的首位数，如4276÷982，估商为被除数的首位数4。 用口诀进行估商，其优点是估商较快，但是估商不是十分正常，常常出现估商偏大或偏小的情况。
9.简代试商的位数。 第一，数在类型的。用被除数的首位数除以除数的首位数来试商。如832÷26＝32，求第一位商数时，是用8÷2来试商的。 第二，数小类型的。用被除数的首次两位数除以除数的首位数来试商。如22968÷638＝36，求第一位商数时，是用22÷6来试商的。
总之，对于试商要求练习用直观的方法，通过条件反射，一看便能快速地得出商数来而条件反射的。形成，是需要掌握以上众多的试商方法，并不断加强练习，从而达到试商快又准。
练习题
用不隔位商除法计算下列各题： （1）453992÷847＝ （2）448775÷725＝ （3）580511÷947＝ （4）150002÷419＝ （5）35076÷148＝ 二、归除法
（一）归除法的特点
归除法是比较古老的传统算法，在宋代形成。归除法包括“归”和“除”两个运算步骤，它是利用口诀来求商的一种除法，共有七十七句，其中一位数的基本求商口诀五十九句，退商和撞归各九句。虽然这些口诀初看似乎很难记，其实不然，只要花些时间去记忆是
（6）36.7774÷14.6＝
（7）319402.08÷369.7＝ （8）11.680838÷0.359＝ （9）41.92518÷91.74＝ （10）401.2173÷46.17＝
能记住的，熟记后将终身不忘，形成条件反射，见数后就能随口出商。
1.归除法有以下一些有点：
（1）归除法求商数可用歌诀随口呼出，不用心算估商，因此，试商较快。特别是一位除法。
（2）归除法的商数，由被除数改成，不象商除法那样商数还要另立一处。
（3）归除法省去了商数与除数首位相乘从被除数中减去的动作。 （4）归除法用“起一还原法”调高，比商除法调商容易。 （5）归除法做低位数除法，尤其是做一位数除法速度更快。 2.归除法的缺点。 归除法也存在以下一些缺点：
（1）归除法和笔算联系不大，就是熟悉笔算除法的人，学习归除法也要另起炉灶，从头学起。
（2）归除法只归一位，多位除法要经过乘减，因而位数越多效率就显示得低一些。 （3）归除法运算，经常要用顶、底二珠，有的还要“悬珠当十”或“见珠默记”，拖泥带水，容易出错。 （二）九归口诀
归除法的运用“九归口诀”时行除法运算的。所以，学习“归除法”首先必须熟记和熟练使用这些口诀。
“九归口诀”是我国古代劳动人民在长期实践中为了提高除法计算速度，减少心算估商，根据被除数1、2、3、4、5、6、7、8、9各数应得一位商数或应余的余数而编制成的，所以，每句口诀中都包括被除数。除数、商数或余数，求商时可随口呼出，非常方便。九归口诀如表4-1所示。
表4-1
九归口诀表
逢一进1、逢二进2、逢三进3、逢四进4、逢五进5、逢六进6、逢七进7、逢八进8、逢九进9。 二一改作5、逢二进1、逢四进2、逢六进3、逢八进4。 三一3余1、三二6余2、逢三进1、逢六进2、逢九进3。 四一2余2、四二改作5、四三7余2、逢四进1、逢九进3。 五一改作2、五二改作4、五三改作6、五四改作8、逢五进1。 六一下加4、六二3余2、六三改作5、六四6余4、六五8余2、逢六进1。 七一下加3、七二下加6、七三4余2、七四5余5、七五7余1、七六8余4、逢七进1。 八一下加2、八二下加4、八三下加6、八四改作5、八五6余2、八六7余4、八七8余6、逢八进1。 九一下加1、九二下加2、九三下加3、九四下加4、九五下加5、九六下加6、九七下加7、九八下加8、逢九进1。 除数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 单归 一归 二归 三归 四归 五归 六归 七归 八归 九归 （三）口诀解释 当除数是1、2、3、4、5、6、7、8、9时，分别叫一归、二归、三归、四归、五归、六归、七归、八归、九归。
九归口诀表中的口诀，第一个中文字是指除数，第二个中文字是指被除数，阿拉伯数字是指商数和余数（第一个阿拉伯数字是商数，第二个阿拉伯数字是余数）。如六归中的
第二句口诀“六二3余2”，第一个中文字“六”为除数，第二个中文字“二”为被除数，第一个阿拉伯数字“3”为商数，第二个阿拉伯数字“2”为余数，即为：20÷6，可得到商数3还余2。有些口诀只有一个中文字，有些口诀只有一个阿拉伯数字，所表示的意思是一样的。如一归中的九句口诀，都只有一个中文字和一个阿拉伯数字，“逢上进1”口诀，中文字“一”表示被除数，阿拉伯字“1”表示商数，意思是：1÷1时得到商数是1。再如，五归中的第一句口诀是“五一改作2”，只有一个阿拉伯数字，这个阿拉伯数是指商数。意思是10÷5时得到商数是2。
在五十九句基本里有“逢”、“进”、“改作”、“下如”、“余”，其意思是：①“逢”和“进”，“逢”是指拨去被除数首位档的数，“进”是指在被除数首位前一档拨入的数，“逢”和“进”是连在一起的，有逢必有进。②“改作”，是指把被除数首位档的数改为商数。③“一加”和“余”，都是指在被除数首位的右一档加上的数。
五十九句基本口诀分四类：“逢几进几”类，“几几改作几”类，“几几几余几”类，“几几下加几”类。这四类口诀的具体运用为：
第一，当被除数首位数字大于或等于除数时，则运用“逢几进几”的口诀。如8÷2、69÷3等，前者运用的口诀为“逢八进4”，得到商数为4；后者运用的口诀为“逢六进3”，得到商数为23。 第二，当被除数首位数字小于除数，且又是除尽时，则运用“几几改作几”的口诀。如30÷6、420÷5，前者运用的口诀为“六三改作5”，得到商数为5；后者运用的口诀为“五上改作8”、“五二改作4”，得到商数为84。 第三，当被除数首位数字小于除数，相除后有余数时，则运用“几几几余几”的口诀。如30÷4，则运用的口诀为“四三7余2”，得到商数为7，还余2。 第四，当被除数首位数字小于除数，相除后有商数与原被除数的首位相同，后面还有余数时，则运用“几几下加几”的口诀。如200÷8，运用的口诀为“八二下加4”、“八四改作5”，得到商数为25。
经过以上分析，可以看出：九归口诀不仅指明运算的条件和结果，而且还三分之一了拨珠顺序（即见数、诀出、珠动、变商数、剩余数）以及商和余数的拨放位置，具有指挥拨珠的作用。运用“逢几进几类”口诀，商数是拨在被除数的前一档上；运用“几几改作几”类口诀，是将被除数的首位改成商数；运用“几几加几”类口诀，被除数的首位不变，在后一档加上一个数；运用“几几几余几”类口诀，是将被除数首位拨成商数，再在后一档加上一个余数，这些也可以说是置商原则，必须严格按此原则拨珠。
归除法，一定要熟背，下面介绍运算方法时就要用到这口诀。
（四）一位数除法
古代把除数是一位数的除法叫“归法”，也叫“单归”。用归除法作一位数除法，只要连续用“九归口诀”就能求出所要求的商数，而且非常迅速。一位数除法的运算方法与步骤为：
1.置数。
将被除数从算盘左边第二档起拨入。
2.除的顺序。 先用被除数的首位去除以除数，然后依次向右运算。
3.运用口诀。
除数是几时，就用几归口诀进行运算，如68÷8，除数是8，就用八归口诀进行运算。被除数的每一档用九归口诀进行置商拨余数，在运用口诀的过程中，哪一个数是商数，哪一个数是余数要搞清楚，因此，特规定：
（1）凡是运用“逢几进几”口诀向前一档进上的数是商数，如果被除数本档的数还没
有拨完，剩下的数就是余数首位数，再用口诀进行运算。如90÷6，第一次运用口诀为“逢六进1”，在被除数9中拨减6，向前一档进1，这1是商数，商数右边一档的3就是余数，再运用口诀为“六三改作5”，得到商数为15。
