光的色散的研究

[目的]

1．进一步掌握分光计的调整技术，学习用分光计观察棱镜光谱。 2．学习用最小偏向角法测定玻璃材料的折射率。 3．测定三棱镜的色散曲线，求出色散的经验公式。

[原理]

一．概述

早在1672年牛顿用一束近乎平行的白光通过玻璃棱镜时，在棱镜后面的屏上观察到一条彩色光带，这就是光的色散现象。它表明：对于不同颜色（波长）的光，介质的折射率是不同的，即折射率n是波长λ的函数。介质的折射率n随着波长λ的增加而减小的色散称为正常色散。所有不带颜色的透明介质，在可见光区域内，都表现为正常色散。描述正常色散的公式是科希（Cauchy）于1836年首先得到的：

（22-1）

λ2λ4

这是一个经验公式，式中A、B和C是由所研究的介质特性决定的常数。本实验通过对光的色散的研究，求出此经验公式。

二．最小偏向角法测量三棱镜玻璃材料的折射率

测量玻璃材料折射率的方法很多，这里我们用的是最小偏向角法。如图22-1所示，三角形ABC表示三棱镜的主截面，AB和AC是透光面（又称为折射面）。设有一束单色光LD入射到棱镜的AB面上，经过两次折射后从AC面沿ER方向射出。入射线LD和出射线ER间的夹角δ称为偏向角。根据图22-1，由几何关系，偏向角δ为

L δ=∠FDE+∠FED=(i−i)+(i−i)

n=A+

+

1

2

4

3

BC

因i2+i3=α，α为三棱镜的顶角。故有

δ=i1+i4−α （22-2）

对于给定的棱镜来说，顶角α是固定的。由其中，i4(22-2)式可知，δ随i1和i4而变化。

与i3、i2、i1依次相关，由折射定律决定。因此，i4是i1的函数。归结到底，偏向角δ也就仅随i1 而变化。由实验中可以观察到，当i1变化时，δ有一极小值，称为最小偏向角

图22-1 δmin。下面我们用求极值的方法来推导δ取极小值的条件。

dδ=0 ，由(22-2)式得 令

di1

di4

=−1 （22-3） di1

再利用i2+i3=α及两折射面处的折射条件

sini1=nsini2

（22-4）

nsini3=sini4

得到

cosi31−n2sin2i2di4di4di3di2ncosi3cosi1

=⋅⋅=⋅(−1)⋅=−di1di3di2di1ncosi2cosi4

cosi21−n2sin2i3=−

seci2−ntgi2sec2i3−n2tg2i3

2

2

2

=−

1+1−ntgi2

2

2

()1+(1−n)tg

2

（22-5）

2

i3

比较(22-4)、(22-5)两式有tgi2=tgi3。而在棱镜折射的情形下，i2和i3均小于π2，故i2=i3。由(22-4)知，i1=i4。可见，δ取极值的条件为

i2=i3或i1=i4 （22-6）

显然，这时入射光和出射光的方向相对于棱镜是对称的，光线在棱镜内平行于底边。同

d2δ样可证当i1=i4时，2›0，即δ确取得极小值。把(22-5)式代入(22-2)式得

di1

δmin=2i1−α 而α=i2+i3，i2=α2。于是，棱镜对该单色光的折射率为

n=

sini1

=sini2

sin

1

(δmin+α)2 （22-7） sinα2

由于α是常数，且δmin+α<180，故n与δmin是一一对应的。

由式（22-7）可知，实验上只要测得三棱镜的顶角α和某单色光通过三棱镜后所对应的最小偏向角δmin，则该单色光在玻璃材料中的折射率n即可求。

三．测定三棱镜的色散曲线，求出n(λ)~λ的经验公式 要求出经验公式（22-1），就必须测量出对应于不同波长λ下的折射率n。实际光源中所发出的光一般都为复色光，实验上需要用色散元件把各色光的传播方向分开。在光谱分析中常用的色散元件有棱镜和光栅，它们是分别用折射和衍射的原理进行分光的。这里我们用棱镜作色散元件。如果用复色光照射，由于三棱镜的色散作用，入射光中不同颜色的光射出时将沿不同方向传播，各色光分别取

图22-2 得不同的偏向角，如图22-2所示。对于正常色散，

折射率n是随波长λ增大而单调递减的函数。因此，

在同一入射角下，波长长的红光偏向角小，而波长短的蓝光偏向角大。

0

在图22-3所示的实验装置中，光谱管所发出的复色光经平行光管变为平行光束，入射到三棱镜上。经两次折射后，各单色光将沿不同的方向射出。这样，用望远镜观察出射光，各色光将成像于不同的位置，在视场中看到一条条单色狭缝像。每一条单色像称为一条谱线，谱线的总和称为光谱。由于我们所用的色散元件为棱镜，故这种光谱称为棱镜光谱。

在本实验中，我们把氦灯或汞灯所发出的光谱谱线的波长值作为已知（波长值见附表），测量出各谱线通过三棱镜后所对应的最小偏向角δmin，由式（22-7）计算出与之对应的折射率n，在直角坐标系中作根据出三棱镜的n(λ)~λ色散曲线。色散曲线的形状与数学中各函数曲线相比较，初步得出n~λ的函数关系，用最小二乘法求出方程中的系数，最后求得n~λ之间的色散经验公式。若用已求得色散曲线的三棱镜测出波长未知谱线的最小偏向角

δmin，并计算相对应的折射率n，阅附录。

图22-3 用图解插值法即可在三棱镜的色散曲线上求出待测谱线的波长。关于图解插值法，可参

附表1 氦灯光谱谱线波长值(单位：纳米)

红1

红2

黄

绿1

附表2 汞灯光谱谱线波长值(单位：纳米)

橙

黄1

黄2

绿

绿蓝

蓝

蓝紫

绿2

蓝1

蓝2

706.57 667.82 587.56 501.57 492.19 471.32 447.15 623.44 579.07 576.96 6.07 491.60 435.83 407.73 [内容]

1．调整分光计使其达到工作状态。

2．以汞灯作光源，测绘出三棱镜的n(λ)~λ色散曲线。并由所得的n(λ)~λ色散曲线求出玻璃材料折射率的经验公式。

3．选做：以钠灯作光源，测量出钠黄光谱线在同一个三棱镜上的最小偏向角，计算对应的折射率，用图解插值法在n(λ)~λ色散曲线上求出钠黄光的波长值。