非线性波动方程的孤波解及余弦周期波解

维普资讯 http://www.cqvip.com 上海理工　大学　学报　第３０卷第１期　Ｊ．Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｈａｎｇｈａｉ　ｆｏｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖｏ１．３０　Ｎｏ．１　２００８　文章编号：１００７—６７３５（２００８）Ｏ１—００１５—０７　非线性波动方程的孤波解及余弦周期波解　张卫国，　刘　刚，　任迎春　（上海理工大学理学院，上海２０００９３）　摘要：利用假设待定法，求出了非线性波动方程的具有双曲正割函数分式形式且渐近值不为零的　精确孤波解和余弦函数周期波解，并分别讨论了它们的有界性，揭示了行波波速改变对钟状孤波解　与余弦函数周期波解波形变化的影响、　关键词：非线性波动方程；孤波解；余弦函数周期波解　中图分类号：Ｏ　１７５．２　文献标识码：Ａ　Ｓｏｌｉｔａｒｙ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｏｓｉｎｅ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｗａｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＺＨＡＮＧ　Ｗｅｉ－ｇｕｏ，ＬｌＵ　Ｇａｎｇ，ＲＥＮ　Ｙｉｎｇ．Ｃｈｕｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＳｈａｎｇｈａｉｆｏｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００９３，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｉｔａｒｙ　ｗａｖｅ　ｏｓｌｕｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｓｅｃａｎｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ｃｏｓｉｎｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｗａｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ｏｓｌｕｔｉｏｎｓ　ｒａｅ　ｐｒｏｖｉｄｅｄ　ｄｅｔａｉｌｅｄｌｙ．　Ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｖｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｉｔａｒｙ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｄｏｉｃ　ｃｏｓｉｎｅ　ｗａｖｅ　ｏｓｌｕｔｉｏｎｓ，ａｓ　ｔｈｅ　ｔｒａｖｅｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ｖａｒｉｅｓ，ａｒｅ　ｒｅｖｅａｌｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ让尥勘Ｂ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｓｏｌｉｔａｒｙ　勘Ｂ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｏｓｉｎｅ　ｚｕａ７２ｅ　ｓｏｌｕｔｉ０　Ｓ　１问题的提出　Ｕｔｔ　““一ｍ　ｕ＋ｇ　Ｕ３＝０　（４）　方程（３）和方程（４）分别是力学和粒子物理中的重要　非线性波动方程　模型．　Ｕ“＋忌“船＋ｂ１　Ｕ＋ｂ２Ｕ２＋６３“３＝０　（１）　如果在方程（１）中对系　数适当取值，可以得到　是一维Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ方程［１］　Ｓｉｎｅ—Ｇｏｒｄｏｎ方程［３，４］　Ｕ　＋忌“　＋　（Ｕ）＝０　（２）　““～Ｕｔｔ　ｓｉｎ　Ｕ　（５）　当　（“）＝ｂ１　Ｕ＋ｂ２Ｕ　＋ｂ３Ｕ　时的特殊情形．　的近似方程　适当调整方程（１）中的系数，可以得到Ｋｌｅｉｎ—　１　Ｇｏｒｄｏｎ方程［２］　Ｕｔｔ　Ｕ　（６）　Ｕ　一“ｍ＋　“＋　＝０　（３）　以及Ｓｉｎｈ—Ｇｏｒｄｏｎ方程［３］　及Ｌａｎｄｏｕ—Ｇｉｎｂｕｒｇ—Ｈｉｇｇｓｓ方程［　］　Ｕ“　ｓｉｎｈ　Ｕ　（７）　收稿日期：２００７一Ｏ１—１８　基金项目：上海市重点学科建设资助项目（Ｔ０５０２）；上海市教委科研资助项目（０７ＺＺ８３）　作者简介：张卫国（１９５７一），男，教授．　维普资讯 http://www.cqvip.com １６　上海理工大学学报　２００８年第３０卷　的近似方程　Ｕｘｘ一　＝　＋吉　３　２方程（１）的精确孤波解　易知方程（１）的行波解Ｕ（ｚ，ｔ）＝Ｕ（　）＝Ｕ（ｚ　因此，研究非线性波动方程（１）的解对于很多物理问　—ｖｔ），满足　题具有重要意义．　（　＋ｋ）Ｕ　（　）＋ｂ　ｘ乱＋ｂ２Ｕ　＋ｂ３Ｕ。＝０　文献［５］给了方程（３）和方程（４）的型如　或　Ｕ（ｚ，ｔ）＝ａｔａｎ［ｂ（ｚ＋ａｔ＋Ｃ）］　Ｕ　（　）＋　（　）＋ＳＵ　（　）＋ｈｕ。（　）＝０（９）　Ｕ（ｚ，ｔ）＝ａｔａｎｈ［ｂ（ｚ＋ａｔ＋Ｃ）］　的解．　＝　文献［６］给了方程（３）的型如　本文求满足条件　ｕ（ｘ’　、　—ａｓｉｎ［ｂ（ｚ—ａｔ＋ｃ）］　Ｕ　（　），Ｕ　（　）一０，ｌ　ｌ—ｏｏ　ＣＯＳ　０　　ｌｚ—ａ　十　ｌ而Ｃ　　且Ｕ（　）的渐近值Ｃ　＝ｌｉａｒ　Ｕ（　）满足　Ｐ±。。　ｕ（ｘ　，　、　ａｓｉ—ｎｈ［ｂ（ｚ—ａｔ＋ｃ）］　ｃｏｓ　ｈ　ｌ　Ｄ　ｚ一＝　十　ｌ＿ａ＝丽ｔ　Ｃ　　ｂ　ｘｚ＋ｂ２ｘ２＋ｂ３ｚ３＝０　的解，其中，口、ｂ、ｃ、ａ为常数．　的孤波解．　本文则给出了非线性波动方程（１）的型如　易知，方程（９）的解必然是方程（１）的解．因此，　（　）＝　Ａｏ＋　Ａ　ｘｓｅｃｈ２（ａ￣）（可从方程（９）出发求非线性波动方程（１）的行波解．　