高考数学复习考点12 零点定理(练习)(解析版)

考点12：零点定理

【题组一 求零点】

x12（x0），1．函数f（x）的零点为_____. 8）（x＞0）2x1log（【答案】﹣3

【解析】当x0时，fx2x10,x3； 8当x0时，fxlog2x10,x0，不满足，排除；故函数零点为3 故答案为：3 2．若函数fxlog2xa的零点为2，则a________. 【答案】3

【解析】根据题意，若函数f（x）＝log2（x+a）的零点为﹣2， 则f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，即a﹣2＝1，解可得a＝3，故答案为3

2x2,x1,f(x)3．设函数，则函数yfx的零点是________________. 2x2x,x,1【答案】0或1

x1x1fx0【解析】等价于或2，解得x1或x0，

2x20x2x0所以，函数yfx的零点是0或1．故答案为：0或1． 【题组二 零点区间】

1．函数f(x)log3(x2)x1的零点所在的一个区间是（ ） A．(0,1) 【答案】A

【解析】f(0)log3210，f(1)log3(12)1110，所以f(0)f(1)0， 根据零点存在性定理，函数f(x)log3(x2)x1的零点所在的一个区间是(0,1)，故选：A. 2．已知函数fxlog2xA．0,1

B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

62.在下列区间中,包含fx零点的区间是( ) x1C．3,5

D．5,7

B．1,3

【答案】D

【解析】函数fxlog2x又f5log253log262，在其定义域上连续， x14530，f7log272log28424010， 2048故函数fx的零点在区间5,7上.故选：D. 3．函数f(x)A．0,1xsinx在下列哪个区间必有零点（ ） 2B． 2, 2C．,32 D．3,2 2【答案】B

【解析】∵f(0)0sin00，f10f()0， ，242∴fπf0，∴在区间,π内必有零点.故选：B.

22【题组三 零点个数】

1．函数fx3log2x1的零点个数为 .

x【答案】2

【解析】函数fx3log2x1的零点，即方程3xxxlog2x10的解，

11即log2x，转化为函数ylog2x与y的交点，

331在同一平面直角坐标系上作出函数ylog2x与y的图象，

3如下所示：

xx

x1从函数图象可知，ylog2x与y有两个交点，即方程3log2x10有两个实数根，即函数

3xfx3xlog2x1有两个零点.

，2．函数fxex2在区间21内零点的个数为 .

x2【答案】2

【解析】令ex20,ex2,画出ye,yx2的图象如下图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有2个零点.

x2x2x2

3．函数f（x）＝cosπx﹣（【答案】3

1x

）+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 . 2【解析】根据题意可知，函数f(x)cosx()1在区间[1,2]上的零点的个数， 即为函数ycosx的图象与函数y()1的图象在区间[1,2]上的交点的个数，

x12x12

在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：

可以发现有三个公共点，所以函数f(x)cosx()1在区间[1,2]上有三个零点， 4．函数fxlnxx的零点个数是 .

212x【解析】因为ylnx与y2x2均在0,2上为增函数，所以函数fxlnxx至多一个零点

2又

1111fln10，f1ln1110，

eeee1ff10，即函数fx在e1,1上有一个零点. e5．函数fxxx3,则fx的零点个数为________. 【答案】1

【解析】函数fx定义域为0,x令y1x3,y2x30x3x x，则fx的零点的个数就是函数y1x3,y2x，x0,的交点个数

如上图所示，则fx的零点个数为1.故答案为：1

6．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(4x),且当x[0,2]时,f(x)cosx,则g(x)f(x)lgx的零点个数为____________. 【答案】10

【解析】由于定义在R上的偶函数yfx满足f(x)f4x, 所以yfx的图象关于直线x2对称,

画出x[0,)时，yfx部分的图象如图,在同一坐标系中画出ylgx的图象, 由图可知：当x(0,)时,有5个交点, 又ylgx和yfx都是偶函数,

所以在x(,0)上也是有5个交点,所以gxfxlgx的零点个数是10， 故答案为：10.

7．函数f(x)【答案】6

5sin22xlog2|x|的零点个数为_______________. 【解析】函数f(x)5sin225xlog2|x|的零点，即方程sin22xlog2|x|0的解，令gx5sin22x，hxlog2|x| 5sin22x与hxlog2|x|的交点，在同一平面直角坐标系中画出也就是函数gxgx5sin225x与hxlog2|x|的图象如下所示，由图可知gxsinx与hxlog2|x|22

有6个交点，即f(x)5sin22xlog2|x|有6个零点. 

