2021年四川省自贡市中考数学真题含解析

数学

满分：150分 时间：120分钟

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题两部分）

第I卷 选择题（共48分）

一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为（ ）

A.0.88710 B.8.8710 C.8.8710 D.88.710

2.如图是一个正方体的展开图，把展开图叠成小正方体后，有“迎”字一面的向对面上的字是（ ）

A.百 B.党 C.年 D.喜

5343

3.下列运算正确的是（ ）

A.5a4a1 B.(a2b3)2a4b6 C.aaa D.(a2b)2a24b2 4.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）

22933

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5.如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是（ ） A.72° B.36° C.74° D.88°

6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示： 人数（人） 时间（小时） 9 7 16 8 14 9 11 10 这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A.16,15 B.11,15 C.8,8.5 D.8,9

7.已知x23x120,则代数式3x9x5的值是（ ） A.31 B.-31 C.41 D.-41

8.如图，A（8,0），C（-2,0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）

A.（0,5） B.（5,0） C.（6,0） D.（0,6）

2

9.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A.函数解析式为I

13 B.蓄电池的电压是18V R第 2 页 共 23 页

C.当I10A时，R3.6 D.当R6时，I4A时

10.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=3，OB=5，则CD的长度是（ ）

A.9.6 B.45 C.53 D.10

11.如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是AD边上的一动点，AM：MD=1:2,将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（ ）

A.

59565 B. C.3 D. 285

12.如图，直线y2x2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线yx3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域

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（阴影部分）面积的最大值是（ ） A.

211121 B. C. D.321632

第II卷（非选择题 共102分）

二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13.请写出一个满足不等式x27的整数解 .

14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%.小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩是 . 15.化简：

282 . a2a416.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是 .

17.如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，只用不带尺度的直尺，作出△ABC角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）

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18.当自变量1x3时，函数y|xk|（k为常数）的最小值为k3，则满足条件的k的值为 .

三.解答题（共8个题，共78分） 19.本题满分（8分）

计算：25|7|(23)0.

20.（本题满分8分）

如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：DE=BF

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21.（本题满分8分）

在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，,1.73）

22.（本题满分8分）

随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业,现有A，B两种型号的无人机都被用来送快递，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所有时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？

23.为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图

（1）本次抽样调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；

（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.

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24.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验，画出函数y8x的图象，并探究其性质. 2x4列表如下：

x y … … -4 -3 -2 a -1 0 0 1 b 2 -2 3 4 … … 8 524 138 5248  135（1）直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察函数y8x的图象，判断下列关于该函数性质的命题： 2x4①当2x2时，函数图象关于直线yx对称； ②x2时，函数有最小值，最小值为-2 ③1x1时，函数y的值随x的增大而减小. 其中正确的是 （请写出所有正确命题的番号） （3）结合图象，请直接写出不等式

8x4的解集为 . 2x4 第 7 页 共 23 页

25.（本题满分12分）

如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD. （1）求证：∠DAE=∠DAC； （2）求证：DF·AC=AD·DC； （3）若sin∠C=

1，AD=410，求EF的长. 4

26.（本题满分14分）

如图，抛物线y(x1)(xa)(其中a1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C. （1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；

（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为10:4，求此抛物线的解析式；

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（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y(x1)(xa)上是否存在一点P，使得∠CAP=∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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参与解析

一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为（ ）

A.0.88710 B.8.8710 C.8.8710 D.88.710

5343【解析】科学记数法表示为a

×10N

，其中1≤|a|＜10，故答案为C

2.如图是一个正方体的展开图，把展开图叠成小正方体后，有“迎”字一面的向对面上的字是（ ）

A.百 B.党 C.年 D.喜

【解析】根据正方体展开图可得，“迎”与“党”相对，故答案为B 3.下列运算正确的是（ ）

A.5a4a1 B.(a2b3)2a4b6 C.aaa D.(a2b)2a24b2

22933【解析】A正确答案为，B选项正确，C选项答案为，D选项为，故答案4𝑎𝑏42622

𝑎𝑎𝑎−+𝑏

为B

4.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）

【解析】A选项，对称轴1条，B选项和C选项为中心对称图形，D选项对称轴两条，故答

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案为D

5.如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是（ ） A.72° B.36° C.74° D.88°

【解析】正5边形每一个内角为故答案为A

6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示： 人数（人） 时间（小时） 9 7 16 8 14 9 11 10 (n2)180108，∵AB=BC，∴∠ACB=36°，∴∠ACD=72°，

n这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A.16,15 B.11,15 C.8,8.5 D.8,9

【解析】众数是出现次数最多的数，故众数为8，中位数即将数据排序后，中间两个数（8和9）的平均数8.5，故答案为C

27.已知x3x120,则代数式3x9x5的值是（ ）

2A.31 B.-31 C.41 D.-41

【解析】x23x=123x29x363x29x531，故答案为B

8.如图，A（8,0），C（-2,0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）

A.（0,5） B.（5,0） C.（6,0） D.（0,6）

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【解析】AB=AC=10，AO=8，在Rt△AOB中，根据勾股定理可得OB=6，故B（0,6），故答案为D