（2）凡运用“几几改作几”口诀的，被除数本档改变了数字，改变后的数字即是商数，余数在商数的右边一档。如430÷5，第一次运用口诀为“五四改作8”，将被除数首位4改为商数8，余数为3；第二次运用口诀为“五三改作6”，将余数首位3改为商数6，得到商数为86。 （3）凡运用“几几几余几”的口诀，除数本档要改变数字，改变后的数字即是商数，商数后边还要加上一部分数，商数后边的数就是余数。如53÷7，第一句口诀为“七五7余1”，将被除数首位5改成商数7，后边一位还要加余数1，得首位商为7，余数为4。
（4）凡运用“几几下加几”口诀的，被除数首位不拨珠，这一位就是商数，后边一位加上一部分数，加上这部分数后，这一档即为余数。如11÷6，第一句口诀为“六一下加4”，被除数首位1不拨珠，作为商数1，后一档要加4，得到首位商数为1，余数为5。
4.商数的记法。
除尽的题，算盘上的数就是所求的商数，当除不尽时，根据精确度要求进行取舍。 5.定位。
用公式定位法进行取舍。 [例1]746÷2＝373 ①将被除数746从算盘左边第二档起拨入。 图
②“逢六进3”（将被除数首位拨减6后向左一档进3），得到第一位商为3，余数为1476。
图
③“二一改作5”（将余数首位1改为5），得到第二位商为5，余数为46。 图
④“逢四进2”（将余数首位4减去后向左一档进2），这2进到了第二位商中，使第二位商成为7，余数为6。 图
⑤“逢六进3”（将余数6减去后向左一档进3），得到第三位商为3，恰好除尽。 图
⑥定位，商数首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，即3位-1位+1位＝3位，得到商数为373。
说明：用归除法运算，被除数应从算盘左边第二档开始拨入，运算后，商数首位在左边第一档上出现时，不能加1位，以下同。
[例2]2.838÷0.6＝4.73
说明：本例是小数除法，运算时看成是整数除法，因为是算后定位的，以下同。 ①将被除数2838从算盘左边第二档起拨入。 图
②“六二3余2”（被除数首位改为3后右一档加2），得到第一位商为3，右一档原数是8，再加上2为10，因此，余数为1038。 图
③因余数首位是10，大于除数6，故“逢六进1”（余数首位减6后向左一档进1），这1是进到第一位商中，得第一位商为4，余数为438 图
④“六四6余4”（余数首位改为6后右一档加4），等到第二位商为6，余数为78。 图
⑤“逢六进1”（余数首位减6后向左一档进1），得到第二位商为7，余数为18。 图
⑥“六一下加4”（余数首位不拨珠，右一档加4），得到第三位商为1，余数为12。 图
⑦“逢六进1”（余数中减6后向前一档进1），第三位商成为2，余数为6。 图
⑧再“逢六进1”（余数中减6后向前一档进1），第三位商成为3，恰好除尽。 图
⑨定位，商数首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，即1位-0位＝1位，得到商数为4.73。
说明：上例有两次在运用口诀拨加余数过程中，商数的一档余数，因加上余数后使本档满十和超过十。在求第一个商时，“六二3余2”，被除数本档原数是8，加上2后变为10，本档加不下；在求第三个商时，“六一下加4”，余数原数为8，在加4是12，本档也加不下遇到这种情况。不能满十向商数中进1，因为进上去在就是商数。那如何处理呢?如果是用“二、五”、“二、四”珠算盘运算，可用顶珠来辅助记忆（为便于读者看清具体的运算，本书用顶珠来辅记）。如果是用“一、四”珠算盘，则要求用大脑来辅记。实际上当加
不下时，必定是等于或大于10，比除数要大，可迅速补商，因此，可用三种方法来处理：一是应在商数右边一档加上的数一概不加，减去部分数后凑足除数，即可向前一档进上商1，如28÷6，“六二3余2”，余2不加到被除数8里，而是在8里减去4，向商数中进1，因为加2未加，又减去4，则一共减去6，可以在商数中加1；二是商数右边一档能加多少算多少，未加上的数先脑记，等“逢几进几”补商后，再加上脑记的数，如76÷8,“八七8余6”，商数右边一档6，还可加上3，先加上3，说明还有3没有加上要脑记，然后“逢八进1”向前商进1后，本档余数尚余1，再加上脑记的3，得余数为4；三是当求商后，商数右边一档的余数本身就大于或等于除数时，先用“逢几进几”的口诀进商后，再加上应在这一档加上的余数，如48÷6，“六四6余4”，得到商数为6，商数6的右边一档的余数是8，比除数6大，先用“逢六进1”补商，余数还余2，再加上4，得余数为6。三种方法中第一种方法拨珠次数少，所以最好选择第一种方法来处理。
练习题
1.熟背九归口诀。
2.用单归法计算下列各题： （1）1126÷2＝ （2）1664÷3＝ （3）2548÷4＝ （4）1392÷5＝ （5）2772÷6＝ （6）2142÷7＝ (五)多位数除法
（7）6.5664÷8＝ （8）331.2÷90＝ （9）3.26÷0.2＝ （10）22.86÷3＝
（11）0.1729÷0.07＝ (12)55.62÷6＝
除数是两位以上的除法称为多位数除法。实际上，多位数除法才称为归除法，它分两部进行：第一步是“归”，即用九归口诀求得商数，这个商数称为初商；第二步是“除”，即把求得的初商与除数首位外的其它各位除数相乘，一边乘一边从被除数或余数中减去相乘的积数，经过乘减以后，初商才成为正式的商数，称确商。然后再用同样的方法求第二位、第三位商„„从而求出整个商数。
“归除”法又称大九归，如除数是48时，称为“四归八除”，即先用四归口诀求商，再用商数与8相乘，所得之积从被除数或余数中减去。 归除法分为基本归除、补商、退商、撞归四种类型 1.基本归除。
基本归除是归除法的基本方法，它分为两步进行：第一步是用除数的首位数去除被除数首位数，即用九归口诀来求得商数；第二步是将这个商数去乘以除数首位以外的其它各位，边乘边从被除数中减去积数。其运算方法与步骤如下:
（1）置数。将被除数从算盘左边第二档开始拨入。
（2）运用口诀。用除数的首位除被除数的首位来求得商数，即用九归口诀来求商，这个商叫初商，要通过乘减后才是确商。
（3）减积数。将所求商数乘以除数的第二、第三位„„直至乘完除数的每一位，边乘边从被除数中减去积数，从哪一档开始减呢？是从商数的右边一档开始减。减积时要做到“指不离档”，每减一次手指往后移一档，减积规律是：上一次乘减的个位档是下一次乘减的十位档。
（4）商数的记法。凡除尽的题，算盘上的数就是商数；如果除不尽时，按精确度要求取舍。
（5）定位。用公式定位法进行定位。 [例1]22698÷873＝26
①将被除数22698从算盘左边第二档起拨入。 图
②用除数首位8除被除数首位2，运用“八二下加4”口诀，得到首位初商为2。 图
③将初商2乘以除数第二、三位73，得146，从初商2右边一档起减146，可确定首位商为2，余数为5238。
图
④用除数首位8除余数首位5，运用“八五6余2”口诀，得到第二位初商为6。 图
⑤将第二位初商6乘以除数第二、三位73，得438，从初商6右边一档起减438，恰好除尽。
图
⑥定位，首位商数在算盘左边第二档上，故不能加1位，即5位-1位=2位，得到商数为26。
[例2]78.96÷3.76=21 ① 将被除数7896从算盘左边第二档起拨入。 图
② 将被除数首位3除被除数首位7,运用“逢六进2”口诀，得到初商为2。 图
③将初商2乘以除数第二、三位76，得152，从初商2右边一档起减152，首位商可确定为2，余数为376。
图
④用除数首位3除余数首位3，运用“逢三进1”口诀，得到第二位初商为1。 图
⑤将第二位初商1乘以除数第二、三位76得076，从初商1右边一档起减076，恰好除
41
尽。
图
⑥定位，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，即2位-1位=2位，得到商数为21。 图
