【精编】高三数学一轮训练：第六篇第4节 基本不等式

第4节 基本不等式

【选题明细表】

知识点、方法 利用基本不等式比较大小、证明 利用基本不等式求最值 基本不等式的实际应用 基本不等式的综合应用 基础巩固(时间:30分钟)

1.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( C ) (A)最大值0 (B)最小值0 (C)最大值-4 (D)最小值-4 解析:因为x<0,所以f(x)=-(-x+即x=-1时取等号. 选C.

2.下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x2+)>lg x(x>0) (B)sin x+

≥2(x≠kπ,k∈Z)

)-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=

,

题号 2,3 1,4,7,9,11,13 6,12,14 5,8,10 (C)x2+1≥2|x|(x∈R) (D)

>1(x∈R)

1

精心整理 提升自我

解析:当x>0时,x2+≥2·=x,所以lg(x2+)≥lg x(x>0),故选项A

<0,故选项B=1,故选项

不正确;当2kπ-π3.若a,b∈R,ab≠0,且a+b=1,则下列不等式中,恒成立的是( B ) (A)a2b2≤ (B)a2+b2≥ (C)(1+)(1+)≥9 (D) +≥4

解析:由a+b=1,可得a2+b2+2ab=1, 因为2ab≤a2+b2,当且仅当a=b时取等号. 所以2a2+2b2≥1, 则a2+b2≥.

当a,b异号时,不妨取a=-1,b=2,易知A,C,D都不正确. 故选B.

4.导学号 38486112(2017·枣庄一模)若正数x,y满足+=1,则3x+4y的最小值是( C ) (A)24 (B)28 (C)25 (D)26 解析:因为正数x,y满足+=1,

2

精心整理 提升自我

则3x+4y=(3x+4y)( +)=13++当且仅当x=2y=5时取等号. 所以3x+4y的最小值是25. 故选C.

≥13+3×2=25,

5.导学号 38486113(2017·山东平度二模)若直线2mx-ny-2=0 (m>0,n>0)过点(1,-2),则+最小值( D ) (A)2 (B)6 (C)12 (D)3+2

解析:因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2), 所以2m+2n-2=0,即m+n=1, 因为+=(+)(m+n)=3++当且仅当=

≥3+2,

,即n=m时取等号,

所以+的最小值为3+2, 故选D.

6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则+的最小值为( C ) (A) (B)4 (C) (D)5

解析:由题意可得, a·S△BCD+bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高.

3

精心整理 提升自我

h=

所以a+b=2.

=2,

所以+= (a+b)( +)= (5++)≥ (5+2当且仅当a=2b=时取等号. 故选C.

)=,

7.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为 . 解析:(x2+)(+4y2)=5+时“=”成立. 答案:9

8.(2017·洛阳二模)设a>0,b>0.若是3a与32b的等比中项,则+的最小值为 .

解析:根据题意,若是3a与32b的等比中项, 则有3a+2b=3,则有a+2b=1;

则+=(a+2b)( +)=4+(+)≥4+2=8, 当且仅当a=2b=时,等号成立. 即+的最小值为8. 答案:8

能力提升(时间:15分钟)

9.若对于任意的x>0,不等式

4

+4x2y2≥5+2=9,当且仅当x2y2=

≤a恒成立,则实数a的取值范

精心整理 提升自我

围为( A )

(A)[,+∞) (B)(,+∞) (C)( -∞,) (D)(-∞,]

解析:由x>0,令t=x+,则t≥2

==2,

,

当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时所以对于任意的x>0,不等式

取得最大值,

≤a恒成立,则a≥.故选A.

10.导学号 38486114(2017·揭阳一模)已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R),恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则+的最小值为( B ) (A)4 (B)12 (C)24 (D)36

解析:抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R), 即y+3=(x+1)(ax-a+2), 所以A(-1,-3),所以m+n=, 又+=

+

=6+3(+)≥6+6

=12,

当且仅当m=n时等号成立. 故选B.

5

精心整理 提升自我

11.(2017·山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),

其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为( C )

(A)4 (B)6 (C)8 (D)9 解析:=(a-1,1),=(-b-1,2),

因为A,B,C三点共线,所以2(a-1)-(-b-1)=0,化为2a+b=1. 又a>0,b>0,则+=(2a+b)( +)=4++≥4+2取等号. 故选C.

12.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 . 解析:一年的总运费为6×

=

(万元).

=8,当且仅当b=2a=时

一年的总存储费用为4x万元. 总运费与总存储费用的和为(因为

+4x≥2

=4x,

=240,

+4x)万元.

当且仅当

即x=30时取得等号,

所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小. 答案:30

6

精心整理 提升自我

13.已知x>0,y>0,且2x+5y=20. (1)求u=lg x+lg y的最大值; (2)求+的最小值. 解:(1)因为x>0,y>0, 所以由基本不等式, 得2x+5y=20≥2

.

即xy≤10,当且仅当2x=5y时等号成立,此时x=5,y=2, 所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1. 所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1. (2)因为x>0,y>0,所以+=(+)·=

=(7++)≥(7+2

)

,当且仅当=时等号成立.

.

所以+的最小值为

14.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

7

精心整理 提升自我

解:(1)设污水处理池的宽为x米,则长为总造价f(x)=400×(2x+=1 296x+960=38 880, 当且仅当x=

(x>0),

米.

)+248×2x+80×162

)+12 960≥1 296×2

+12

+12 960=1 296(x+

即x=10时取等号.

所以当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元.

(2)由条件知所以≤x≤16. 设g(x)=x+

(≤x≤16),

g(x)在[,16]上是增函数, 所以当x=时(此时

=16),

g(x)有最小值,即f(x)有最小值, 即f(x)min=1 296× (+

)+12 960=38 882.

所以当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,总造价最低为38 882元.

8

精心整理 提升自我

9