9.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A.函数解析式为I13 B.蓄电池的电压是18V RC.当I10A时，R3.6 D.当R6时，I4A时

【解析】函数解析式为y时，I6A，故答案为C

10.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=3，OB=5，则CD的长度是（ ）

A.9.6 B.45 C.53 D.10

36故A选项错误，蓄电池电压是49=36V，D选项，当R6x

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【解析】在Rt△ACF中，sin∠BAC=，在Rt△AOE中，sin∠BAC=

𝐴𝐶

𝐶𝐹𝑂𝐸𝑂𝐴

=，故CD的长度为

5

3245

=4.8，

故答案为A

11.如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是AD边上的一动点，AM：MD=1:2,将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（ ）

A.

59565 B. C.3 D. 285

【解析】过N作直线∥AB，交AD于H，交BC于G，由翻折性质可知△AMB≌△NMB，∴∠BNM=90°，进而可得△MNH∽△NBG，∴𝑁𝐵=

𝑀𝑁

𝑁𝐻1𝐵𝐺3

=，设NH=y，则BG=3y，MH=3y-2，

6

12

在Rt△MHN中，𝑀𝐻2+𝑁𝐻2=𝑀𝑁2，∴(3𝑦−2)2+𝑦2=22,∴y=5，∴DH=CG=5，在Rt△DNH中，𝐷𝐻²+𝑁𝐻2=𝐷𝑁2，∴DN=

6√5，故答案为5

D

12.如图，直线y2x2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线yx3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（ ） A.

211121 B. C. D.321632

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【解析】由旋转性质可知，该阴影部分的的面积等于以OQ为大圆半径R，OP为小圆半径r且圆心角为45°的扇形环的面积，即𝑆阴影=𝑆环=

𝜋𝑅28

−

𝜋𝑟28

，由题意可得，𝑅2=𝑥2+(−𝑥+3)

²

𝑟=𝑥+(−2𝑥+2)²，且0<𝑥<1,∴𝑅−𝑟=−3（x−3）+故阴影部分面积最大值为，故答案选A.

32𝜋

2

2

2

2

2

163

,当x=时，取得最大值，

3

3

116

第II卷（非选择题 共102分）

二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13.请写出一个满足不等式x27的整数解 .

【解析】𝑥>7−√2,故答案很多，最小整数为6，只需填6以上整数即可，答案不唯一 14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%.小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩是 . 【解析】加权平均数计算方法为90×30%+80×70%=83，故答案为83 15.化简：

282 . a2a4−

8𝑎2−4

【解析】

2(𝑎+2)𝑎2−4

=

2(𝑎−2)(𝑎+2)(𝑎−2)

=

2

𝑎+2

,故答案为

2

𝑎+2

16.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是 .

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【解析】根据观察a∗b6=ac，bc，c（a+b）运算的结果进行的顺序排列，故密码为244872. 17.如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，只用不带尺度的直尺，作出△ABC角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）

【解析】以B为圆心，任意长为半径画圆弧交∠B两边于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离为半径画圆弧产生的交点与点B所连线段即为所求，

18.当自变量1x3时，函数y|xk|（k为常数）的最小值为k3，则满足条件的k的值为 .

【解析】当k≥3时，x=3时函数取得最小值，∴k-3=k+3，不成立，当k≤-1时，x=-1取得最小值，此时-k-1=k+3，∴k=-2满足题意，当-1＜k＜3时，x=k时取得最小值，∴k+3=0，k=-3不满足题意，综上所述，k=-2

第 15 页 共 23 页

三.解答题（共8个题，共78分） 19.本题满分（8分）

计算：25|7|(23)0.

【解析】5-7+1=-1

20.（本题满分8分）

如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：DE=BF

【解析】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴DC∥AB且DC=AB，

∵E、F分别为AB、CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∴DF∥BE且DF=BE，∴四边形EBFD

2

2

1

1

为平行四边形，∴DE=BF.

21.（本题满分8分）

在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，,1.73）

第 16 页 共 23 页

【解析】∵在B处测得D处的俯角为53°，∴∠BDA=53°，在Rt△BAD中，tan∠BDA=𝐴𝐷，∴AD=𝑡𝑎𝑛53°，在Rt△CAD中，tan∠CAD=𝐴𝐷，且∠CAD=30°，CD=∴CD=

24√3tan53°24

𝐶𝐷

AD√3𝐵𝐴

≈8.0米

22.（本题满分8分）

随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业,现有A，B两种型号的无人机都被用来送快递，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所有时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？ 【解析】设B型机每小时运送x件，则A型机每小时运送x+20件 根据题意可得𝑥+20=

700

500𝑥

，解之可得x=50，经检验x=50是方程的根，也符合实际意义，

∴A型机每小时运送70件，B型机每小时运送50件

23.为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图

（1）本次抽样调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；

（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.

