高中数学§6 正切函数教案北师大版必修4 教案

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值X围；（3）掌握正

切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数 的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用 数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2、过程与方法

类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间 的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正 切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。 3、情感态度与价值观

使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的 思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自 身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而 不舍的钻研精神。

二、教学重、难点

重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质 难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题

三、学法与教学用具

我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从 而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念 作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函 数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切 函数的性质。

教学用具:投影机、三角板

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word

第一课时 正切函数的定义、图像及性质

一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并

借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】

正切函数的定义

在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单

位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.

比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ (α∈R，α≠＋kπ，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为 三角函数。

下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.

如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α 的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：

当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。 分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两 个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此， 我们称有向线段AT为角α的正切线。 2．正切函数的图象

（1）首先考虑定义域：xk210 P

o y 30 TA x 2kz

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word （2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：

tanxsinxsinxtanxxR,且xk,kz

cosxcosx2∴ytanxxR,且xk,kz的周期为T（最小正周期） 2（3）因此我们可选择

,的区间作出它的图象。 22y 2O 2x 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数ytanx

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数ytanxxR，

xR，且

x

2kkz的图像，称“正切曲线”

y 3220 23x 23 / 6 word

从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。

3．正切函数y＝tanx的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：x|x（2）值域：R

观察：当x从小于k 当x从大于

＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支2k,kz， 22kz，x k时，tanx22kkz，x2k时，tanx。

（3）周期性：T

（4）奇偶性：tanxtanx奇函数。 （5）单调性：在开区间

k,kkz内，函数单调递增。

22二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

三、课后反思

第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评

一、教学思路

【创设情境，揭示课题】

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word 同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。在学

正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？

【探究新知】

观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，－α的正切函数值有何关系？ 我们可以归纳出以下公式：π－α， tan(2π＋α)＝tanα tan(－α)＝－tanα tan(2π－α)＝－tanα tan(π－α)＝－tanα

tan(π＋α)＝tanα 【巩固深化，发展思维】

y 3220 23x 2例题讲评

【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评 例1．若tanα＝解：∵tanα＝

2，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。 32＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 35 / 6

word （1）如果α是第一象限的角，则由tanα＝

2可知，角α终边上必有一点P（3，2）. 3y213x313＝， cosα＝＝.

1313rr213313yx＝－， cosα＝＝－.

1313rr所以x＝3，y＝2. ∵r＝|OP|＝13 ∴sinα＝

(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝

例2．化简：

tan2tan3

tantan3tan 解：原式＝

tantantantan1＝＝－.

tantantantantantantan2．学生课堂练习

教材P45的练习1、2、3、4

二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

三、布置作业：P45习题A组1—11 四、课后反思

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