珠算的使用方法（三）

[例2]0.82002÷0.00346＝237

说明：本例题是小数除法，运算时看成是整数除法，即可看成是：82002÷346，因为是算后定位的（以下同）。

①将被除数82002从算盘左边第三档起拨入。

②被除数首位于除数首位3，属数大类型。将被除数首位8除以除数首位3，可估商2并拨在被除数首位8的左边隔一档上（数大隔位商），然后在商2的右档起依次减去乘积“二三06”、“二四08”、“二六12”，余数为12802。

③余数首位1小于除数首位3，属数小类型。将余数的首次两位12除以除数首位3，可估商3并拨在余数首位1的左边一档上（数小前位商），然后在商3的右一档起依次减去乘积“三三09”、“三四12”、“三六18”，余数为2422。

④余数首位2小于除数首位3，属数小类型。将余数首次两位24除以除数首位3，可估商7并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七三21”、“七四28”、

“”七六42，恰好除尽。

⑤定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，0位-（-2）位+1位＝3位，得商237。

[例3]2.829043÷4.23＝0.67

说明：本例为除不尽题，商数要求保留两位小数，以下四舍五入。 ①将被除数2829043从算盘左边第三档起拨入。

②被除数首位2小于除数首位4，属数小类型。将被除数的首次两位28除以4，可估商6并拨在被除数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商6的右一档起依次减去乘积“24”、“六二12”、“六三18”，余数为291043。

③余数首位2小于除数首位4，属数小类型。将余数的首次两位29除以4，可估商6并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商6的右档起依次减去乘积“24”、“六二12”、“六三18”，余数为37243。

④余数首位3小于除数首位4，属数小类型。将余数的首次两位37除以4，可估商8并拨在余数首位3的前一档上（数小前位商），然后在商8的右一档起依次减去乘积“八四32”、“八二16”、“八三24”，余数为3403。

⑤因为要求保留两位小数，故不必再算下去了。定位：1位-1位＝0位，得到商数为0.668，但小数第三位是8，向第二位进1，因此，商数为0.67。

练习题

用隔位商除法计算下列各题：

（1）3618÷726＝？（2）92638÷182＝？（3）250582÷718＝？（4）152796÷357＝？（5）583576÷613＝？（6）694458÷941＝？（7）510378÷627＝？（8）46129÷283＝？（9）8.1906÷9.35＝？（10）10.1388÷2.84＝？（11）2779.92÷57.2＝？（12）29.0472÷0.798＝？（13）749.47÷14.9＝？（14）0.390208÷0.0536＝？（15）461.58÷29.4＝？（16）30715.9÷40.9=？

3.补商与退商。

商除法，如果计算熟练，掌握试商规律，可以作出一次准确试商，避免商的修正。但是，由于除数的位数较多，要想一次准确试商是不容易的，都难免发生误差。试商误差的表现形式不外乎两种：一是估的商偏小，还得补上一定的商数，这就是要补商。二是估的商偏大，

还得减少一定的商数，这就是要退商。

（1）补商。当试商同除数的各位乘减后，商数的右边一档起就有余数，或商数的右边隔一档起的余数首位数大于除数的首位数（也包括余数的前几位与除数各位都相等）时，说明所估的商数小了，应进行补商。补商的方法是：“在补商中加1，并在商数右边隔一档起减除数一次。”如果补一次不够，就再补一次。

[例1]161.84÷2.38＝68

说明：本例的答案是68，在这里有意识的将商数估得小一点，即第一次估商为5，第二次估商为7，以便进行补商的介绍。

①将被除数16184从算盘左边第三档起拨入。

②被除数首位1比除数首位2小，属数小类型。估商5并拨在被除数首位1的左一档上（数小前位商），然后在商5的右一档起依次减去乘积“五二10”、“五三15”、“五八40”，余数为4284。

③经过乘减后，商数5右边隔一档起的余数首位是4，比除数首位2要大，说明估商5偏小，要补商1，即在初商5中加1，然后在商数6右边隔一档起减除数238一次，余数为1904。

④余数首位1比除数首位2小，属数小类型。估商7并拨在余数

首位1的左一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七二14”、“七三21”、“七八56”，余数为238。

⑤经过乘减后，商数7右边隔一档起的余数是238，与除数完全相同，说明估商7偏小，要补商1，即在初商7中加1，然后在商数8右边隔一档起减除数238一次，恰好除尽。

⑥定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，3位-1位＝2位，得到商数为68。

在除法运算中，不论在哪一次试商过小，都可以随时补商。可以一次补，也可多次补。一般说，补商比退商容易。

（2）退商。出现退商有两种类型：

第一种类型称为“立商即退”，即：当立商后，这个初商乘以除数的首位数时，被除数（或余数）里就不够减其积，这说明所立商偏大，只要在初商中减1就可乘减。如果初商减1后还不够乘减，则初商再减1，直至够乘减为止。这种情形，因为初商还没有与除数的任何一位乘减过，所以，不必在被除数（或余数）中加上任何数。

第二种类型为“中途退商”，即当立商后，在从被除数减去试商与除数前几位的乘积后，才发现不够继续乘减，就应一面把试商减1，一面在试商的右二档起，依次加上除数被乘减过的那一部分数，然后用调整后的“新试商”继续与未乘过的除数相乘，并按一定的档次减积。