故答案为：6

8．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，f(x)＝x2，当0≤x≤1时，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为 . 【答案】5

【解析】∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数fx的周期为2． 由题意可得fxlog5x，

在同一坐标系内画出函数yfx和ylog5x的图象，如下图，

由图象得，两函数图象有5个交点， 所以函数y＝f(x)－|log5x|共有5个零点． 9．若偶函数fx的图像关于x33对称,当x0,时,fxx,则函数gxfxlog20x在2220,20上的零点个数是 .

【答案】26

【解析】令hxlog20x，定义域为非零的实数集，hxlog20xlog20xhx，所以该函数为偶函数，又

fx是偶函数gx是偶函数，且x0，

由gxfxlog20x0得fxlog20x

当x0时有fxlog20x 偶函数fx的图象关于x3对称， 2fxfx且fxf3x，

f3xf33xfxfx，

fx是T3的周期函数，

x3k,kZ为fx的对称轴 23当x0,时,fxx

2f20f211f1f11h20

当x0,20,fx,hx在同一坐标系中的图象如下

可知fx与hx在0,20上有13个交点即gx在0,20上有13个零点

gx是偶函数gx在20,20上共有26个零点．

10．定义在R上的奇函数fx满足f2xf2x,且在区间2,4上,fx函数yfxlog3x的零点的个数为______. 【答案】5

【解析】由题,因为fx满足f2xf2x,所以fx关于2,0中心对称, 又因为fx是奇函数,所以f2xfx2fx2,

所以fx2fx2,即fx的周期为4,画出yfx与ylog3x的图像,如图所示,

2x,2x3,则

x4,3x4

则交点有5个,故函数yfxlog3x的零点有5个,故答案为:5 11．函数fx对于任意实数x，都f(x)f(x)与f(1x)f(1x)成立，并且当0x1时，

fxx2.则方程f(x)【答案】2020

x0的根的个数是 . 2019【解析】对任意实数x都有

f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x）， 由于f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x） ∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为0,1．

xx0的根的个数即函数fx图象与直线y的交点个数， 20192019xx1，当x2019时，函数fx图象与直线y当x2019时，y无交点， 20192019方程fx

由图像可得二者的交点个数为2020个

12．已知定义在R上,且最小正周期为4的函数fx,满足fxfx,则在区间10,10内函数

yfx的零点个数的最小值是______

【答案】9

【解析】函数fx是奇函数，则f(0)0，又周期为4，则f(2)f(2)，又f(2)f(2)，所以

f(2)f(2)0，所以f(2k)0,kZ．在(10,10)上有9个偶数，因此函数至少有9个零点．

故答案为：9.

【题组四 根据零点求参数】

2内，则m的取值范围1．方程4x2(m2)xm50的一根在区间1,0内，另一根在区间0，是 . 【答案】7,5 32【解析】∵方程4x(m2)xm50的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内， ∴函数fx4x(m2)xm5的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，

2f(1)4(m2)m507则f(0)m50，解得m5，

3f(2)162(m2)m50∴m的取值范围是7,5. 32．已知函数fxlog2x13xm的零点在区间0,1上，则m的取值范围为 . 【答案】[4,0）【解析】由题意，函数f(x)log2(x1)3xm是定义域上的单调递增函数， 又由函数fx在区间(0,1]上存在零点，

log2(01)30m0f00则满足，即，解得4m0，

f10log2(11)31m0即实数m的取值范围为[4,0)。

3．若函数f(x)3x(xa)1在（﹣∞，0）上有零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】（﹣∞，﹣1）

1【解析】∵f(x)3(xa)1在（−∞，0）上有零点，∴ax在（−∞，0）上有零点，由于函数

3xx11yx在（−∞，0）上单调递增，yx1，a1

334．若函数f(x)log2xxk(kz)在区间(2,3)上有零点，则k= ． 【答案】4

xx

【解析】试题分析：显然f(x)是单调递增函数，又它在区间(2,3)上有零点，所以f(2)0且f(3)0，即3k0且log233k0，得3klog233，而1log232，又kz，所以k4.