８）　设方程（９）具有型如　的钟状孤波解，同时还获得了余弦周期波解，并讨论　Ａｏ＋Ａ１ｓｅｃｈ２（ａ　）　了所求解的有界条件，最后还进一步揭示了波速的改　变对孤波解与余弦函数周期波解波形变化的影响．　的孤波解，则　２ａ　（Ａ１Ｂｏ—ＡｏＢ１）［ＢｌＳｅｃｈ６（ａ￣）一（２Ｂ１＋３Ｂｏ）ｓｅｃｈ４（ａ￣）＋２Ｂｏｓｅｃｈ２（ａ￣）］　，　————————　——————一　将　（　），乱　（　）代人方程（９），并比较ｓｅｃｈ（ａ　）各次幂的系数，可得Ａｏ，Ａ１，Ｂｏ，Ｂ１和ａ　所满足的代数方　程组　Ｂ６＋　Ｂｏ＋ｈＡ８＝０　］　４ａ２Ｂ（　ｏ（ＡＢｉＢ１—ｏ－　ＡｏＢ１）＋Ｂｏ（ＡＩＢ０＋２ＢＩＡｏ）Ｉ＋Ａｏ（Ａｏ　Ｂ１＋２ＡＩＢｏ）ｓ＋３Ａ￣Ａｌｈ＝０２ａ　２（　Ｂ１—Ａ　１１　Ｂｏ　）（）（２Ｂ２Ｂ１＋１＋　）３Ｂｏ　）＋＋　１ＢＩ（ＡｏＢ　２ＡＩ１＋＋　）Ｂｏ　ｌ）　ＡＩ＋＋　＋（ＡＩＢｏ　２Ａｏ＋　＋Ｂ１）ｓ　３Ａｏ＋　＝Ａ￣一ｈ：０　｝（Ｉ　１。）　２ａ　Ｂ１（ＢｏＡ１一ＡｏＢ１）＋　１Ｂ｛＋ｈＡｉ＋　｛Ｂ１＝０　ｊ　用符号计算软件Ｍａｐｌｅ解方程组（１０）得两组解　ａ．Ａ。：０，Ｂ。：一　１，Ｂ１：妒１，　２：一　ｌ　）　其中，ｙ是方程　６ｌｙ　＋４ｓｙ＋３ｈ＝０　（１２）　．　２［ｈｌ　（１８ｈｇ一５ｓ　）ｙ３一ｈ／ｓ（１５ｈ／～４ｓ　）　＋ｈ（１８ｈ　ｌ一３４ｈｌｓ　＋８ｓ　）　一３ｓｈ　（７ｈ／　２ｓ２）］＾　一Ａ０　———■　—一　Ｂｏ　２ｈ（ｓｙ－６ｈ）（ｙ２＋ｓｙ＋ｈ）＝＝一—一—２／（３ｈ／－ｓ２）ｙ３－ｓ（１５ｈ／－４ｓ２）ｙｚ－（１８ｈ——／／－７ｓ２）ｈｙ＋３ｓｈ２Ａ１Ａ１　（１３）　Ｂ１＝　１　２　２ｌ（３ｈ／一ｓ　）　一ｓ（１５ｈ／一４ｓ　）ｙ２一（１８Ｍ一７ｓ　）　＋３ｓｈ　１２ｈｖ（　一ＳＶ一３ｈ）　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　张卫国，等：非线性波动方程的孤波解及余弦周期波解　１７　其中，Ｙ是代数方程　ｌ（９ｈｌ一２ｓ　）　～２ｓ（９ｈｌ一２ｓ　）　。＋　ｈ（１８ｈｌ一５ｓ　）　＋６ｓｈ　Ｙ＋９ｈ。＝０　的根．　４　一ｓ２＋ｓ，／７，２—４ｈｌ　。４　———　—一　（１４）　Ａ阱：　３√Ｓ　一４ｈｌ　Ａ　记方程（１２）的解为Ｙ１，Ｙ２，分别代人（１１）；记方　程（１４）的解为Ｙ３～Ｙ６，分别代入方程（１３），化简可　知方程组（１０）有６组解．　（１８）　Ｂｏ４：一　＋￣，），－４ｈｌＡｏ４　情形１当　Ｉ￣ｙ１＝－－一２ｓ　＋￣／４ｓ２－－１８ｈｌ　时　Ｂ１４＝ｙ４Ａ１４　情形５当Ｙ取　一ｏ，　＝　（一十　ｊ　４ｈ／一ｓ２一ｓ　４—Ｓ２－－—４ｈ／　口；　）　——　Ｂ１１＝　钆，ａ　一丢　情形２当　：一一２ｓ　－￣／４ｓ２－１８ｈｌ时　Ａｏ５＝——　８ｈ　２（４　ｓ（ｓ一３￣ｓ２－４ｈ／）　＋ｓ）　１５　Ａｏ２＝Ｏ，　一　ｚ　Ｂ１２＝　２Ａ１２，ａ　＝一　ｌ　情形３当Ｙ取　Ｊ　ｌ（１６）　）　３、　（１９）　Ｂ０５＝￣／７ｓ２－　４ｈ／－ｓＡ　Ｂ１５＝ｙｓＡ１５　情形６当Ｙ取　一ｓ＋，／／ＴｆｓＺ－４ｈｌ，（一十　一４ｈｌ　一　Ａ　。　