2020届高三文科数学精准培优专练十一：数列求通项公式(解析版)

1.累加、累乘法例1：数列【答案】an【解析】an

an满足：a1

2

n

1，且an

1

an

2

n

1，求an．

n2

n

2．1，an

an

2

n1

1

an

1

1，L，a2

a12

1

1，

累加可得：a

n

a1

22

2

L2

n1

n1

22

n1

1

21

n12

n

n3，

an2

n

n

2．

2．Sn与an的关系的应用

an中，a1

1

【答案】an

2n11,2,n

2n

例2：在数列

1，an1

2Sn2Sn2

2

1

，则an的通项公式为_________．

2n3

,nn

．

1Sn

Sn1，Sn1Sn1Sn

1

,nn

1

【解析】∵当n

2S

1

N时，an2S

2n

SnSn

2Sn1Sn

Sn2SnSn1Sn

11

2S，

2n

整理可得：Sn

1

2SnSn1，

2，

1Sn

为公差为2的等差数列，

1

，an

2n11,

1S121

n12

2n1，

Sn

12n1

2n3．

3．构造法例3：数列【答案】an

an中，a1

23

n1

1，an

3an

1

2，求数列

an的通项公式．

1．

【解析】设an

an

13an

3an1，

n1

1

即an3an

1

2，对比an

3an

1

2，可得1，

1

anan

1是公比为3的等比数列，23

n1

an1a113

，

1．

对点增分集训

一、单选题1．由a1A．

1100

1，an

an

1

3an

1

给出的数列

an的第34项是（

C．

34103

）

D．

14

B．100

【答案】A 【解析】由a1

1，an

an

1

3an1

1

，

1

1

则a2

131

14

，a3

3

414

11

7

，a4

3

717

11

10

，

1

a5

310110

11

13，a6

3

13113

11

16

，L，

由此可知各项分子为∴b342．数列A．

12

b1

341dan满足a1

1，分母构成等差数列133312，an

100，∴a51

1an

bn，首项b1

1100

1，公差为d

3，

，故选A．

）

D．3

1

，则a2018等于（

C．2

B．1

【答案】B 【解析】n

1时，a2

12

1，a3a3

372

2

1a2

1

2，a4

1

12

12

，a5

12

1，

∴数列的周期是

3，∴a20181．故选B．

3．在数列

an中，若a1

2，且对任意正整数m、k，总有am

k

am

ak，则an的前n项和为Sn（）

A．n3n1B．

nn

3

C．nn1

1

2D．

n3n

2【答案】C

【解析】递推关系amk

am

ak中，令k1可得：am

1

ama1am

2，

即am

1

am

2恒成立，

据此可知，该数列是一个首项a1

2，公差d2的等差数列，

其前n项和为：Snnann1

d

2n

nn1

1

2

2

2

nn

1．故选C．

4．数列an的前n项和为Sn，若Sn

2n1nN，则a2017的值为（

）

A．2 B．3

C．2017 D．3033

【答案】A 【解析】a2017S2017

S20162，故选A．

5．已知数列an是递增数列，且对

n

N，都有an

n

2

n，则实数

的取值范围是（A．

72,

B．

1,

C．

2,D．

3,

【答案】D

【解析】∵an是递增数列，∴an1

an，∵ann

2

n恒成立，即

n

1

2

n

1

n

2

n，∴2n1对于nN恒成立，而

2n1在n

1时取得最大值

3，

∴

3，故选D．

6．在数列an中，已知a1

2，a2an1

n

an2，则an等于（

）n

1

2

，A．

2n1

B．

2n

C．

3n

D．

3n1

【答案】B 【解析】将等式a2an1

111111n

an

1

2

两边取倒数得到

an

an

1

2

，

an

an

1

2

，

1a是公差为1的等差数列，11n

2

a，

1

2

）

根据等差数列的通项公式的求法得到7．已知数列A．47

【答案】B 【解析】由Sn1an1，可得Sn1

1

1an

121，Sn

n113

12

n2

，故an

（

2n

．故选B．）

an的前n项和Sn，若a1

B．34

5

an1，则a7

6

C．34D．4

6

1

an，n

2．两式相减可得：

an1an

1

1

an，n

2．

3

3

3

3

即an1

4an，n2．数列an是从第二项起的等比数列，公比为4，

又S1n

3

an1，a1

1．∴a23，S1

3．∴a7

a24

72

345

．故选B．8．已知Fxfx

122是R上的奇函数，an

f0

f1n

L

fn1n

f1，的通项公式为（）A．an

n

B．an

2n

1

C．an

n1

D．an

n

2

2n3

【答案】B

【解析】由题已知Fxfx

122是R上的奇函数，故F

x

Fx，代入得：

f12

x

f12

x

4，x

R，

∴函数fx关于点12,2对称，令t12

x，则12x1t，得到ft

f1t

4，∵an

f0

f1n

L

fn1n

f1，an

f1

fn1n

L

f1n

f0，

倒序相加可得2an4n1，即an

2n1，故选B．9．在数列a0，a1n中，若a1

n1

an

2n，则

1aL

1）

2

a3

a的值（

n

A．

n1B．

n1n

n

C．

n1n1

D．

nn1

【答案】A

【解析】由题意，数列an中，若a10，an

1

an

2n，

则an

an

an

1an

1an

2

L

a2

a1

a1

212L

n1

nn1，

n

N则数列

an

∴

1an1a2

1nn11a3

L

1n11an

1

1n

，

12

13

1n1

1n

1n

n1n

∴

12

L1

，故选A．

10．已知数列

an的首项a1

1，且满足an

1

an

12

n

nN

，如果存在正整数

n，

使得anA．

12,2

an

1

0成立，则实数B．

23,1

的取值范围是（

C．