5．函数f(x)xlg【答案】10,0

1m在区间0,9上有零点，则实数m的取值范围为____________. x1【解析】因为函数f(x)xlg1m在区间0,9上有零点，所以有： x1f(0)f(9)0m(10m)010m0.故答案为：10,0

6．已知函数f(x)lnxm的零点位于区间【答案】（0,1）

【解析】由题意,令f(x)lnxm0,得mlnx,因为x1,e,所以lnx0,1,故m0,1.故答案为:

1,e内，则实数m的取值范围是________.

0,1.

7．设函数f(x)＝log3【答案】log32,1 【解析】

函数f(x)log3x22alog3(1)a 在区间(1,2)内是减函数， xxx2－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________． x函数f(x)log3x2a在区间(1,2)内有零点，f1f20，即(1a)(log32a)0， xlog32a1，即alog32,1故答案为：log32,1

8．若函数fx2【答案】xxa1在区间0,1上有零点，则实数a的取值范围是 .

1,1 2【解析】因为函数fx在区间0,1上有零点,则f0f1=a12a10,解得1a1.即实数211a的取值范围是,1.故答案为,1.

22log2(xa),x09．已知函数f(x)2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.

x3axa,x0【答案】[1,)

【解析】由对数函数和二次函数知：log2(xa)0在(,0]上有一个根. 解得：xa1，即：x1a.因为1a0，所以a1.

9a24a042xx3a0(0,).. a在有两个不相等的根即：，解得：12x3axa09xxa012综上：a1故答案为：[1,)

10．已知函数fxxax26，若存在aR，使得fx在2,b上恰有两个零点，则实数b的最

2小值是______. 【答案】223 【解析】因为函数fxxax26,fx在2,b上恰有两个零点

2则必在x2与xb时恰好取到零点的边界

若x2时,fx的零点满足f222a260

2解方程求得a2或a4

当a2时, fxx2x26,满足fx在2,b上恰有两个零点

2则fbb2b260,且b2

2解方程可得b2(舍)或b4(舍)

当a4时, fxx4x26,满足fx在2,b上恰有两个零点

2则fbb4b260,且b2

2解方程可得b223(舍)或b223 综上可知,当b223时满足fx在2,b上恰有两个零点故答案为: 223 11．函数f (x)＝∣4x－x2∣－a的零点的个数为3，则a＝ ． 【答案】4

=|x2-4x|-a=0，=|x2-4x|-a的零点个数为3，【解析】令函数f（x）可得|x2-4x|=a．由于函数f（x）故函数y=|x2-4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点， 如图所示：故a=4．故答案为 4．

12．设m(0,1)，若函数f(x)log2xm,0x2f(4x),2x4有4个不同的零点x1,x2,x3,x4，且x122x3x425则的取值范围是 .

x1x2【答案】258,7 2【解析】当2x4时，所以有04x2，因此有f(x)f(4x)log2(4x)m，所以函数的解

log2xm,0x2f(x)析式为：，由题意可知：f(x)0有四个不同的实数解，因此有：log2(4x)m,2x4log2x,0x2log2x,0x2mg(x)，设函数，因此由可知：函数ym的图象与log2(4x),2x4log2(4x),2x4函数yg(x)的图象有四个不同的交点，函数yg(x)的图象如下图所示：

要想函数ym的图象与函数yg(x)的图象有四个不同的交点，必须有0m1，此时有

0x11x22x33x4，再由f(x)f(4x)，结合图象可知：yg(x)函数是关于直线x2对

称，因此有x1x4x2x34,x1x24x24x11,x1x2222225

154x24x1255x1x2x22,，所以(x1x2)8，令

x22x1x2x1x255tx1x2t2,，令f(t)t8，显然函数在t2,5上单调递减，

t2在t5,上单调递增，

52

故f(t)minf(5)258，f(2),f()f(t)max7252727. 2

122x1,x013．已知直线ymx与函数fx的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范x21,x03围是 . 【答案】

2,

【解析】做出函数f(x)如下图所示：

当m0，直线ymx与函数f(x)只有一个公共点，不合题意； 当m0时，，直线ymx与函数f(x),x0部分只有一个公共点， 要使直线ymx与函数f(x)的图象恰好有3个不同的公共点， 直线ymx与函数f(x)即方程

12x1,x0有两个公共点， 212xmx10在(0,)有两个不同的解， 2m220故有，解得m2.