练习题
用基本归除法计算下列各题： （1）202461÷651= （2）8064÷576= （3）22698÷873= （4）119646÷391 （5）215392÷848=
（6）10.6575÷7.25= （7）0.244494÷0.0423=
（8）8.7048÷0.279= （9）2481.82÷63.8= （10）62.5212÷7.56=
2.补商。 用九归口诀求出初商后，这个初商同除数首位以外的各数乘减后，商数右边一档起的余数首位大于或等于除数首位数时，说明这个商数求得偏小了，需要用补商的方法来调整商数。补商可以用两种方法进行。
（1）用“逢几进几”的口诀进商。它是将余数的首位运用“逢几进几”的口诀将商数进到初商中。用这种方法补商要注意两点：①记住进上了多少商；②将进上的商乘以除数的第二位、第三位„„依次从商的右一档起减去积数。如184÷326，第一次运用口诀求商“三一3余1”，得到初商为3，余数为94，将初商3乘以除数第二、三位26，得078从余数94中减去，得余数为862，商数3右边一档的余数首位是8，比除数首位3大，说明初商3偏小，在进行补商。用“逢六进2”的口诀进行补商，余数首位8减去6，在初商3中加2，这时商数为5，余数为262，减积数时不能用5去乘以除数第二、三位26，而是要将刚进上的商2去乘以降数第二、三位26，因为初商3已经与除数的第二、三位乘减过了。经过乘减后得到商为5，余数为21，商数右边一档余数的首位是2，比除数首位3要小，说明首位商数5是确商。
（2）在初商中加1，再在商数的右一档起减除数一次（包括除数的首位数）。用这种方法进行补商，每次只能补商1，因此，可能补商次数较多一些，如果补商一次后商数右边一档的余数首位还大于除数首位，可再补商，减除数，直至商数的右一档余数首位小于除数首位止。
两种补商方法，后一种方法较简单一些，不易搞错。
补商最好是在初商还未与除数首位以外各数乘减前进行，这是由于运用“几几几余几”和“几几下加几”的口诀时，要在初商的右一档加上一个数，加上后使余数的首位大于除数首位，有时会满10或超10，因此，可以确定要补商。初商暂不与除数首位以外的各数相乘，而是先用“逢几进几”的口诀进行补商，然后再一并乘以除数首位以外的各数。仍以184÷326来说明，第一次运用口诀求商“三一3余1”，得到初商为3，余数首位为9，比除数首位3大，初商3暂不与除数第二、三位26相乘，而是马上用“逢六进2”的口诀进行补商，得到商数为5，余数为34，再将商数5乘以除数的二、三位26，从余数中减去，得到首位商数为5，余数为21。用这种方法可以减少拨珠次数，但要能够正确判断，以防止出现退商。
42
[例3]2805÷561=5
为使读者掌握不同的补商方法，下面用三种补商方法进行运算。 方法一：用“补商1，减除数一次”进行补商。 ① 将被除数2805从算盘左边第二档起拨入。 图
②“五二改作4”，得到商数4，余数为805。 图
③将商数4乘以除数第二、三位61，得244，从商数4右边一档起减244，余数为561。 图
④因商数右边一档起余数与除数相同，在补商，在商数中加1。 图
⑤在商数右边一档起减除数561一次，恰好除尽。 图
方法二：用“逢几进几”的口诀进行补商。 ① 将被除数2805从算盘左边第二档起拨入。 图
②“五二改作4”，得到商数4，余数为805。 图
③将商数4乘以除数第二、三位61，得244，从商数4右边一档起减去，余数为561。 图
④因商数右边一档起余数与除数相同，要补商，作“逢五进1”口诀补商，余数为061。 图
⑤将补上的商数1乘以除数的第二、三位61，得061，从商数右边一档起减去，恰好除尽。
图
43
方法三：在第一次求得初商后，暂不与除数的第二、三位相乘，而是先补商，然后一并乘减。
①将被除数2805从算盘左边第二档起拨入。 图
②“五二改作作4”，得到初商为4，余数为805。 图
③因商数右边一档余数的首位是8，比除数首位5大，判断可以补商，暂不将商4乘以除数第二、三位61，而先用“逢五进1”进行补商，得到商数为5，余数为305。
图
④将商数5乘以除数第二、三位61，得305，从商数5右边一档开始减去，恰好除尽。 图
[例4]16.7692÷4.52=3.71 ①将被除数167692从算盘左边第二档起拨入。 图
②“四一2余2”，得到初商为2，余数为87692。 图
③因商数2右边一档余数的首位是8，比除数首位4大，判断可以补商，用“逢四进1”的口诀补商1，得到商数为3，余数为47692。
图
④将商数3乘以除数第二、三位52，得156，从商数3右边一样开始减去，得首位商为，余数为320392。 图
⑤“四三7余2”，得到第二位初商为7，余数为4092。 图
⑥将商数7乘以除数第二、三位52，得364，从商数7右边一档开始减去，得第二位商为7，余数为452。
44
图
⑦“逢四进1”，得到第三位初商为1，余数为052。 图
⑧将第三位初商1乘以除数第二、三位52，得052，从商数1右边一档起减去，恰好除尽。
⑨定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，2位-1位=1位，得到商数为3.71。
图
练习题
用归除法计算下列各题（注意补商）： （1）484298÷962= （2）319620÷761= （3）125856÷414= （4）448695÷845= （5）288792÷378=
（6）11.3288÷4.76=
（7）15746.5÷40.9= （8）26.0192÷3.46= （9）0.201608÷0.0316= （10）4.9731÷0.685=
3.退商。 须知九归口诀求得初商，有时也会偏大，这就得改变原来的初商，在初商中减去一个数，再加还部分数，这们叫“退商”。退商有两种情况： （1）用九归口诀求得初商后，这个初商乘以除数的第二位就不够减，即第一次减积就不够减。这时，需要用“不够减退一下还几”的退商口诀来调整初商，共有九句口诀，如表4-2所示。
表4-2 退商口诀表
除数首位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 归 一归 二归 三归 四归 五归 六归 七归 八归 九归 运用口诀 不够减退一下还1 不够减退一下还2 不够减退一下还3 不够减退一下还4 不够减退一下还5 不够减退一下还6 不够减退一下还7 不够减退一下还8 不够减退一下还9 口诀中一归、二归„„九归表示除数的首位数分别是1、2、„„9。“不够减”是指余数不够减初商与除数的乘积。“退一”是指把初商减去“1”，“下还几”是指把除数的首位数加在初商的右一档上。
这九句口诀不需要死记硬背，只要理解其要领即可。即当不够减时，在初商中减1，再
45
在初商的右一档加上除数的首位数。
[例5]410432÷583=704
①将除数410432从算盘左边第二档起拨入。 图
②“五四改作8”，得初商为8，余数为10432 图
③将商数8乘以除数第二位8得64，从商数8右边一档起减去，可余数首次位是10，不够减，需退商，退商1，在商数右边一档上除数首位5，得商数为7，余数为60432。
图
④将退商后的商数7乘以除数第二、三位83得581，从商数右边一档开始减去581，余数为2332。 图
⑤“五二改作4”，得第三位初商为4，余数为332。
图
⑥将商数4乘以除数第二、三位83，得332，从商数右边一档起减去332，恰好除尽。 图
⑦定位，商数首位在算盘左边第二档上，故不能加1位，6位-3位=3位，得商数为704。