12,1

）

25,D．

36

【答案】C 【解析】由题意n

2时，

120，2312

1223

2k

ana1a2a1a3a2Lanan

1

1

12

2

L

12

n1

23

1

12

n

，

由anan

1

0，即anan

1

∴a2k

a2k1且a2k

a2k1，k

N，a2k

1

2312

1

12

2k

，

其中最小项为a2

23

1

3412

12

，a2k

2

1

2k1

3

11

2k1

，

其中最大项为a111．已知数列A．a2018C．数列

2

2018

1，因此

1．故选C．

an满足a1

1，an

1

an

2n

n

N

*

，Sn是数列

32

1009

an的前n项和，则（3

）

B．S2018

是等差数列

D．数列

a2n

1

an是等比数列

【答案】B 【解析】数列数列当n

2时，anan

an满足a1

2

n1

1，an

1

an

anan

11

2

n

nN

2，

*

，

1

两式作商可得：

∴数列

an的奇数项a1，a3，a5，L，成等比，偶数项a2，a4，a6，L，成等比，

对于A来说，2018

1

a

2018a22

2

221008

2

1009

，错误；对于B来说，S2018

a1a3

L

a2017a2

a4

L

a2018

1

12

1009

2

121009

1009

1

2

12

32

3，正确；

对于C来说，数列a2n

1

是等比数列，错误；

对于D来说，数列

an不是等比数列，错误，故选

B．

12．已知数列

aan

1n满足：a1

1，an

1

anN

．设bn

1

n21nN

，n2

an

且数列bn是单调递增数列，则实数的取值范围是（

）

A．

,2

B．

1,32

C．

11,

D．

12,

【答案】B

【解析】∵数an满足：a1

1，aan

n1

aN

．

n

2

n121，化为

12an

1

ana1

a2，n

1

n

∴数列

11是等比数列，首项为

1a1

2，公比为2，

n

a1

∴

1n

a1

2，

bn

1

n2

1n

a1n2

2n

，

n

∵b2

15，且数列

bn是单调递增数列，

∴b2b222

1，∴15，解得

12，由bnn

2

bn1，可得21，对于任意的nN恒成立，

31

32

，故答案为

2

．故选B．

b2

1

5，

二、填空题13．已知数列【答案】2n1

【解析】数列an的前n项和为Sn，且SnSn

n1

2

an的前n项和为Sn，且Sn

n

2

2n，则an

___________．

n

2

2n，

1

2n1，两式想减得到

1时，a1

1，an

1

an

2n1．

2n1．故答案为an______．

2n1．

此时n1，检验当n14．数列【答案】

3符合题意，故an

nn

1

an，则an

an中，若a11n

1，an

1n

【解析】∵a1∴an

1n

n

1

n1

an，则n1an

1

nana11，

．故答案为

．

n1an

nn

2n

N

，a1

12，an

___________．

15．设数列【答案】

n

2

an满足nan

1

n1

1

【解析】∵nan

anann

1

n1

1an

nn21n1a11n

，

2

n1n12

N

，，

ann

a1

12

1n1

，

annan12n

1

n1∴

n1nn

1an

21

n1，a22

213

n1，n

2

n11n

，累加可得

∵a1∴an

1n1

n

1

．故答案为an

an满足a12n

32

n1

．

an

1

3，则

1a1

1

a2

11

a3

11

an

11

_______．

16．已知数列【答案】

3

n1

2，4an

1

2

【解析】令bn由题意可得即bnbn

3bn

bn

4an

1bnbn

1，则bn

3

1

4an

1

1，

1

3，

3bn

1bn

1

11

0，整理可得

1，

令cn且c1即cn

1bn1b114

，则cn

14a13

n

1

3cn1

1，由题意可得cn，c11cn

13

n

1

1

212bn4

3cn343

n

12，

，

1242L

34

1，bn

1a2

4

，故cn

1

31

n1

12

，an

1an

23

3

，

1an3

n

1

3

n

2，3

n1

据此可知

1a11

1

a3

11

33

2

L2n

2

2n

32

．

三、解答题

17．已知各项均为正数的数列（1）求Sn；（2）设bn

n1

n

Sn，求数列

1bn1n1

的前n项和Tn．

2

an的前n项和为Sn，且an

2an

4Sn．

【答案】（1）Sn

n

2

n；（2）Tnaa

2

n2n1

14Sn

1

．

【解析】（1）由题意得

2an2anan

4Snan

，两式作差得

1

an

1

anan

1

an2

0，

又数列当n

an各项均为正数，∴

2

1

2

0，即an2

1

an

2，2，nn12

d

n

2

1时，有a1

2a14S1

4a1，得a1a1

0，则a1Sn

na11n

1，

故数列

1

（2）

bn

an为首项为2公差为2的等差数列，∴

1n1bi

n

n．

1n1i

1i1Sn

n1nn11n1

n1n

1

n

∴Tn

i1

(

i1

)1

．

18．在数列

an中，a1

ann

4，nan

1

n1an2n

2

2n．

（1）求证：数列

1an

是等差数列；

（2）求数列

的前n项和Sn．

【答案】（1）见解析；（2）Sn【解析】（1）nan∴数列

ann

n

1an

n2n12n

2

．

nn1，得

ann

1

1

2n的两边同时除以

ann

1

2nN

，

是首项为4，公差为2的等差数列

ann1an121n

1312

13

n

2n

2

（2）由（1），得

2n2，12n1n

n1112

n1nn11

12

1n1

n2n1

．

1n

12

1n

1n1

∴an

2n

2

2n，故

，

∴Sn

1212

1

1213

12

11