（・一　４　一ｓ２一ｓ￣／ｓ２—４　ａ　———　—一　）　一、§　————　～４ｈｌ—ｓ　七ｓ　：　５　Ｓ‘一４ｈＬ　（１７）　Ａｏ６＝　——＿Ａ１６　Ｓ）　Ｂ。３：一Ｓ　ｑ－４Ｓ２，】，３√ｓ２—４Ｍ　－（２０）　４ｈｌＡ。３　Ｂｏ６＝　Ｂ１　＝Ｎ３Ａ１　４　Ｓ２－－４ｈｌ－ｓＡ２ｌ　∞∞　情形４当Ｙ取　Ｂ１６＝　６Ａ１６　（１＿２￣／　ｓ（ｓ　＋３．．￣ｓ２．．－　４　ｈ１））…假定式（１５）～（２０）ｑｕ￣ａ　２＞ｏ（ｊ＝１，２，…６）成　立，将其代人到式（８），可得非线性波动方程（１）的行　波解　３４ｔ－２ｂｌ１（ｚ，ｔ）＝　２一——√—＝２二６磊二ｓｉｇ二～ｎ＝（二９ｖ二６　２二３＋二６＿　。１　ｋ）ｓｅｃ’ｈｚ　焉＿＝－．Ｖ／　＋一—　—一　　ｋ　）　ｖｚ—　Ｊｔ　ｌ【　√一十４＿￣　ｂ２　２　６ｓ；ｇｎ　一　（９ｖ６２３＋６１ｋ））Ｊ１　。　ｈｚ　２　／ｒ二　三　（＋志　ｚ一　）　３４　￣ｂｌｓｇｎ（ｖ２＋ｋ）一（２１）　２（ｚ，ｔ）＝　一一√２—＝二６二ｉ二一二二９二６二３６二１＿　。　ｓｅｃｈ’ｚ　．丢焉Ｖ／　十一—　—一　　ｋ　）　ｖｚ—　ｔ　２＋［【　・一，／　２－＾／ｂ２ｓ　６ｇ；ｎ一（ｖ９２６＋３６ｋ１　）ｊＪ　ｓｅｃｈ２　１２　（２２）　维普资讯 http://www.cqvip.com

１８　上海理工大学学报　２００８年第３０卷　ｂ２－￣／　ｂ２－　４ｂ３ｂｌｓｇｎ（ｖ２＋ｋ）一—．　６２（３√ｂ；一４ｂ３ｂ１ｓｇｎ（　＋ｋ）十ｂ２）　ｓｅｃｈａ（　３（ｚ—ｖｔ））　１＋　２６　（２３）　＿『１＋　３二ｂ２＝　（＝３二　二厂二　二二＝二　ｓ＝＝二二一二ｂｇ＝ｎ２二ｓ（ｇ＝　ｎ二（二　＋二２二忌＋＝）二忌＋＝）］二Ｉ６２）－Ｊ　ｓｇｎ（ｖ　＋忌）　２ｂ３　６　ｓｅｃｈａ（Ｏｔ３（ｚ—ｖｔ））　６２一　Ｕｓ４（ｚ，ｔ）＝一　ｓｅｃｈ２（口４（ｚ—ｖｔ））　１—　２一√ｂ２（３　Ｓｇｎ（　＋忌）十ｂ２）　ｓｅｃｈ２（ａ４（ｚ—ｖｔ））　（２４）　『　一　３—ｂ—２　（——３—√—　＝６＝；＝＝一二＝４＝６＝３＝＝６一＝１—ｓ—ｂｇ２—ｎ—ｓ（—ｇ　—ｎ—（　—＋—２——ｋ＋—）—是—＋—）］—ｂ一ｚ）　ＪＩ　ｓｇｎ（ｖ　＋忌）　２ｂ３　６　其中　１　ａ３，４　厶　６２＋　Ｕｓ５（ｚ，ｔ）＝一　ｓｅｃｈ２（ａ５（ｚ—ｖｔ））　（２５）　１—　２一『　一　ｂｙ／ｂｚ（２—ｓｂｇｚｎ－（　—３—２—￣—＋／。ｂ。忌‘。　２。　—）－‘—＋—４—３—ｂ　—‘３。ｂ厂。　’ｌ。’。ｓ。ｇ＝。ｎ。　（。　ｖ‘。　２。。＋。。　ｋ。。）　—）　２６３　ｓｅｃｈ２（ａ５（ｚ—ｖｔ））　Ｕｓ６（ｚ，ｔ）　ｂ２＋√ｂ；一４ｂ３ｂｌｓｇｎ（ｖ　＋ｋ）　６√ｂ；一４ｂ３ｂ１　￣／ｂ２（ｂ２－—３ｖ—／ｂ—２－——　——４———ｂ———３——。ｂ。。。ｌ。。ｓ。ｇ‘。。ｎ。。‘。（‘　‘ｖ‘。。２。　。。＋。。。。　ｋ。。。）。——）　ｂ２ｓｇｎ（　２＋忌）＋３　厂　＿＝＿　ｓｅｃｈ２（ａ６（ｚ—ｖｔ））　（２６）　ｓｅｃｈ２（ａ６（ｚ—ｖｔ））　１＋　２＿ｆ１＋　１　＿＿－——　其中　口５．