第 17 页 共 23 页

【解析】（1）100，补全图形如下：

（2）作出树状图如下所示：

随机回访两位竞赛成绩合格的同学共20种情况，其中一男一女共12种情况，所以恰好回访到一男一女的概率为20=5 （3）2000×0.35=700人，估计该校竞赛成绩“优秀”人数为700人

24.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验，画出函数y12

3

8x的图象，并探究其性质. x24列表如下：

第 18 页 共 23 页

x y … … -4 -3 -2 a -1 0 0 1 b 2 -2 3 4 … … 8 524 138 5248  135（3）直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（4）观察函数y8x的图象，判断下列关于该函数性质的命题： x24①当2x2时，函数图象关于直线yx对称； ②x2时，函数有最小值，最小值为-2 ③1x1时，函数y的值随x的增大而减小. 其中正确的是 （请写出所有正确命题的番号） （3）结合图象，请直接写出不等式

8x4的解集为 . 2x4

【解析】（1）作出函数图象如图所示

第 19 页 共 23 页

（2）②③ （3）将不等式

8x8xxx可得不等式的解集为 两边同时乘以-1可得22x4x4x2或0x2

25.（本题满分12分）

如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD. （4）求证：∠DAE=∠DAC； （5）求证：DF·AC=AD·DC； （6）若sin∠C=

1，AD=410，求EF的长. 4

【解析】（1）连接OD，∵DC为⊙O的切线，∴OD⊥CD，即∠ODC=90° ∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠ODC=90°，∴AE∥OD，∴∠ODA=∠DAE 又∵OD=OA=r，∴∠ODA=∠DAC，∴∠DAE=∠DAC

（2）证明：连接BD，设∠DAE=α，又（1）可知∠CAD=∠DAE=α，∵AB为⊙O的直径，∴

第 20 页 共 23 页

∠ADB=90°，在Rt△ADB中，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=90°-α，

又∵四边形ABDF为⊙O的内接四边形，∴∠AFD+∠ABD=180°，∴∠AFD=90°+α ∵∠CDO=90°，∴∠ADC=90°+α

在△AFD和△ADC中有∠AFD=∠ADC，∠FAD=∠DAC，∴△AFD∽△ADC ∴𝐷𝐶=𝐴𝐶，即DF·AC=AD·DC

（3）设OD=x，在Rt△COD中sin∠C=4，∴OC=4x，根据勾股定理可得CD=√15𝑥， ∵OA、OB、OD均为⊙O的半径，∴OA=x，∵OD∥AE，∴△COD∽△CAE，∴𝐴𝐸=𝐶𝐴=𝐶𝐸，∴AE=𝑥，CE=

45

5√1

𝑂𝐷

𝑂𝐶

𝐶𝐷

1

𝐷𝐹

𝐴𝐷

𝑥，故DE=

√15𝑥. 4

由（2）可知△AFD∽△ADC，∴𝐴𝐶=𝐴𝐷，且AD=4√10，可得AF=在Rt△ADE中，𝐴𝐸2+𝐷𝐸2=𝐴𝐷2，∴𝑥2+

16

32𝑥

25

1516

𝐴𝐷𝐴𝐹32𝑥

𝑥2=160，∴𝑥=8

∴AF=

=4，AE=𝑥=10，∴EF=AE-AF=10-4=6

26.（本题满分14分）

如图，抛物线y(x1)(xa)(其中a1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C. （4）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；

（5）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为10:4，求此抛物线的解析式；

（6）在（2）的前提下，试探究抛物线y(x1)(xa)上是否存在一点P，使得∠CAP=∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

第 21 页 共 23 页

【解析】

（1）A（a，0），C（0，-a），可得OC=OA=a，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠OCA=45°， AB=√2𝑎.

（2）∵D为△ABC的外心，∴∠BAC为⊙D中弧BC所对的圆周角，∠BDC为弧BC所对圆心角，∴∠BDC=2∠BAC=90°，∴△BDC和△AOC均为等腰直角三角形，故△BCD∽△ACO ∴△BCD与△ACO的周长之比等于相似比，记⊙D半径为R，∴𝑎=∵在等腰直角△BCD中，BC=√1

√1+a2√10=4a，解得𝑎2√2𝑅

√10，∴R4

=

√10a 4

+a2，且BC

=√2R，∴R=

√1+a2√2 ∴=4，又a>1,∴a=2，，故二次函数的解析式为y=x2−x−2

（3）当P在AC下方时，∠CBD=∠CAD=45°，且∠CAP=∠DBA，∴∠PAO=∠CBO.

4PF4，设AF=3m，则PF=4m，∴P(23m,4m)，作PF⊥x轴于F，∴

3AF35120代入二次函数可得m，∴P(,)

939tan∠CBO=

当P在AC上方时，作(,132025)关于直线yx2对称点M(,)，∴直线AM的方993333311yx程为yx，联立得x12,x2，∴此时P点横坐标为，424244y(x1)(x2) 第 22 页 共 23 页

将127127代入抛物线可得，P点纵坐标为，所以此时P(,) 41161320127)和(,) 9416综上所述，存在P点的坐标为(,

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