（2）用九归口诀求得初商后，这个初商在与除数第二们起的各位相乘时，前一次或前几次是够减的，但减后几位时不够减，这种情况叫中途不够减，需用“中途退商”的方法来调整初商。运用的口诀是：“退一下还除过数”。所谓除过数就是指已经与初商乘减过的前几位除数。即在初商中减去1，再在商数右边一档起加还除过数（包括除数的首位数）。
中途退商比第一种退商要复杂、麻烦得多，要搞清楚两点：①要把退商后的商数去乘以还没有乘过的除数，比如原商为8，退1后是7，应将7同还没有乘减过的除数相乘；②要搞清哪几位已乘减过，哪几位还没有乘减，要做到手指不离档，即退一还除过数时，手指要在最末位档，下一次的十位档从这一档开始乘减。
[例6]4098855÷5195=789
①将被除数4098855从算盘左边第二档开始拨入。 图
46
②“五四改作8”，得到第一位初商为8，余数为098855。 图
③将初商8乘以除数第二位1，得08，从初商8右边一档开始减08，余数为018855。 图
④初商8乘以除数第三位9，得72在余数中减去，不够减，属中途退商，退商1后在初商右边一档开始加上除过数51，第一位初商成为7，余数为528855。
图
⑤将退商后的商数7乘以还未与原初商8乘减过的除数第三、四位95，得665，从商7右边隔一档起减去665，得到首位商为7，余数为462355。 图
⑥“五四改作8”，得到第二位初商为8，余数为623355。 图
⑦将第二位初商8乘以除数第二、三、四位195，得1560，从商数8右边一档起减去1560，得第一、二位商为78，余数为46755。
图
⑧“五四改作8”，得到第三位初商为8，余数为6755。 图
⑨将第三位初商8乘以除数第二、三、四位195，得1560，从第三位初商8右边一档起减去1560。 图
⑩第三位商数8右边一档起的余数为5195，与除数相同，要补商，即在第三位商数中加1，再在商数9右边一档起减除数5195一次，恰好除尽，得到商数为789。 图
11定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，7位-4位=3位，得到商数○为789。
47
图
[例7]3.2982÷0.0478=？ ① 将被除数32982从算盘左边第二档起拨入。 图
②“四三7余1”，得到初商为7，余数4982。 图
③将商数7乘以除数第二位7，得49，从初商7右边一档起减49。 图
④初商7乘以除数第三位8，得56，在余数中减去，不够减，属中途退商，退商1后在初商右边一档起加上除过数47，第一位初商改为6，余数为4782。
图
⑤将退商后的商数6乘以还未与原初商7乘减过的除数第三位8，得48，从商6右边隔一档起减去48，得到首位商为6，余数为4302。
图
说明：本例首位商数求出后，余数为4302，除数是478，遇到这类题用基本归除求商是无法解决的，而是要用第四种类型——撞归法才能解决。 练习题
用归除法计算下列各题（注意退商）：
（1）342161÷593= （2）512560÷688= （3）404726÷816= （4）116358÷246= （5）416852÷529= 4.撞归。
（6）30.8033÷4.51= （7）3169.44÷56.8= （8）1.13742÷0.267= （9）0.415305÷0.0839= （10）15.4755÷2.85=
上面例7首位商求出后，余数为4302，除数是478，余数首位与除数首位都是4，但各自的第二位数余数是3，比除数7要小。这类题如果用“逢几进几”的基本口诀来求商是不
行的。需要用撞归口诀来求商，如表4-3所示。
表4-3 撞归口诀表
除数首位数 1 2
归 一归 二归 48
运用口诀 见一无除作91 见二无除作92
3 4 5 6 7 8 9 三归 四归 五归 六归 七归 八归 九归 见三无除作93 见四无除作94 见五无除作95 见六无除作96 见七无除作97 见八无除作98 见九无除作99 口诀中一归、二归、„„九归是指除数和首位数分别是1、2„„9，“见几”的“几”是指遇到除数和被除数的首位相等时的数字。“无除”是指除数第二位大于被除数第二位
数，因而不够减去初商与除数的乘积。“作九几”是指把被除数的首位数改作商数“9”，并在下一档加上除数的首位数。
[例8]45243÷457=99
①将被除数45243从算盘左边第二档起拨入。 图
②用撞归口诀求商“，见四无除作94”，将被除数首位4拨成9，再在右一档加上4，得到第一位初商为9，余数为9243。 图
③将初商9乘以除数第二、三位57，得513，从初商9右边一档起减去513，得到首位商为9，余数为4113。
图
④继续用撞归口诀求商，“见四无除作94”，将余数首位4拨成9，再在右一档加上4，得到第二位初商为9，余数为513。
图
⑤将初商9乘以除数第二、三位57，得513，从初商9右边一档起减去513，恰好除尽。 图
⑥定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，5位-3位=2位，得到商数为99。
学会了撞归法后就可以解决例7的最后一步运算。
⑦用撞归口诀求商“，见四无除作94”，将余数的首位4拨成9，再在右一档加上4，得到第二位初商为9，余数为702。 图
⑧将初商9乘以余数第二、三位78，得702，从商数右边一档起减去702，恰好除尽。
49
图
⑨定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，1位-（-1）位=2位，得到商数为69。
练习题
1.用归除法计算下列题（注意撞归）： （1）604836÷634= （2）129042÷134= （3）428142÷429= （4）513585÷565= （5）802308÷834= 2.用归除法计算下列各题： （1）216460÷685= （2）603384÷744= （3）273487÷491= （4）447168÷548= （5）306646÷986= 三、连除法
（6）58.8432÷9.84= （7）0.126362÷0.0134 （8）2.2971÷4.65= （9）36.6286÷3.73= （10）411.68÷41.5=（6）33.2613÷8.73= （7）1.41525÷0.255= （8）3.65552÷0.0536= （9）0.81432÷0.232= （10）6253.78÷71.8=
有两个以上的除数叫做连除法。其方法是：被除数除以第一个除数所得的商数作为第二个除数的被除数，所得的商再作为下一个除数的被除数，余次类推。 连除法关键的问题是定位，要求计算前定位。由于除数个数增加，每除以一个除数，商数就有可能向前进一位。因此，进行连除的运算最好是能在算盘的横梁上标出位数，这样定位准而快。
按此要求，其运算方法与步骤为：
1.算前计位。 就是把除数的位数与除数的位数相减，还要再减除号数取其差。
设被除数的位数为m，除数的位数为n，y为两数相减后的位数，则连除法的前计位公式如下：
（1）用归除法运算时，算前计位公式是：y=m-n （2）用商除法运算时，算前计位公式是：y=m-n-x。这里的x代表除号数，为什么要减除号数呢？因为用算前计位法计算出的位数不是所求商的位数，而是被除数开始拨入的档位。商除法求得的商其首位数总是比归除法求得的商各大前进一位，因此，运算前先减去除号数。
2.将被除数拨入算盘。 要按算前计位求出的位数，确定被除数从哪一档开始拨入，相减后是正位数时，从0左边的档位开始拨入；负位时，从0右边的档位开始拨入；0位时，从0位档开始拨入。
3.用归除法或商除法进行求商、减积等运算。 [例1]461.76÷0.037÷2.6=4800
1.用归除法运算。 ①用算前计位法定出位数：3位+1位-1位=3位。 ②将被除数46176从算盘左边“3”字档开始拨入。 图