６　２　在式（２１）～（２６）中　＋ｋ）≤０，２ｂ；一９ｂ１ｂ３＞０满足，则Ｕ　１（　，ｔ）为有界　钟状孤波解；否则，Ｕｓｌ（ｚ，ｔ）非孤波；　（ｂ）若ｂ２（　＋ｋ）＜０，ｂ３（　＋ｋ）＞０，或６２　（＇０２　ｑ－ｋ　ｔＩ　ｖ１　Ｚ＋十ｋ忌息＞＜＜Ｕ：　定理１　ａ．设ｂ１（　＋忌）＜０．　（ｖ２＋ｋ）≥０，２ｂ；一９ｂ１ｂ３＞０满足，则Ｕ　２（ｚ，ｔ）为　有界钟状孤波解；否则，Ｕｓ２（ｚ，ｔ）非孤波．　（ａ）若ｂ２（　＋ｋ）＞０，ｂ３（　＋ｋ）＞０，或ｂ２（　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　张卫国，等：非线性波动方程的孤波解及余弦周期波解　１９　ｂ．设ｂ；一４ｂ１ｂ３＞０，２ｂ；一９ｂ１ｂ３≠０．　（Ｃ）若ｂ１（　＋ｋ）＞０，ｂ２（　＋ｋ）＞０，ｂ３（　＋　√６２（３√ｂｉ一４ｂ３ｂ１＋ｂ２）＞３√ｂｉ一４ｂ３ｂ１—６２　由于，当３√６ｉ～４ｂ３ｂ１—６２≤０时，上式恒成立．　ｋ）＞０满足，则Ｕｓ３（ｚ，ｔ）为有界钟状孤波解；否则，　３（ｚ，ｔ）非孤波；　当３￣／ｂｉ一４ｂ３ｂ１一ｂ２＞０时，上式等价于ｂ２一　＞０．　（ｄ）若ｂ１（　＋ｋ）＞０，ｂ２（　＋ｋ）＞０，ｂ３≠０，　或ｂ２（　＋ｋ）＜０，ｂ３（　＋ｋ）＜０，２ｂｉ一９ｂ１ｂ３＜０　由此即可推知，当ｂ２＞０，且ｂ３ｂ１＞０时，　满足，则　４（ｚ，ｔ）为有界钟状孤波解；否则，　４（ｚ，　ｔ）非孤波；　（ｅ）若ｂ１（　＋ｋ）＞０，ｂ２（　＋ｋ）＜０，ｂ３≠０，　或ｂ２（　＋ｋ）＞０，ｂ３（　＋ｋ）＜０，２ｂｉ一９ｂ１ｂ３＜０　满足，则Ｕｓ５（ｚ，ｔ）为有界钟状孤波解；否则，　５（ｚ，　ｔ）非孤波；　（ｆ）若ｂ１（　＋ｋ）＞０，ｂ２（　＋ｋ）＜０，ｂ３（　＋　ｋ）＞０满足，则Ｕｓ６（ｚ，ｔ）为有界钟状孤波解；否则，　Ｕｓ６（ｚ，ｔ）非孤波．　证明现以对　３（．１７，ｔ）结论的证明为例来论　证说明，并且首先在　＋ｋ＞０条件下考虑．　ａ．为使Ｕｓ３（ｚ，ｔ）有意义，参数必须满足下列两　条件：　ｂｉ一４ｂｌｂ３＞０，ｂ２＞０，或　６２＜０，且２ｂｉ一９ｂｌｂ３＜０　ｂ．考察ａ；＞０的条件，因　２　４ｂｌｂ３一ｂ｛＋ｂ２、／ｂｌ一４ｂ１　ｂ３　——　～　ｂ３√ｂ；一４ｂ１ｂ３（ｂ２一√ｂｉ一４ｂ１ｂ３）　８６；（　＋ｋ）　ａ；＞０甘ｂ３（ｂ２一√ｂ；一４ｂ１ｂ３）＞０　所以，ａ；＞０等价于下列３个条件之一成立：　（ａ）６３＜０，ｂ１＞０；　（ｂ）ｂ２＞０，ｂ３＞０，ｂ１＞０；　（ｃ）ｂ２＜０，ｂ３＜０．　ｃ．考察Ｕｓ３（ｚ，ｔ）分母不为零的条件．　由于ｓｅｔｈ２（ａ　）∈［０，１］，则Ｂｏ＋Ｂ１ｓｅｔｈ２（ａ　）取　值介于Ｂｏ和Ｂｏ＋Ｂ１之间．即只需满足Ｂ０（Ｂ０＋　Ｂ１）＞０，就可以保证Ｂｏ＋Ｂ１ｓｅｃｈ　（ａ　）不等于零．对　／￣ｓ３（Ｘ，　）而言，只需研究满足Ｂｏ３（Ｂｏ３＋Ｂ１３）＞０的　参数条件．由Ｂｏ３（Ｂｏ３＋Ｂ１３）表达式化简可得，Ｂ０３　（Ｂｏ３＋Ｂ１３）＞０等价于　２一ｌＬ　　√ｂ２（３＾＋　／／ｂｉ一４ｂ３ｂ１＋ｂ２）ｊ｝　＞０　即等价于　３（ｚ，ｔ）分母不为零．　