1994全国数学建模A

A题 逢山开路

要在一山区修建公路, 首先测得一些地点的高程, 数据见表1(平面区域0 ≤x≤5600,0≤y≤4800,表中数据为坐标点的高程, 单位:米).数据显示:

在 y=3200 处有一东西走向的山峰; 从坐标 (2400,2400) 到 (4800,0) 有一西北 --- 东南走向的山谷; 在 (2000,2800) 附近有一山口湖, 其最高水位略高于 1350 米, 雨季在山谷中形成一溪流. 经调查知, 雨量最大时溪流水面宽度 w 与(溪流最深处) 的 x 坐标的关系可近似表示为

w(x)=((x-2400 3/4 )/2 ) + 5 (2400≤x≤4000).

公路从山脚 (0,800) 处开始, 经居民点 (4000,2000) 至矿区 (2000,4000). 已知路段工程成本及对路段坡度α (上升高程与水平距离之比) 的如表 2.

1) 试给出一种线路设计方案, 包括原理、方法及比较精确的线路位置(含桥梁、隧道), 并估算该方案的总成本.

2) 如果居民点改为3600≤x≤4000, 2000≤y≤2400的居民区, 公路只须经过居民区即可, 那么你的方案有什么改变. 表一 ↑ 北

____________________________________________________________________________ 4800┃1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 15 4400┃1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 0 380 300 21 4000┃1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 35 3600┃1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 50 3200┃1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 155 2800┃ 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 120 2400┃ 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 110 2000┃ 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 95 1600┃ 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 75 1200┃ 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 55 800┃ 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 35 400┃ 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 32 0┃ 730 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 25

_________________________________________________________________________ y/x┃ 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 560 表二 工程种类 工程成本(元/米) 对坡度α的

一般路段 300 α< 0.125

桥梁 2000 α= 0

隧道

1500(长度≤300米)， 3000(长度> 300米) α< 0.100