第一层 专题过关检测 第5讲 数学文化 解析版

1．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )

A．五寸 C．三尺五寸

B．二尺五寸 D．四尺五寸

解析：选B 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.

2.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3，宽为1；

第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为( )

πA. 24＋9ππC. 18＋9π

B．

4π

24＋9π4π

18＋9π

D．

解析：选B 图标第一部分的面积为8×3×1＝24；图标第二部分和第三部分的面积为π×32＝9π；图标第三部分的面积为π×22＝4π.则此点取自图标第三部分的概率为选B.

3．朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．”该段话中的1 864人全部派遣到位需要的天数为( )

A．9 C．18

B．16 D．20

4π

.故

24＋9π

解析：选B 根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列{an}是首项a1＝nn－1

64，公差d＝7的等差数列．设1 864人全部派遣到位需要n天，则64n＋×7＝1 864，

2233

即7n2＋121n－3 728＝0，解得n＝16或n＝－(舍去)．故选B.

7

4.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,3，则输出v的值为( )

A．15 C．47

B．16 D．48

解析：选D 执行程序框图，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2≥0，v＝1×3

＋2＝5，i＝1≥0，v＝5×3＋1＝16，i＝0≥0，v＝16×3＋0＝48，i＝－1<0，退出循环，输

出v的值为48.故选D.

5．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )

33A. 4π1C. 2π

B．

33

2π1 4π

D．

解析：选B 如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P＝32

S六边形4×1×633

＝＝.故选B.

2ππ×12S圆

6．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于

3

A.2f C.1225f

12

2.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )

3B．22f D．

1227f

12

2的等比数列，则

解析：选D 由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为第八个单音的频率为(

122)7f＝

12

27f.故选D.

7．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )

A．己亥年 C．庚子年

B．戊戌年 D．辛丑年

解析：选C 由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、

丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．故选C.

8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式17V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h

36264相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )

22A． 7157C． 50

B．

25 8355 113

D．

177

解析：选A 依题意，设圆锥的底面半径为r，则V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化

3264264简得π≈

22

.故选A. 7

9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我

们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字

“1”，把阴爻“表的数表示如下：

卦名 符号 ”当作数字“0”，则八封所代

表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为

“

A．33 C．36

解析：选B

”，其表示的十进制数是( ) B．34 D．35

由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号

“”表示的二进制数为100010，转化为十进

制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.

10．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为( )

A．3 C．7

B．6 D．30

解析：选C a＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b都是偶数，a＝57，b＝15，k＝2，a，b不满足都为偶数，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b不成立，a＝12，b＝3，a＝12－3＝9，n＝4＋1＝5；a＝b不成立，a>b成立，a＝9－3＝6，n＝5＋1＝6；a＝b不成立，a>b成立，a＝6－3＝3，n＝6＋1＝7；a＝b成立，输出的kb＝6，n＝7.故选C.

11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长

为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )

39A． 2C．39

B．

75 2601 8

D．

18－2x9≤x<9解析：选B 设下底面的长为x2，则下底面的宽为2＝9－x.由题可知上底1

面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋

6929173917x399

3)(9－x)]＝－x2＋＋，故当x＝时，体积取得最大值，最大值为－2＋2×2＋2＝22275

.故选B. 2

12．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为( )

A．24 C．64

B．325 D．326

解析：选B 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S四边形ABED＝S四边形ACFD，S△ABC＝S△DEF.过点A向平面BCFE作垂线，垂足为A′，作AM⊥CF于点M，作AN⊥BC8－41于点N，连接A′N，易知AA′＝4，A′N＝CM＝＝2，CN＝BC＝2.在Rt△AA′N

22中，AN＝

AA′2＋A′N2＝

42＋22＝25，在Rt△ANC中，AC＝

CN2＋AN2＝

22＋252＝26，在Rt△AMC中，AM＝ACFD＝

AC2－CM2＝262－22＝25.所以S四边形

111

×(4＋8)×25＝125，S△ABC＝×BC×AN＝×4×25＝45.所以该茅草屋顶的222

面积为2×125＋2×45＝325.故选B.

二、填空题

13．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、x＋y＋z＝100，鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝________，y＝1

5x＋3y＋z＝100，3________.

x＋y＝19，x＝8，

解析：因为z＝81，所以解得

5x＋3y＝73，y＝11.

答案：8 11

14．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝122c2－a2－b22222ca－

42.若asin C＝4sin A，(a＋c)＝12－b.则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________．

解析：根据正弦定理，由a2sin C＝4sin A，得ac＝4.再结合(a＋c)2＝12＋b2，得a2＋c2

－b2＝4，则

S＝

122c2＋a2－b22

ca－＝ 42

16－4

＝ 3. 4

答案：3

15．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________.

19

解析：第一次循环，得S＝2，否；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝，否；第

221351135

三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝，否；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，

4488是，输出的n＝4.

答案：4

16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．

1解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a1＝3，公比为的等比数列{an}，设其前n项

2和为An；莞草的长度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则11－1nn

n1－n332－1222－16

An＝，Bn＝，令＝，化简得2n＋n＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所

1122－12－11－1－22lg 6lg 3

以n＝＝1＋≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．

lg 2lg 2

答案：3