综合ａ～ｃ的讨论，可得　当ｂ１＞０，ｂ２＞０，ｂ３＞０，ｂｉ一４ｂ１ｂ３＞０时，　Ｕｓ３（ｚ，ｔ）有意义、有界．　又由于当ｌ　ｌ＝ｌ　ｚ—ｖｔ　ｌ一十ｏｏ时　㈦一一　厶ｃ，３　所以，　３（　）＝Ｕｓ３（ｚ—ｖｔ）是非线性波动方程（１）的　有界钟状孤波解．　当　＋ｋ＜０时，类似于上面的证明过程，可以　得到：当ｂ１＜０，ｂ２＜０，ｂ３＜０，ｂ；一４ｂ１ｂ３＞０时，　Ｕｓ３（ｚ，ｔ）有意义、有界，即　３（　）＝　３（．１７一ｗｔ）是　非线性波动方程（１）的有界钟状孤波解．　３非线性波动方程（１）余弦函数周期　波解及其有界性证明　情形１～６中假定ａ　＞０（　＝１，２，…，６）时，得　到了钟状孤波解，若情形１～６中的ａ；＜０（　＝１，２，　…，６），则ａｊ（ｊ＝１，２，…，６）为复数．　ａ．从情形１、２可知，当ｌ＞０时，有解　Ａ，Ｂ；０・，ｚ　Ａ。・，ｚ，　Ｂ，０・，ｚ　。・，ｚ’　（Ｉ，２＝Ｂｌｌ２７）　，２，　ａ１，２　ｚ　ａ　１，２　ｊ　其中，ａ　±√寺．　ｂ．从情形３、４可知，当　ｈ（４ｈｌ一　２＋５～　）＜０　时，有解　Ｂ　１３，。　∞４＝Ｂ１３　，Ｂ，ｏ３　，４，ａ３，４＝　，３．∞４　ｊ　｝（　一　２８）其中，　＝±√一一４ｈｌ－５２＋５￣ｓ２－４ｈ１．　ｃ．从情形５，６可知，当　ｈ（４ｈｌ—　２—５～　）＜０　时，有解　Ｂ　ｓ，６　Ａｏ５，６，　Ｂ，ｏ５，６　ｏ５，６　（５，６＝Ｂｌｓ，６，ａ５，６＝　，５，６　Ｊ　２９）　维普资讯 http://www.cqvip.com ２０　上海理工大学学报　２００８年第３０卷　其中，　＝±√一４一ｈｌ－ｓ２－ｓ￣５２－４ｈｌ　将式（２７）～（２９）代入式（８），有　ｕ／ｔ／（　）＝　Ａ　＋Ａｌｊｓｅｃｈ２（ｃ￣￥）　Ｂ　＋Ｂｌｊｓｅｃｈ２（　）　Ａ　＋ＡＩｊｓｅｃｈ２（　）　Ｂ　＋Ｂｌｊｓｅｃｈ２（　）　Ａｏｊ＋ＡＩｊｓｅｃ２（口　）　Ｂｏｊ＋ＢＩｊｓｅ　２　／　）　Ａｌｊ＋Ａｏｊｃｏｓ２（ａ￣￣）　Ｂ１Ｊ＋Ｂｏｊ∞ｓ２（口　）　于是，非线性波动方程（１）有余弦函数周期波解　Ｕｐｌ，２（Ｘ，￡）＝　２∞Ｓ２（ａ　（　一　￡））一（±３　ｅ２＋１）　）　其中　ｂ　ａｓｇｎ（　＋忌）　１一　——？——————一　２ｂｚ一９ｂ３ｂ　ａ　ｂ２ｓｇｎ（　＋ｋ）　●，　。‘—‘’：—’　。’’　。　。。。。。一　２ｂｚ一９ｂ３ｂ　ａ　±　（　，￡）＝一—ｂ２－ｙ／ｂ２－　４ｂ　３ｂｌｓｇｎ（ｖ２＋ｋ）—————一．　，４［１±　］（３１）４其中　．　√６　一４ｂ３ｂ　ａ　＾１　—＝＝二＝＝＝＝＝＝＝＝＝二二二二二二＝二＝二二二二＝　√６２（６２＋３　ｓｇｎ（７３２＋　））　ｂ２ｓｇｎ（ｖ　＋　）一３　，　√６２（６２＋３√６；一４６３６１ｓｇｎ（　＋　））　一　一　，　　Ｉｂ；一４ｂ３ｂ１一ｂ２√ｂ；一４ｂ３ｂ１　（　＋ｋ）ｌ　Ｌ　８６３（　＋　）　＿Ｊ　，　、　ｂ２＋￣／ｂ；一４ｂ３ｂ１ｓｇｎ（　＋ｋ）　６（　，　）　一—————　■——一‘　（３２）　１　一—　二二二二＝二二二二二＝二＝＝＝二二＝二二＝＝二二＝　√ｂ２（ｂ２—３￣／６；一４ｂ３ｂ１ｓｇｎ（　＋ｋ））　ｂ２ｓｇｎ（　＋　）＋３　２　／６２（６２—３　ｓｇｎ（　２＋　））　Ｉ　ｂ；一４ｂ３ｂ１＋ｂ２√ｂ；一４ｂ３ｂ１　（　＋ｋ）ｌ　Ｌ　８６３（　＋ｋ）　＿Ｊ　考虑使得上述　（　）（ｉ＝１，２，…，６）成立的参　数条件，有定理２．　