m0

2x1,x1214．已知mR，函数f(x)，g(x)x2x2m1，若函数yf[g(x)]m有6

log2(x1),x1个零点，则实数m的取值范围是 . 【答案】0,

352x1,x1f(x)【解析】函数的图象如图所示， log(x1),x12

令g(x)t，yf(t)与ym的图象最多有3个零点，

当有3个零点，则0m3，从左到右交点的横坐标依次t1t2t3， 由于函数yf(g(x))m有6个零点，tx22x2m1， 则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，

函数tx22x2m1对称轴x1，则t的最小值为122m12m2，

由图可知，2t11m，则t1m1， 2m12m2①， 2由于t1是交点横坐标中最小的，满足又0m3②，联立①②得0m33．实数m的取值范围是(0,)． 55x31,0x115．已知定义在R上的偶函数fx，且x0时，fxx5，方程fxm恰好有4个

3,x13实数根，则实数m的取值范围是 . 【答案】,2

【解析】fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减，在x1时取得最大值2. 又当x1时，fx535， 3再结合对称性可以画出函数yfx与ym的图象, 如图所示:

由图可知，当

5m2时，函数yfx与ym恰好有4个公共点. 3【题组四 二分法】

1．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥−8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：

则方程𝑥3+2𝑥−8=0的近似解可取为（精确度0.1） . 【答案】1.66

【解析】由表知函数零点在区间(1.625,1.6875) ,所以近似解可取为1.66. 2．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是( ) A．fx2x1

B．fxx2x1

2

C．fxlog2x 【答案】B

【解析】对于A选项，fD．fxe2

x10，且f0f10，A选项中的函数能用二分法求零点； 22对于B选项，fxx10，当x1时，fx0，B选项中的函数不能用二分法求零点； 对于C选项，f10，且f1f20，C选项中的函数能用二分法求零点； 2对于D选项，fln20，且f0f10，D选项中的函数能用二分法求零点. 3．用二分法求方程的近似解，求得f(x)x32x9的部分函数值数据如下表所示：

x f(x) 1 -6 2 3 1.5 -2.625 1.625 -1.459 1.75 -0.14 1.875 1.3418 1.8125 0.5793 则当精确度为0.1时，方程x32x90的近似解可取为 【答案】1.8

【解析】根据表中数据可知f1.750.140，f1.81250.57930，由精确度为0.1可知

1.751.8，1.81251.8，故方程的一个近似解为1.8

34．用二分法研究函数fxx2x1的零点时，若零点所在的初始区间为1，2，则下一个有解区间

为（ ） A．1，2 【答案】C 【解析】

3函数fxx2x1，满足f112120,f284130

2 B．1.75，2 C．1.5，1.5 D．1，3取中点，有：

25327f310，

828323f f20.所以零点在区间1.5，2故选C. 25．若函数fxxx2x2的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:

f12 f1.50.625 f1.3750.260 f1.40650.052 f1.250.984 f1.4380.165 那么方程x3x22x20的一个近似根(精确度为0.05)为 . 【答案】1.415

【解析】由二分法，表格中数据说明零点在(1.4065,1.438)上，只有C符合。

6．已知函数f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 .

A．4，4 【答案】D

B．3，4 C．5，4 D．4，3

【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个， 所以用二分法求解的个数为3。故选D．

7．某同学求函数fxlnx2x6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

x 2 3 1.0986 2.5 2.75 0.512 2.625 0.215 2.5625 0.066 fx 1.3069 0.084 则方程lnx2x60的近似解（精确度0.1）可取为（ ） A．2.52 【答案】A

【解析】由表格的数据得：f(2.5)0,f(2.5625)0， 因为函数所以

B．2.625 C．2.47 D．2.75

f(x)lnx2x6在(2.5,2.5625)单调递增，

f(x)lnx2x6在(2.5,2.5625)存在唯一的零点，且2.56252.50.06250.1，

所以方程的近似解可取区间(2.5,2.5625)内任意数，故可取2.52.故选A. 8．用“二分法”求yx26的零点时，初始区间可取 （ ） A．0,1 【答案】C

【解析】f(0)066f(1)165f(2)262f(3)363f(4)4610, 所以f(2)f(3)0,故零点在区间(2,3)内.故选：C

22222B．1,2

C．2,3 D．3,4