50
③进行除法运算：先以46176÷37=1248，再以1248÷26=48。 图
④定位，因商的首位数4在算盘0左边的“4”字档上，因此，商数为4800。 2.用商除法运算。 ①用算前计位法定出位数：3位+1位-1位-2位（除号）=1位。 ②将被除数46176从算盘左边“1”字档开始拨入。 图
③进行除法运算：先以46176÷37=1248，再以1248÷26=48。 图
④定位，因商的首位数4在算盘0左边的“4“字档上，故商数为4800。 [例2]79608.48÷43÷0.076÷8700=2.8 说明：本例只用归除法运算。 ①用算前计位法定出位数：5位-2位+1位-4位=0位。 ②将被除数7960848从算盘的“0”字档开始拨入。 图
③进行除法运算：先以7960848÷43=185136，再以185136÷76=2436，最后以2436÷87=28。 图
④定位，因商的首位数2在算盘0左边的“1”字档上，故商数为2.8。 练习题
用连除法计算下列各题： （1）35568÷38÷24= （2）29376÷54÷85= （3）3978÷1.3÷7.2=
（4）36.69312÷0.87÷6.59= （5）412.60752÷8.37÷5.2= （6）2887.6032÷83÷9.06=
第三节 变通除法
变通除法是适合某些特殊数字的算题的，带有一定局限性的算法 ，即按算题的不同情况来选用具体的变通方法进行运算。运用变通算法要掌握两个要点：首先对算题确定用哪种变通算法最合适；其次对有些算题要创造条件，突破数字的限制，以达到用变通算法运算的目的。
一、倍数除法
51
倍数除法也叫剥皮除法、累减除法，或称“商一法”、“商五法”、“商九法”。现在又有称为“一二五倍数除法”。它源于古时的“金蝉脱壳法”，就是商几后，从被除数中一层或一倍、二倍、几倍地减去除数。这种方法不用口诀，初学时很简单，但几倍的减除数需要有一定的心算能力。倍数除法一般是用隔位除法，即置商原则是：够除时隔位置商，不够除时挨位置商。
（一）商一法
从除法的运算方法可以看出，每求出一位商数后须从被除数中减去几倍除数。前面我们介绍除数从被除数中一次减去的。而商一法则采取逐次商一的方法。用累减法确定一位商，有时需要连续减去几次除数，当被除数不够减时，再用同样方法求下一位商，直到被除数被除尽或达到预定精确度的要求止。
商一法的运算方法与步骤为： 1.置数。
将被除数从算盘左边第三档起拨入。
2.置商位置。
按“等位除，隔位商；添位除，挨位商”的规则拨置商数。 3.减除数。
每拨入商数一，应及时减去一次除数。减除数的档次，不论是隔位还是挨位商，都按“隔位减除数”的规则拨珠，好从商的右边隔一档起减除数。
4.定位。
用公式定位法进行定位。 [例1]72016÷643=112
①将被除数72016从算盘左边第三档起拨入。 图
②被除数前三位为720比除数643大，可“等位除，隔位商1，隔位减去643”。得首位商为1，余数为7716。
图
③余数前三位为771比除数643大，可“等位除，隔位商1，隔位减去643”。得第二位商为1，余数为1286。
图
④余数前三位128比除数643小，故按“添位除，挨位商1，隔位减去643”。得第三位商为1，余数为643。
图
⑤余数是643，与除数相同，按“等位除，隔位商1，隔位减去643”。得第三位商为2，恰好除尽。 图
52
⑥定位，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，5位-3位+1位=3位，得到商数为112。
上例的第三位商是2，拨了两次商1，也减了两次除数643，拨珠次数多。为了提高运算速度，凡商数大于1时，就直接拨商几，同时减几倍的除数，这样可以减少拨珠次数。这里将置商、减除数方法改为：等位除，隔商几，隔位减几倍除数；添位除，挨商几，下位减几倍除数。
[例2]229632÷736=312
①将被除数229632从算盘左边第三档起拨入。 图
②被除数前三位229比除数736小，按“添位除，挨商3，下位减3倍除数”。得到首位商为3，余数为8832。
图
③余数前三位883比除数736大，按“等位除，隔商1，隔位减去736”。得到第二位商为1，余数为1472。
图
④余数前三位147比除数736小，按“添位除，挨商2，下位减2倍除数”。得到第三位商为2，恰好除尽。
图
⑤定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，6位-3位=3位，得到商数为312。
商一法一般是在估商为1、2、3时适用，超过了则不适用，这里要求能快速准确地心算任何数的二倍、三倍的积数，否则速度不快。 （二）商九法
商九法是在商一法的基础上发展起来的一种方法，是商一法的补充。商一法，对于商为5以内的数比较方便，如果商大于5，虽然运用商一法也能求得正确的商，但拨珠次数多，影响运算速度。
当商为9时，被除数必等于或大于除数的九倍。如果在这个被除数上再加上一个除数，其和必等于或大于除数的十倍。根据这一原理，当商为9时，不按商一法那样减九次除数，而是先在被除数上加一次除数，人为地把它加大到等于或大于除数的十倍，然后，再左移一档减去一次除数（即减去十倍除数）。同理，当商为8时，加两次除数，左移一档减去两次除数，余类推。
商九法的运算方法与步骤为：
1.置数。 将被除数从算盘左边第三档起拨入。 2.置商位置。
53
按“等位除，隔位商；添位除，挨位商”的规则拨置商数。商九法，一般是挨位置商，只有除数最商位数为1时，才会出现隔商或挨商两种情况。因此，在运算中，当除数最高位是2以上的数时，全部挨位置商；除数最高位数为1时，用上述规则确定置商位置。
3.试商。
根据“数近试商九，隔位加除数”的规则拨珠运算。
4.退商。
根据“无减商退一，隔位加除数”的规则拨珠运算。“无减”是指加一次除数，当未把被除数凑成除数的十倍，即不能挨位减去除数，说明试商偏大，需要把试商9减1，再隔位加一次除数。如果退商、加除数后，仍不够挨位减除数，应继续按上述方法退商，直至够减为止。
5.定商。
当试商或经过退商后，被除数已等于或大于除数的十倍，根据“加到够减时，挨位减除数”的规则拨珠运算。
6.定位。
用公式定位法进行定位。 [例1]478998÷5382=89
①将被除数478998从算盘左边第三档起拨入。 图
②“数近试商9”，隔位加除数5382一次。 图
③“无减商退1”，隔位加除数5382一次。 图
④“加到够减时”，挨位减除数5382一次。 图
⑤“数近试商9”，隔位加除数5382一次。 图
⑥“加到够减时”，挨位减除数5382一次。 图
⑦定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，6位-4位=2位，得到商数为89。
[例2]92568÷116=798 ①将被除数92568从算盘左边第三档起拨入。
54
图
②“数近试商9”（得商），隔位加除数116一次。 图
③“无减商退一”，隔位加除数116一次。 图
④“无减商退1”，隔位加除数116一次。 图
⑤“加到够减时”，挨位减除数116一次。 图
⑥“数近试商9”（挨商），隔位加除数116一次。 图
⑦“加到够减时”，挨位减除数116一次。 图
⑧“数近试商9”（隔商），隔位加除数116一次。 图
⑨“无减商退1”，隔位加除数116一次。 图
⑩“加到够减时”，挨位减除数116一次，恰好除尽。 图
11定位，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，5位-3位+1位=3位，得到商○
数为798。