定理２　ａ．假设ｂ１（　＋ｋ）＞０，２ｂ；一９ｂ３ｂ１＞　０，ｂ３（　＋ｋ）＞０，则　ｐ１（　），　ｐ２（　）为方程（１）的有　界余弦周期解；　ｂ．假设６；一４ｂ３ｂ１＞０，ｂ３（　＋ｋ）＞０，若条件　２ｂ２—９ｂ３ｂ１＜０，ｂ２（　＋ｋ）＜０或ｂ１（　＋ｋ）＜０，　ｂ２（　＋ｋ）＞０满足，则　ｐ３（　），　ｐ４（　）为方程（１）　的有界余弦周期解；　ｃ．假设６；一４ｂ３ｂ１＞０，ｂ３（　＋ｋ）＞０，若条件　２ｂ２—９ｂ３ｂ１＜０，ｂ２（　＋ｋ）＞０或ｂ１（　＋ｋ）＜０，　ｂ２（　＋ｋ）＜０满足，则　ｐ５（　），　ｐ６（　）为方程（１）　的有界余弦周期解．　证明此处证明类似于定理１的证明（略）．　４讨论　为了方便起见，以方程（１）的系数满足条件　ｂ１＜０，ｂ２≤０，２ｂ；一９ｂ１ｂ３＞０　（３３）　为例来讨论．　．１孤波解与周期波解　ａ．ｂ３＞０时，当　＋ｋ＞０时，与定理１的ｂ，定　理２的ｃ相比较，发现有孤波“　同时存在周　期波　ｐ５，　ｐ６；当　＋ｋ＜０，与定理１的ｄ比较，存　在孤波　结论：方程（１）的系数满足式（３３）及ｂ３＞０时，　有大速度（　＞一ｋ）的孤波　１、Ｕｓ２与大速度的周期　波　５、Ｕｐ６共存；　＋ｋ＜０，即　＜一ｋ时，有小速　度的孤波　此时周期波消失．　ｂ．ｂ　＜０时，同上讨论，得出结论：方程（１）的　系数满足式（３３）及ｂ３＜０时，有大速度的孤波　１；　当　＜一ｋ时，有小速度的孤波Ｕｓ３与小速度的周　期波　１、Ｕｐ２共存．显然，此条件下当速度变小时出　现周期波．　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　张卫国，等：非线性波动方程的孤波解及余弦周期波解　２１　与　１关于　有如下连续演变关系：　４．２孤波与周期波关于’，的演变　当　２＞一ｋ时，行波表现为有界钟状孤波　若方程（１）满足　（　）；当．０－２＝一ｋ时，本文解释为行波归于平静；当　ｂ１＜０，ｂ２≤０，ｂ３＜０，２ｂ２—９ｂ３ｂ１＞０（３４）　ｚ＜一ｋ时，行波表现为有界余弦函数周期波　由定理１的ａ，若　＋ｋ＞０，Ｕｓｌ为有界钟状孤波解；　Ｕｐ１（）．　由定理２的ａ，若　＋ｋ＜０，　ｌ、Ｕｐ２为有界周期波　图１为　１（　）和　１（　）波形随　变化的图形，　解．经分析得到方程（１）的系数满足式（３４）的行波解　取ｋ＝一１，ｂｌ＝一０．５，ｂ２＝一２，ｂ３＝～０．５．　一３．５　一５　一一２．５　Ｉ４　—３　一１．５　一ｌ　－０．５　Ｏ　（ａ）当ｖ＝１．００１时的Ｕ　（｛）图像　（ｂ）当ｖ＝０．９９９时的Ｕｐｌ（｛）图像　－３．５　一０－２．５　６　一—４　０　一１．５　一２　０．５　ｆ　－ｆ　、Ｊ　（ｃ）当　１．２时的“ｄ（｛）图像　（ｄ）当ｖ：Ｏ　８时的　。（｛）图像　图１　Ｕｓｌ（　）和Ｕｐ】（　）波形随波速变化的图形　Ｆｉｇ．