理想低通滤波器的响应

第三讲 理想低通滤波器的响应

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理想低通滤波器的冲激响应

我们曾经说过，冲激函数是一种很特别的函数。用冲激函数来激励系统的输入端等价于同时用所有可能频率的相同幅度的正弦波来测试系统，所以输入一个冲激函数就能够确定系统在所有频率的频率响应。

对理想低通滤波器的传输函数进行傅里叶反变换，不难得到其冲激响应，如图5-3-2所示。

图5-3-2 理想低通滤波器的冲激响应

分析：

1.从响应波形我们可以看出，输出的波形完全不同于冲激信号的波形，产生了很大的失真。这是因为，理想滤波器是一个限带系统，而冲激信号的频谱带宽是无穷大，自然会造成失真。在输出波形中，上升和下降的时间（即波形的陡峭程度）与截止频率

成反比，截止频率越高，波形越陡峭。

2.虽然带宽的限制造成了波形畸变，但是这个畸变是对称的，即输出波形关于延迟时间对称。这是因为系统具有线性相移特性的缘故。系统虽然有振幅畸变，但线性相移特性使得输出波形与输入波形为同一类型的对称形式。网络的线性相移特性给出了对称的冲激响应和对称的阶跃响应，这在电视和雷达系统中是特别重要的。

3.系统违背了因果律。输出电压不再是冲激函数，而是在脉冲建立的前后出现起伏的振荡现象，而且这种振荡一直延伸到

处。从响应波形可以看出，冲

激响应对应于t的负值也存在，而输入却是在t=0时加入的。这显然不符合常规，似乎是系统可以预测激励。实际上，这里所讨论的只是一个理想化的低通滤波器，

它的响应特性在物理上是不可实现的。

系统的物理可实现性——佩利-维纳准则

虽然理想低通滤波器在实际中是不能实现的，但是我们希望找到一种区分可实现性与不可实现性的标准，这就是佩利-维纳（Paley-Wiener）准则。 物理可实现性在文献中有不同定义方法，这里采用最低限度的定义把物理可实现性系统和不可实现系统区分开来。我们可以直观地看到，一个物理可实现系统在激励加入之前是不可能有响应输出的，这称为因果条件。这个条件在时域里的表述为：物理可实现系统的单位冲激响应必须是有起因的，即从频域来看，如果幅度函数满足平方可积条件，即

。 ，佩利

和维纳证明了对于幅度函数物理可实现的必要条件是，它被称为佩利-维纳准则。关于这个准则的推导及更详细的内容，与本课程的联系不紧，在此我们只讨论由这个准则得到的一些推论。

1.幅度函数在某些离散频率处可以是零，但在一个有限频带内不能为零。这是因为，若在某个频带内都有

，则

，从而不能满足为佩

利-维纳准则，系统是非因果的。 2.幅度特性不能有过大的总衰减。由佩利-维纳准则可以看出，幅度函数不能比指数函数衰减的还要快，即是允许的，而是不可实现的。

3.尽管理想滤波器是不能实现的，但是我们可以任意逼近其特性。因此有关理想滤波器的研究是有意义的。在实际电路中，不能实现理想低通滤波器的矩形振幅特性，我们只能近似得到，但所需要的电路元件随着逼近程度的增加而增多的。一个精确的近似，在理论上需要无限多个元件，于是滤波器的相移常数变为无限大，从而输出脉冲的振幅出现在无限延时以后，所以响应曲线的振荡衰减部分不会在

以前出现。

我们注意到，佩利-维纳准则只是就幅度函数特性提出了系统可实现性的必要要求，而没有给出相位方面的要求。如果一个系统满足这个准则，对应于一个因果系统，此时我们把系统的冲激响应沿着时间轴向左平移到

以前，那么，虽

然系统的幅度特性满足了佩利-维纳准则，但是它显然是一个非因果系统。所以说，佩利-维纳准则只是系统物理可实现性的必要条件，当我们验证了幅度函数满足此条件以后，可以利用希尔伯特变换找到合适的相位函数，从而构成一个物理可实现的系统函数。

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