（三）商五法 当商数是5时，如用商一法，需要连商五次，进行五次减积。如用商九法，则需加五
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次除数，减一次除数，都太麻烦。由于任何商数的五倍是该数的半数，这样，在商五时，只要在挨位减去除数的半数就行了。如果商是六，则先按商五，在商数的挨位减去半个除数，然后再在商数的隔位减一个除数；如商是四，则先在商数的隔位加一个除数，再在商数的挨位减半个除数。只要对任何数字即能判断出它的半数是多少，就能提高运算速度。
这里，迅速求出任何数的一半成为必需，可按下列方法判断一个数的半数： 第一，当一个数的各位数字都是偶数时，它各位数字都折半，就是该数的半数。如2468的半数是1234。 第二，当一个数的各位数字都是奇数时，则按各位数字减1后剩下的偶数折半，梁上除最高位外，每位都5，并在最末位后面多加一个5就是该数的半数。如3579，先按减1后的2468折半为1234，再在除1以外的234上加5变成789，并在9的后面多加一个5就成了1789.5，便是该数的半数。
第三，如果偶数与奇数混在一个数里，则凡是偶数均取一半，凡是奇数均减1后再取一半，每个奇数的后位加5，就是该数的半数。如43269875的半数是21634937.5。
商五法的运算方法与步骤为：
1.置数。 将除数从算盘左边第三档起拨入。
2.置商位置。 凡被除数首位大于除数首位时，则隔位置商；凡被除数首位小于除数首位时，则挨位置商。
3.试商。 如被除数首位数字接近除数首位数字的一半时，即可试商5，对于商4或商6时，亦用此法。
4.减积。 在减5与除数的乘积时，是隔位置商隔位减积，挨位置商挨位减积。在因商4商6而调积时，则在减积的次位调积。
5.定位。
用公式定位法进行定位。
[例1]26059÷4738=3.5 ①将被除数26059从算盘左边第三档起拨入。 图
②因被除数的首位是2，除数首位是4，可试商5，拨在被除数首位2的前一档上，并在被除数中减去除数的一半23690（5×4738），得首位商数为5，余数为23690。
图
③余数是23690，为除数4738的一半，因此，确定第二位商数也为5，拨在余数首位2的前一档上，并在余数中减去除数的一半23690（5×4738），恰好除尽。
图
④定位，因商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，5位-4位=1位，得到商数为5.5。
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图
在使用倍数除法时，商一、商九、商五法应结合起来用。 练习题
用倍数除法计算下列各题： （1）82896÷628= （2）158898÷746= （3）1050043÷853= （4）228780÷492= （5）481344÷736= 二、补数除法
当除数接近10时，先凑成10进行相除，即先在算盘上拨入被除数，然后将被除数（或余数）的首位作为商数，这个商数乘以除数的补数，边乘边将积数拨加在算盘上。
（一）补数除法的运算方法与步骤
1.置数。
将被除数从算盘左边第二档开始拨入。
2.凑成10。
n
将除数凑成10，并求出补数。 3.加积。
被除数或余数的首位作为商数，这个商数乘以补数，其积数加在被除数中。 4.定位。
用公式定位法进行定位。用补数法运算，一般的算题是属数小类型，因此，定位一般是不加1位的。
[例1]384291÷993=387
除数是993，接近1000，可以运用补数除法进行运算，其算式为： 384291÷993=384291÷（1000-7） ①将被除数384291从算盘左边第二档起拨入。 图
②被除数首位是3，得到首位商为3，再与补数007相乘得21，从商3右边隔一档起加21，得首位商为3，余数为86391。 图
③余数的首位是8，可确定第二位商为8，再与补数007相乘得56，从商8右边隔一档起加56，得第二位商为8，余数为6951。 图
④余数和首位是6，可确定第三位商为6，再与补数007相乘得42，从商6右边一档起加42，得第三位商为6，余数为993。
图
n
n
n
（6）1711875÷375= （7）337.692÷4.28= （8）5.74434÷0.582= （9）8258.844÷83.6= （10）93.21÷4.78=
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⑤余数为993，与原除数993相同，可得商1，在第三位商数中加1，并在商数7右边一档起减除数993，恰好除尽，商数为387。
图
⑥定位，6位-3位=3位，得到商数为387。 [例2]6384888÷9992=639
除数是9992，接近1000，运用补数除法进行运算，其算式为： 6384888÷9992=6384888÷（10000-8） ①被除数6384888从算盘左边第二档起拨入。 图
②被除数首位是6，确定首位商为6，再与补数0008相乘得48，从商6右边隔二档起加48，得各单位商为6，余数为389688。 图
③余数的首位是3，可确定第二位商为3，再与补数0008相乘得24，从商3右边隔二档起加24，得第二位商为3，余数为89928。 图
④余数的首位是8，可确定第三位商为8，再与补数0008相乘得64，从商8右边隔二档起加64，得第三位商为8，余数为9992。
图
⑤余数为9992，与原除数9992相同，可得商1，在第三位商数中加1，并在商数9右边一档起减除数9992，恰好除尽，商数为639。
图
⑥定位，7位-4位=3位，得到商数为639。
从上面两例可以看出，运用补数除法运算，只要将被除数的各位依次乘以补数，边乘边将积数拨加在算盘上，方法简单，运算速度快。 （二）补数除法应注意的问题
对于除数接近的除法，运用补数法运算要比基本的方法运算速度快，主要表现在，补数法没有试商这一环节，另外，改减积数为加积数。但是，如果没有很好掌握补数除法的运算要领，就易出差错，结果是弃简求繁。因此，补数除法在运算时应注意以下几个问题：
1.补数除法与补数乘法是不同的。 有人认为既然补数乘法是将被乘数拨在算盘上，然后用脑记住补数，眼看资料上的被
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乘数，边乘边从算盘上减去其积数，那么，根据乘法与除法互为逆运算的道理，补数除法也就是先将被除数拨在算盘上，用恼记住补数，眼看资料上的被除数，边乘边从算盘上加上其积数，这是错误的。现将补数乘法、补数除法用数学式表示：
积数=被乘数-（被乘数×乘数的补数） 商数=被除数+（商×除数的补数） 从上面可以看出，积数是从被乘数中减去“被乘数×乘数的补数”，而商数是在被除数中加上“商×除数的补数”，因此，采用补数除法运算要边看算盘上的被除数，边从高位到低位依次乘以补数，然后加上其积数。
2.要搞清从哪一档开始加上商乘以补数的积数。
用补数除法运算，商乘以补数从哪一档开始加是其积数，这又是补数除法重要的一环。为便于正确判断从哪一档开始加积数，首先将被除数从算盘左边第二档开始拨入，然后确定从哪一档开始乘加。它有两种方法：
（1）在求补数时为保持一一对应，将补数用0补齐，如98凑成100，它的补数为02；995凑成100，它的补数为005。加积数时看补数的有效数字前有几个0，算盘左边留几档（左边第一档除外，下同），从下一档开始加积数。
（2）看除数高位有几个9来判断从哪一档开始加。有一个9，算盘左边留一档，从第二档开始加；有两个9，算盘左边留两档，从第三档开始加，余类推。 以上两种方法后一种方法较好，眼看除数就可判断从哪一档开始加，如除数是9986，除数的高位有两个9，算盘左边留出两档。从第三档开始加，一目了然。 加积数时，要注意使用大九九，以防加错档次。补数除法的商和被除数在算盘上依次连在一起，要分清哪一档是商，哪一档开始是被除数。 3.补数是多位的算题情况更复杂些。
