浅谈不定方程

左太政 /國立高雄師範大學數學系 一、動機:

不定方程（Diophantine equation）是解整數解,其中最典型的不定方程式為 x2y2z2. 問題1.試找出滿足方程式x2y2z2的所有可能正整數解(x,y,z),其中x,y,z為互質，此種解

稱為此方程式的本原解（primitive solutions）。

（提示：x2mn,ym2n2,zm2n2或xm2n2,y2mn,zm2n2,0nm, m 與n互質，且mn 為奇數。）

問題2.你是否能求出此方程式的所有可能整數解(x,y,z)？

問題3.試求出單位圓上的所有有理點(x,y)（即x與y坐標都是有理數）。 問題4.試解不定方程式： （1）x4y4z2； （2）x2y2z4。

（3）x4y2z2,其中(x,y)1。 （4）x23y2z2,其中(x,y)1。

問題5.試證下列方程式無整數解(x,y,z),其中xyz0: （1）x4y2z4。 （2）x44y4z2。 二、商高三角形

求方程式x2y2z2的所有可能正整數解的幾何意義就是求邊長都是整數 的直角三角形，此種三角形稱為「商高三角形」。

式

1

問題1.試證: 商高三角形的面積一定不是整數的平方。 問題2.設n3,試證:必有一個商高三角形其一股長正好是n。 三、費瑪最後定理(Fermat's Last Theorem):

十七世紀法國一位大數學家費瑪(Fermat, 1601-1665) 過世後,他兒子在整理他的遺稿時發現了許多數學的猜想,其中最著名即為方程式 xnynzn(n3)沒有正整數解 (x,y,z),當時稱為「費瑪最後問題」。關於此方程式: （1）當n1時,此方程式有無限多組正整數解。

（2）當n2時,即為商高定理的方程式,有無限多組正整數解(至少有基本畢氏數組,即

xm2n2,y2mn,zm2n2,其中m,n為互質的正整數)。

（3）當n3時,由近代偉大數學家歐拉 (Euler, 1707-1783)證明沒有正整數解。 （4）當n4時,由阿貝爾 (Abel, 1802-1829)證明沒有正整數解。

（5）其後一直未能完全解決本問題,直至 1993 年 6 月 23日由美國普林斯頓大學數學系 Wiles(1953- )教授在英國劍橋大學牛頓學院發表一系列有關費瑪最後問題的證明。但當他正式發表時,上有少許內容被質疑有漏洞,他又花了一年時間研究,其間幾乎想放棄證明,直到 1994 年 9 月 19日終於完成。於 1995年他證明費瑪最後定理的文章題目為\"Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem\正式被登在著名數學期刊\"Annals of Mathematics\" 上,費瑪最後問題歷經三百多年正式被解決。 問題.試證下列方程式有無窮多組整數解(x,y,z): （1）xnynzn1。 （2）xnynzn1。 四、關於不定方程式

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1.已知p為任一質數，試證: p必可表為四個整數的完全平方數之和。 五、關於不定方程組

zx2(x1)2, z2y2(y1)2。 【類題】：1.試解不定方程式

6y2(x1)(x2x6)。

2.試證：不定方程組x2y2z2,x2y2w2沒有正整數解。 六、練習題

1.試求不定方程15x27y29 的所有整數解x,y. 2.試求所有正整數x,y,z使得x2y2z2x2y2成立。

3.試求所有正整數n使得方程式xn(2x)n(2x)n0有整數解。 4.試求不定方程x32y34z39w3 的所有整數解x,y,z,w 5.試求不定方程x3y3(xy)2 的所有質數x,y.

6.試求所有正整數a,b滿足 2a12b1是整數。

7.試求不定方程x32y34z3 的所有非負整數解x,y,z. 8.試證: 方程式x3y3z3x2y2z2有無限多組整數解x,y,z.

9.試證:必存在正整數x,y,z,使得x2y2z2421n對所有正整數n都成立。試求所有整數a1,b1,滿足方程式ab2ba.

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10.