１　Ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　Ｕｓｌ（　）ａｎｄ　Ｕｐｌ（　）ａＳ　ｔｈｅ　ｗａｖｅ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ｖ￣ｙｉｎｇ　根据定理１和定理２，在方程（１）的系数满足其　　ＩＭ　１．Ｌｏｎｄｏｎ：Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｃ　Ｉｎｃ　Ｌｔｄ，１９８２．　他条件下，可得孤波解与周期波解共存的情况，并且　［３］　Ｄ０ｏＤ　Ｒ　Ｋ，ＥＩＬＢＥＣＫ　Ｊ　Ｃ，ＧＩＢ　＝Ｂ０Ｎ　Ｊ　Ｄ，ｅｔ　ａ１．Ｓｏｌｉｔｏｎｓ　可以得出波速改变对行波波形的影响．　ｎａｄ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｗａｖｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｅ　Ｉｎｅ　Ｌｔｄ，１９８２．　参考文献：　『４］　ＡＢＬ０ｖＩＴＺ　Ｍ　Ｊ，ＳＥＧＩ爪Ｈ．Ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ａｎｄ　Ｔｈｅ　Ｉｎｖｅｒｓｅ　［１］ＥＬＥＯＮＳＫＹ　Ｖ　Ｍ．ＫＵＬＡＧＩＮ　Ｎ　Ｅ．Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ａｓｙｍｐ一　…　Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｍ］．Ｐｈｉｌｉａｄｅｌｐｈｉａ：ＳＩＡＭ，１９８１．　ｎ）ｔｉｃ　ｅｘｐａｎｓｉ。ｎ　ａｎｄ。ｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｍｏｄｅ１　ｉｎ　ｔｈｅ　ｔｈｅ—　Ｌ　３　Ｊ　王明亮，周宇斌．一个非线性波动方程的精确解［Ｊ］．兰　ｏｒｙ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｗａｖｅｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ　ｉｎ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｗａｖｅｓ，　…　州大学学报（自然科学版），１９９６，３２（１）：１—５．　１９８５，２（１）：２１—２９．Ｌ６　Ｊ　蔡红颖，郭冠平．一类非线性波动方程新的精确孤立波　［２］ＤＯＯＤ　Ｒ　Ｋ．Ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ａｎｄ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｗａｖａｓ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　解［Ｊ］．吉首大学学报（自然科学版），２００２，２３（２）：５６—　５９．