当补数是两位或两位以上时，比一位补数难度大一些，要将商数分别乘以补数的各位，积数依次拨加在算盘上。
[例3] 780.1232÷990.76=7.82
除数9976接近10000,补数为24,有两位。 ①将被除数7801232从算盘左边第二档起拨入。 图
②被除数首位是7，可确定首位商数为7，再与补数24相乘，得168，从商7右边隔一档起加168，得首位商为7，余数为818032。
图
③余数首位是8，可确定第二位商为8，再与补数24相乘，得192，从商8右边隔一档起加192，得第二位商为8，余数为19952。
图
④余数首位是1，确定第三位商为1，再与补数24相乘，得024，从商1右边隔一档起加024，得第三位商为1，余数为9976。 图
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⑤余数为9976，与原除数9976相同，可得商1，从第三位商数中加1，并在商数2右边一档起减除数9976，恰好除尽。
图
⑥定位，3位-2位=1位，得到商数为7.32。
补数是两位或两位以上时，注意将商数依次乘以补数的各位，否则是错的。 4.商乘以补数加上积数后引起进位而加大了商的处理。 有些算题，会出现加上商与除数的补数之积数后，商的后一位满商，即在初商中加上一个商，除数中须再加上或减去一定的数。
[例4]69.98892÷0.996=70.27
被除数的首位是6，补数为4，第一位商为6，乘以补数4，得到24，从为6后的第二档起加上24，当加上积数24后商6的右一档满10，要向商6进1。遇到这种算题，在没有弄清道理前是比较难以解决的。可用两种方法处理。
①当加上积数后商数一档满10，暂不进位，而是补商1，在余数中减去除数一次。上例商6乘以补数4得到24，从算盘左边第三档开始加上，第二档满10，不向商6进1，这时，余数的前三位为1022，比除数996大，故要补商1，减去996一次，得到商为7，余数为26892。
②当加上24后，商6的后一档满10，直接进上1，商改变为7，然后在相应的档上加上一个补数4，即得到商为7，余数为26892。 两种方法运算结果是一致的，但后者比前者简明快速。请读者将本例用两种方法进行运算，可以进行比较分析。
练习题
用补数除法计算下列各题：
（1）786633÷997= （2）454176÷996= （3）315456÷992= （4）871564÷9995= （5）1319604÷9997=
（6）6240012÷933=
（7）74.6504÷9.98= （8）4809.1128÷99.94= （9）73.507448÷0.9982= （10）74291.36÷993.2=
10，这得改变的初
三、省除法
除法题，除不尽是经常的，商数大都取近似值，精确度一般只要求小数点后几位。在除数和被除数位数较多时，影响商数绝对误差的主要是除数和被除数的前面几位。因此，在位数较多时，可以适当删去它们的后几位，截取前面几位，应用省除法使算式简化，加快运算速度。
省除法的运算方法与步骤为：
（一）计算出截取被除数与除数的位数
可按下列方法计算：先假设被除数的位数为m，除数的位数为n，精确度要求的位数为y，则有：
1.用隔位置商除法（如商除法）运算时，计算公式为： m-n+y+2(保险位数)
2.用挨位置商除法（如归除法）运算时，计算公式为： m-n+y+1(保险位数) 关于保险位数，在一般情况下，不取保险位数，其答数能够达到要求的精确度。但在
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特殊情况下，答数的末位数会误差1。所谓特殊情况，是指被除数和除数在截取有效数字时一个是尾数49被删去，一个是尾数51被进位。但是，即使遇到特殊情况，也不一会次次出现误差，但为了保证答数的绝对准确性，省除法还是应取保险位数。
（二）截取位数 根据计算出的位数截取被除数与除数的位数，末位数要看其下一位数的大小，按四舍五入法处理。 （三）置数
将截取后的被除数拨入算盘，用商除法运算时，被除数从算盘左边第三档起拨入；用归除法运算时，被除数从算盘左边第二档起拨入。
（四）压尾档
被除数的下一档是压尾档，如何做记号由各自方便而定，本收用“▼”表示压尾档。 （五）用任何基本除法进行求商，本书用商除法进行运算。
（六）减积
在减商数与除数相乘之积时，减到压尾档时按四舍五入处理，减5—9时须在压尾档的前一档减1，其后不再乘减。这样依次计算到余数只剩下压尾档前两档有算珠，而且小于除数头两位数为止（即不够除）。 （七）将压尾档的前几档上的数（被除数的余数）心算加倍
如果是用商除法运算的，则将压尾档的前两档的数加倍；如果用归除法运算的，则将压尾档的前一档的数加倍，与除数的头两位比较，如小则舍去，如大则在商的末位数加1。
（八）定位
可用公式定位法进行定位，也可根据预定准确度要求进行定位。如预定准确度
为
0.0001（0.01%）,那么，末商就是预定准确度的最后一位小数。商除法的末商在压尾档的前四档上，归除法的末商在压尾档的前三档上。
[例1]59.438652÷87.4312≈0.68
（商数要求准确到0.01，以下四舍五入）
（1）计算截取位数：2位-2位+2（预定精确度位数）+2（保险系数）=4位。 （2）截取位数：被除数和除数都截取4位，被除数为5944（第五位8进1），除数为8743（第五位1舍去不进）。 （3）拨截取后的被除数入盘：将被除数5944从算盘左边第三档起拨入。 （4）在被除数的后一档作压尾档的记号。
（5）进行相除运算： ①将被除数5944从算盘左边第三档起拨入。 图
②估商6，并拨在被除数首位5的左一档上。 图
③将商数6乘以除数8743，得积数为52458，从商数右边一档起分别减去其积数，压尾档应减8，故须在它的前一档减1，因此，实际上是减5246，得首位商为6，余数为698。
图
61
④估商7，并拨在余数首位6的左一档上。
图
⑤将商数7乘以除数8743，乘以87时积数为609，从余数中减去，乘以除数第三位4时积数为28，8在压尾档上减，五入，须在前一档减1，乘以除数第四位3积数为21，2在压尾档上减，四舍，则不在压尾档的前一档减1，得第二档商为7，余数为86。
图
⑥压尾档的前二位是86，加倍为172，大于除数首次两位87，故要在最后一位商7中加1，得商数为68。
图
⑦定位，2位-2位=0位，得到商数为0.68。
[例2]393851.7426÷7462184.28≈0.0528 （商数精确到0.0001，以下四舍五入） （1）计算出截取的位数：6位-7位+4（预定精确度位数）+2（保险位数）=5位。 （2）截取位数：被除数和除数都截取5位，被除数为39385（第六位1舍去不进），除数为74622（第六位8进1）。
（3）拨截取后的被除数入盘：将被除数39385从算盘左边第三档起拨入。
（4）在被除数的后一档作压尾档的记号。 （5）进行相除运算： ①将被除数39385从算盘左边第三档起拨入。 图
②估商5，并拨在被除数首位3的左一档上。 图
③将商数5乘以除数74622，得积数为373110，从商数右边一档起分别减去其积数，得首位商为5，余数为2074。
图
④估商2，并拨在余数首位2的左一档上。 图
⑤将商数2乘以除数74622，乘以前三位746时积数为1492，从余数中减去，乘以后两位22，是在压尾档上减积数的，但均在5以下，因此，不拨珠，得第二位商为2，余数为582.
