2018年山西省中考数学试卷

第Ⅰ卷 选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下面有理数比较大小，正确的是（ ）

A．02 B．53 C．23 D．14

2.“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（ ）

A．《九章算术》 B．《几何原本》 C．《海岛算经》 D．《周髀算经》 3.下列运算正确的是（ ）

b2b6222236326A．(a)a B．2a3a6a C．2aa2a D．3

2a8a4.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） ．．

A．x2x0 B．x4x10 C．2x4x30 D．3x5x2 5.近年来快递业发展迅速，下表是2018年1位：万件）： 太原市 大同市 长治市 晋中市 运城市 临汾市 吕梁市 222233月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单

3303.78 332.68 302.34 319.79 725.86 416.01 338.87 13月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）

A．319.79万件 B．332.68万件 C．338.87万件 D．416.01万件 6.黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒.若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（ ）

A．6.0610立方米/时 B．3.13610立方米/时

46C．3.63610立方米/时 D．36.3610立方米/时

7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是（ ） A．

654121 B． C． D． 93998.如图，在RtABC中，ACB90，A60，AC6，将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）

A．12 B．6 C．62 D．63 9.用配方法将二次函数yx28x9化为ya(xh)2k的形式为（ ）

A．y(x4)27 B．y(x4)225 C．y(x4)27 D．y(x4)225 10.如图，正方形ABCD内接于O，O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．44 B．48 C．84 D．88

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.计算：(321)(321) ．

12.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则12345 度．

13.2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高之和不超过115cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20cm，长与宽的比为8:11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm．

14.如图，直线MN//PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，

1D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F.

2若AB2，ABP60，则线段AF的长为 ．

15.如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D是AB的中点，以CD为直径作O，O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作

O的切线FG，交AB于点G，则

FG的长为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.计算：（1）(22)2431620.

x2x2112（2）. x1x4x4x217.如图，一次函数y1k1xb(k10)的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数

y2k2(k20)的图象相交于点C(4,2)，D(2,4). x

（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x为何值时，y10；

（3）当x为何值时，y1y2，请直接写出x的取值范围.

18.在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）. 请解答下列问题：

（1）请补全条形统计图和扇形统计图；

（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？

（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？

（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？

19.祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到

桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表.

项目 课题 测量示意图 交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内. 内 容 测量斜拉索顶端到桥面的距离 说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面A的度数 测量数据 B的度数 AB的长度 38 … 28 … 234米

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：

sin380.6，cos380.8，tan380.8，sin280.5，cos280.9，tan280.5）

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.

20.2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的

4（两列车中途5停留时间均除外）.经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.

21.请阅读下列材料，并完成相应的任务：

在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AXBYXY.（如图）解决这个问题的操作步骤如下： 第一步，在CA上作出一点D，使得CDCB，连接BD.第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z//CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'Y'Z'.第三步，过点A作AZ//A'Z'，交BD于点Z.第四步，过点Z作ZY//AC，交BC于点Y，再过点Y作YX//ZA，交AC于点X. 则有AXBYXY. 下面是该结论的部分证明： 证明：∵AZ//A'Z'，∴BA'Z'BAZ， 又∵A'BZ'ABZ.∴BA'Z'∴BAZ. Z'A'BZ'. ZABZY'Z'BZ'Z'A'Y'Z'同理可得.∴. YZBZZAYZ∵Z'A'Y'Z'，∴ZAYZ. 任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明； （2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AXBYXY的证明过程； ．．．．（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是________. A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 22.综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD2AB，

E是AB延长线上一点，且BEAB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方

作正方形DEFG，连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.

探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法： 证明：∵BEAB，∴AE2AB. ∵AD2AB，∴ADAE.

∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC.

EMEB.（依据1） DMABEM1.∴EMDM. ∵BEAB，∴

DM∴

即AM是ADE的DE边上的中线， 又∵ADAE，∴AMDE.（依据2） ∴AM垂直平分DE. 反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明.

23.综合与探究

如图，抛物线y121xx4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，33连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE//AC交x轴于点E，交BC于点F.

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； ．．（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值.