[例2]216.72÷726.4＝29.8

说明：本例的答案是29.8，在这里有意识的将商数估的大一点，即第一次估商为3，以便于作退商的介绍说明。

①将被除数21672从算盘左边第三档起拨入。

②被除数首位2小于除数首位7，属数小类型。将被除数的首次两位21除以除数首位7，估商3并拨在被除数首位2的左一档上（数小前位商），然后将商数3乘以除数7246，减“三七21”、“三二06”是够减的，但在减“三六18”时算盘上的被除数不够减。

③不够减，说明商数估的偏大，要退商1，并在商数右边隔一档起加还除过数72。

④将退商后的商数2乘以还没有乘减过的除数后两位，从被除数中减“二六12”、“二四08”，得到首位商数为2，余数为711872。

⑤余数首次两位71小于除数首次两位72，属数小类型。估商9并拨在余数首位7的前一档上（数小前位商），然后在商9的右档起依次减去乘积“九七63”、“九二18”、“九六”、“九四36”,余数为58112。

⑥余数首位5小于除数首位7，属数小类型。估商8并拨在余数首位5的前一档上（数小前位商），然后在商8的右档起依次减去乘积“八七56”、“八二16”、“八六48”、“八四32”，恰好除尽。

⑦定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1，5位-3位＝2位，得到商数为29.8。

[例3]1.9344÷0.248＝7.8

说明：本例的答案是7.8，在这里有意识的将商数估的大一些，即第一位商数估成9，这需退二次商；第二位商数也估成9，需退一次商。

①将被除数19344从算盘左边第三档起拨入。

②被除数首位1小于除数首位2，属数小类型。将被除数的首次两位19除以除数首位2，可估商9并拨在被除数首位1的左一档上（数小前位商），然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，

但在减“九四36”时算盘上的被除数不够减。

③不够减，说明商数估的偏大，要退商1，并在商数右边隔一档起加还除过数2。

④将退商后的商数8乘以还没有乘减过的除数后两位48，从被除数中减“八四32”是够减的，但在减“八八”时被除数又不够减。

⑤不够减，说明商数8还偏大，还需要退商1，并在商数右边隔一档起加除过数24。

⑥将退商后的商数7乘以还未乘减过的最后一位除数8，从被除数中减“七八56”，余数为1984。

⑦余数首位1比除数首位2小，属数小类型。余数首次两位19除以除数首位2，可估商9并拨在余数首位1的左一格上（数小前位商），然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，但在减“九四36”时算盘上的被除数不够减。

⑧不够减，说明商数估的偏大，要退商1，并在商数右边隔一档起加还除过数2。

⑨将退商后的商数8乘以还没有乘减过的除数后两位48，从被除数中减“八四32”、“八八”，恰好除尽。

⑩定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不够加1，1位-0位＝1位，得到商数为7.8。

另外，还可以采用一种负数退商法。

负数退商法是在“过大商”，被除数（或余数）不够减的时候，利用负数（虚珠）来解决退商的一种方法。

负数退商法的步骤是:

①在减商积时，即使发生负数，也要减到底，负数以虚珠记数。 ②不够减时，要取一位整数为负数（虚珠），其他数字都用正数，按照正常方法计算。

③以除数补负数，直到将负数（虚珠）补完为止，补几次除数，就退几个商。

运用负数法，就不会发生续减和第二次退商的问题。 现仍以[例3]1.9344÷0.248为例，用负数退商法进行运算。 ①将被除数19344从算盘左边第三档起拨入。

②估商9并拨在被除数首位1的左一档上（数小前位商），然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，但在减“九四36”时不够减，在余数首位1的前一档暂虚借1，以虚珠表示，即可相减，减“九四36”、“九八72”。

数248。

③因有虚珠，因此在初商9中减1，并在商数右边隔一档开始加除

④因为加一次除数后，还不能归还虚借的1，则再退商1，并在商

数右边隔一档开始加除数248，能归还虚借1，即得到首位商为7，余数为1984。

⑤估计第二位商为9，并拨在余数首位1的左边一档上（数小前位商）然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，但在减“九四36”时，不够减，在余数首位1的前一档暂虚借1，以虚珠表示，即可相减，减“九四36”、“九八72”，余数为752。

⑥因有虚珠，因此在初商9中减1，并在商数右边隔一档开始加除数248；加248后恰好能归还虚珠1，说明刚好除尽，第二位商确定为8。

⑦定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1，1位-0位=1位，得到商数为7.8。

练习题

用商除法计算下列各题：

（1）48396÷148= （6）75.1482÷2.49=

（2）490028÷518= （7）125.7907÷25.31= （3）157472÷296= （8）4.5215÷0.9= （4）275692÷439= （9）104.2844÷380.6= （5）311856÷712= （10）40434.24÷73.92= （三）不隔位商除法

这种方法的计算原理、方法步骤和历史上形成的隔位商除法基本一致，只是置商和减积的档次不同，在一定程度上说，熟练掌握不隔法，其计算速度是快速的。

1、置商原则。

概括为“够除挨位上商数，不够除本位改商数”。 2、减积档次。

商与除数的乘积为两位数时，即在商的本位起减积，如乘积为一位数时，则再商后挨位减积。由于有“本位改商”和“本位减积”因素，所以在减积时特别要注意心算和减积档次问题，尽可能避免补商和退商，以提高计算速度。

「例1」2460÷60=41

①在算盘左边第二档起拨上被除数246，默记除数60。