62
图
⑥估商7，并拨在余数首位5的左一档上。 图
⑦将商数7乘以除数74622，乘以前二位74时积数为518，从余数中减去，乘以除数第三档6时积数为42，2在压尾档上减，四舍，不能在压尾档的前一档减1，乘以第四位2时积数为14，1在压尾档，舍去，不能在压尾档的前一档减1，得第三位的商数为7，余数为60。
图
⑧压尾档的前二档是60，加倍为120，大于除数首次两位74，故要在最后一位商7中加1，得到商数为528。
图
⑨定位，6位-7位=-1位，得到商数为0.0528。 练习题
用省除法计算下列各题（1——5精确到0.01,6——10题精确到0.0001,以下四舍五入）： (1)4.576948÷6.95724= (6)0.38574935 ÷6.49357= (2)597.49385÷74.3258= (7)34.571854÷71.3582= (3)87.645781÷49.2354= (8)0.63574832÷85.4137= (4)1.386547÷7.6358= (5)4827.53 ÷421.713=
(9)57.3461857÷7.34162= (10)476.43182÷65273.18=
四、珠算结合心算法
前介绍的除法运算方法，在减积数时都是商数乘以一位除数后减一个积数，如果除数是一个五位数，则需乘减五次积数（商除法）或减四次积数（归除法）。这样，减积速度不快。因此，要利用乘法的一位乘多位的求积法，将多次减积改为一次减积，这将大提高减积速度。一次减积，一般用商除法运算较好，因为商除法试商后，将商数乘以除数的积一次从被除数中减去，一目了然。
[例1]181665÷495=367
①将被除数181665从算盘左边第三档起拨入。 图
②估商3，拨在被除数首位1的前一档上，并将商3乘以除数495的积数1485一次从被除数中减去，得到首位商数为3，余数为33165。
图
③估商6，拨在余数首位3的前一档上，并将商6乘以除数495的积数2970一次从余数中减去，得第二位商数为6，余数为3465。
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图
④估商7，拨在余数首位3的前一档上，并将商7乘以除数495的积数3465从余数中减去，恰好除尽，得商数为367。
图
⑤定位，6位-3位=3位，得到商数为367。 [例2]27.9078÷5.79=4.82
①将被除数279078从算盘左边第三档起拨入。 图
②估商4，拨在被除数首位2的前一档上，并将商4乘以除数579的积数2316一次从被除数中减去，得到首位商数为4，余数为47478。
图
③估商8，拨在余数首位4的前一档上，并将商8乘以除数579的积数4632一次从余数中减去，得第二位商数为8，余数为1158。
图
④估商2，拨在余数首位1的前一档上，并将商2乘以除数579的积数1158从余数中减去，恰好除尽，得商数为482。 图
⑤定位，2位-1位=1位，得到商数为4.82。 [例3]21283.38÷285.3=74.6 ①将被除数21283.38从算盘左边第三档起拨入。 图
②估商7，拨在被除数首位2的前一档上，并将商7乘以除数2853的积数19971一次从被除数中减去，得到首位商数为7，余数为131238。
图
③估商4，拨在余数首位4的前一档上，并将商4乘以除数2853的积数11412一次从余数中减去，得第二位商数为4，余数为17118。
图
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④估商6，拨在余数首位1的前一档上，并将商6乘以除数2853的积数17118从余数中减去，恰好除尽，得商数为746。 图
⑤定位，5位-3位=1位，得到商数为74.6。 珠算结合心算除法，应有一位乘以多位速算求积的基础，因此，必须学好一位乘以多位的乘法，为学习运用一次减积创造条件。这种方法在运算时，可以双手拨珠，即左手拨置商数，右手拨减商与除数的积数，将更能提高除法的运算速度。
练习题
用珠算结合心算下列各题： (1)321284÷782= (2)254711÷437=
(3)409968÷624= (4)44787042÷6147= (5)16261546 ÷2759=
(6)37.7345 ÷8015= (7)1001144÷0.0376=
(8)2069.9348÷27.46= (9)650.68578÷9.357= (10)36.0912÷4.38=
第四节 除法验算方法
乘法与除法是互为逆运算的，因此，可用乘法还原的方法进行除法验算，比较简便、
可靠。验算方法是将所求得的商与除数相乘，如果得到的积数同被除数完全一致，就可以证明计算出的商是正确的。如果积数同被除数不一致，则有两种可能：或是验算时乘法运算发生错误；或是原来求的商是错误的。 验算带有余数的除法，将商和余数全部保留在算盘上，用除数与算盘上的商相乘，把积依次加在余数上，运算完了，算盘上表示的数同被除数完全一致，即证明原求出的商是正确的。
这里值得指出，采用上述方法，对归除法计算出的商进行验算时，只能使用不隔位乘法，这是由于两者的加减乘积的档次相同所决定的。 练习题
1.计算下列各题，并进行验算： (1)286704÷396= (2)175338÷459= (3)476992÷514= (4)112684÷286= (5)463968 ÷537= (6)3195118 ÷746= (7)1134903÷3927= (8)16947.12÷48.2= (9)103.9506÷9.21= (10)12.01636÷0.1843=
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2.除法趣题：
(1)998001÷999= (2)99980001÷9999= (3)520828125÷9375= (4)235704×175÷354= (5)467532×325 ÷702= (6)625374×175 ÷939= (7)455544×325÷684= (8)545454×65÷819= (9)445554175÷669= (10)555444×175÷834＝
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