参数法

六、参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

Ⅰ、再现性题组：

1. 设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。

xyzx22t2. （理）直线上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。

y32t （文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。

3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。

4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。 5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)

222y2x26. 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。

164 A. 3 B. 11 C. 10 D. 22

【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；

2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝1xyz11，所以e＝－

kk2k2k；

3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；

4小题：设三条侧棱x、y、z，则

111xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。 2225小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝Ⅱ、示范性题组：

|4sin4cos2|的最大值，选C。

5例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。

【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝b＝

2221＋t1，311222＋t2，c＝＋t3，代入a＋b＋c可求。 33111【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t1，b＝＋t2，c＝＋t3，其中t1＋t2＋t3＝0，

33311112222222∴ a＋b＋c＝（＋t1）＋（＋t2）＋(＋t3)＝＋(t1＋t2＋t3)

3333311222222＋t1＋t2＋t3＝＋t1＋t2＋t3≥

331222所以a＋b＋c的最小值是。

3【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。

本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。

两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。

2222222222131y2x2例2. 椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若kOP·kOQ＝－ ，

4164 ①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

22【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设1、θ2为

x4cosθy2sinθ（椭圆参数方程），参数θ

22P、Q两点，先计算kOP·kOQ得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参

数法”求中点M的坐标，消参而得。

x4cosθy2x2【解】由＋＝1，设，P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sinθ2),

164niθy2s12sin12sin2则kOP·kOQ＝＝－，整理得到： 

44cos14cos2cosθ

1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2＝0,即

cos（θ

1－θ2）＝0。

∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ

1＋cos

2221＋4sin

2θ

1＋16cos

2θ

2＋4sin

2θ

2＝8＋12(cos

2θ

2θ

2)＝20＋6（cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋12cos（θ1＋θ2）cos（θ1－θ2）＝

20，

即|OP|＋|OQ|等于定值20。

22由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为xM2(cos1cos2)，

yMsin1sin2所以有(

x22)＋y＝2＋2(cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2)＝2, 2x2y2即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。

82【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθθ

2）

1＋ cos

222＋（sinθ

1＋sinθ2）

2，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，

求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个

参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。

本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：

设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－

1，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有： 4kx24y2160422，消y得(1＋4k)x＝16,即|xP|＝； 2ykx14kx24y2160|8k|12，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝； 12Q24k14ky4kx所以|OP|＋|OQ|＝(1k2

22414k2)＋（12|8k|12） 2216k14k2080k222＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。 214k在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝1kAB和|OQ|的长。

2|xA－xB|求|OP|

例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为 S 2β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。

E 2【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的

D C

余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。 O F 【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、 A B OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。

设BC＝a (为参数)， 则SF＝

aOF＝,

cosβ2cosβSC＝SF2FC2＝(aa)2()2

2cosβ2＝

a2cosβ1cos2β

1a1cos22cosSF·BCa2又 ∵BE＝＝SC2cosβ＝

a1cos2

a222a22222BEBD1cos2在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。 222BEa21cos2所以cosα＝－cosβ。

【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。

2. 函数y＝x＋2＋14xx2的值域是________________。

3. 抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____

A. 5 B. 10 C. 23 D. 3

4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L1：x－3y＋10＝0及L2：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。 5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。

2226. f(x)＝(1－acosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。

22232

2a1(a1)2a＝0有模为1的虚根，7. 若关于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg求

a212a8a32实数a的值及方程的根。

8. 给定的抛物线y＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有

1＋1为定值。 |MP|2|MQ|22