试卷答案

一、选择题

1-5: BBDCC 6-10: CADBA

二、填空题

11. 17 12. 360 13. 55 14. 23 15. 12 5三、解答题

16.（1）解：原式84217. （2）解：原式x2(x1)(x1)1 x1(x2)2x2x11 x2x2x. x217. 解：（1）∵一次函数y1k1xb的图象经过点C(4,2)，D(2,4)，

4k1b2∴，

2kb41解得k11.

b2∴一次函数的表达式为y1x2.

k2k的图象经过点D(2,4)，∴42.∴k28. x28∴反比例函数的表达式为y2.

x∵反比例函数y2（2）由y10,得x20. ∴x2.∴当x2时，y10. （3）x4或0x2. 18.解：（1）

（2）

10100%40%.

1015答：男生所占的百分比为40%. （3）50021%105（人）.

答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人. （4）

15155.

151081548165. 16答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为19.解：（1）过点C作CDAB于点D.

设CDx米，在RtADC中，ADC90，A38. ∵tan38CDCDx5x. ，∴ADADtan380.84CDCDx2x. ，∴BDBDtan280.5在RtBDC中，BDC90，B28. ∵tan28∵ADBDAB234，∴解得x72.

5x2x234. 4答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米.

（2）答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等.

20.解法一：设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要x小时， 由题意，得

50050040. 151x(x)646解得x8. 38是原方程的根. 38小时. 3经检验，x答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要

解法二：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时， 由题意，得

50050040. 5xx4解得x5. 25是原方程的根. 2经检验，x518（小时）. 263答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要21.解：（1）四边形AXYZ是菱形.

证明：∵ZY//AC，YX//ZA，∴四边形AXYZ是平行四边形. ∵ZAYZ，∴AXYZ是菱形. （2）证明：∵CDCB，∴12. ∵ZY//AC，∴13. ∴23.∴YBYZ.

∵四边形AXYZ是菱形，∴AXXYYZ.

8小时. 3∴AXBYXY.

（3）D（或位似）.

22.（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）. 依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）.

②答：点A在线段GF的垂直平分线上. （2）证明：过点G作GHBC于点H， ∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上， ∴CBEABCGHC90，∴1290. ∵四边形CEFG为正方形，

∴CGCE，GCE90，∴1390.∴23. ∴GHCCBE.

∴HCBE，∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC.

∵AD2AB，BEAB，∴BC2BE2HC，∴HCBH. ∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上.

（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）. 证法一：过点F作FMBC于点M，过点E作ENFM于点N. ∴BMNENMENF90。

∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上， ∴CBEABC90，∴四边形BENM为矩形. ∴BMEN，BEN90.∴1290. ∵四边形CEFG为正方形，

∴EFEC，CEF90.∴2390. ∴13.∵CBEENF90， ∴ENFEBC. ∴NEBE.∴BMBE.

∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC.

∵AD2AB，ABBE.∴BC2BM.∴BMMC. ∴FM垂直平分BC.∴点F在BC边的垂直平分线上.

证法二：过F作FNBE交BE的延长线于点N，连接FB，FC. ∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上， ∴CBEABCN90.∴1390.

∵四边形CEFG为正方形，∴ECEF，CEF90.∴1290.∴23. ∴ENFCBE. ∴NFBE，NEBC.

∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC.

∵AD2AB，BEAB.∴设BEa，则BCEN2a，NFa， ∴BFBN2FN2(3a)2a210a.

CEBC2BE2(2a)2a25a.

CFCE2EF22CE10a.

∴BFCF.∴点F在BC边的垂直平分线上.

23.解：（1）由y0，得解得x13，x24.

∴点A，B的坐标分别为A(3,0)，B(4,0). 由x0，得y4.∴点C的坐标为C(0,4).

121xx40. 33（2）答：Q1(5252,4)，Q2(1,3). 22（3）解：过点F作FGPQ于点G，

则FG//x轴.由B(4,0)，C(0,4)，得OBC为等腰直角三角形.

∴OBCQFG45.∴GQFG∵PE//AC，∴12.

∵FG//x轴，∴23.∴13. ∵FGPAOC90，∴FGP∴

2FQ. 2AOC.

FGGPFGGP，即. AOOC34∴GP44222FGFQFQ. 33232227232FQFQFQ.∴FQQP. 2367∴QPGQGP∵PMx轴，点P的横坐标为m，MBQ45， ∴QMMB4m，PMm∴QPPMQMm1321m4. 3132114m4(4m)m2m. 333∴QF22423232124mm. QPmm7777334227∵0，∴QF有最大值.∴当m2时，QF有最大值. 7227解法二：提示，先分别求出BQ和BF关于m的代数式，再由QFBFBQ得到QF关于m的代数式.