柯西不等式教学设计

一、 教学目标：

1、 知识目标：

1代数形式；○2向量形式。 （1） 认识二维柯西不等式的两种形式：○

1代数方法；○2向量方法。 （2） 学会二维柯西不等式的两种证明方法：○

（3） 了解一般形式的柯西不等式，并学会应用及探究其证明过程。

2、 能力目标：

（1） 学会运用柯西不等式解决一些简单问题。 （2） 学会运用柯西不等式证明不等式。 （3） 培养学生知识迁移、自主探究能力。

3、 情感、态度、价值观目标：

通过对柯西不等式的学习，使学生感受数学的美妙，提高数学素养，激发学习兴趣。

二、 教学重点与难点：

1、 教学重点：

1代数形式；○2向量形式。 （1） 二维柯西不等式的两种形式及其证明：○

（2） 探究一般的柯西不等式形式。 2、 教学难点：

（1） 柯西不等式的证明思路。 （2） 运用柯西不等式解决问题。

三、 教学方法：探究法、讲述法。

四、 教学过程及内容：

1、 单刀直入，通过基本不等式

2222a2b22ab引出平方和与乘积的关系，直接引入主

题(ab)(cd)(a,b,c,d为实数)：

【师】：同学们，以前我们学习了基本不等式ab2ab，它反映的是两个实数的平方和与乘积的大小关系，今天我们将学习一个著名的不等式——柯西不等式，

它的形式上也含有平方和与乘积。下面我们先来看一下这个式子 (a2b2)(c2d2)(a,b,为实数c,d【生】：全神贯注地看黑板。

【师】：在黑板展示：(ab)(cd)=acbdadbc

由于acbdadbc(acbd)(adbc)

222222222222222222222222)因此(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2 所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2

当且仅当adbc0时，等号成立。

【师】：这就是柯西不等式中最简单的形式，即它的二维形式。

2、 讲解二维柯西不等式定理，并给出两个相关推论：

二维形式的柯西不等式：

若a,b,c,d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2 当且仅当adbc0时，等号成立。

推论一：abcdacbd 推论二：abcdacbd

3、 练习巩固新知识：

例一：已知a,b为实数，证明：(a4b4)(a2b2)(a3b3)2 【生】：动笔演算。 【讲解】：利用柯西不等式，

22222222(a4b4)(a2b2)[(a2)2(b2)2](a2b2)(a2ab2b)2 (a3b3)2例二：求函数y3x546x的最大值。

【生】：动笔演算。 【分析】：此题首先想到利用倒数求解，此方法可行，但是过程相对繁琐。 【讲解】：函数的定义域为[5,6]，观察式子形式，可以用推论二。即

y3x546x(3242)[(x5)(6x)]5。

当且仅当4x536x，即x

4、 讲解柯西不等式的向量形式：

在平面直角坐标系中，

134时，函数有最大值5。 25(a,b),(c,d),

,[0,，则]

||||cosacbd

又||ab,||c2d2,

22而|||||||cos|||||

即|acbd|a2b2c2d2

当且仅当,共线时，等号成立，即adbc

柯西不等式的向量形式：

设 ,是两个向量，则，

当且仅当是零向量，或存在实数k，使得k时，等号成立。

又称之为Cauchy-Schwarz不等式。

5、 通过柯西不等式的向量形式，将二维形式推广到三维，得到三维形式的柯西不等式：

三维形式的柯西不等式：

2222(a12a2a3)(b12b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2

当且仅当bi0(i1,2,3)，或存在k使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立。

6、 三维柯西不等式巩固练习：

例三：设x1,x2,x3为正数，求证：(x1x2x3)(【生】：动笔演算。 【讲解】：利用柯西不等式，

111)9 x1x2x3(x1x2x3)(

1111112)(x1x2x3)9 x1x2x3x1x2x37、 探究一般形式的柯西不等式：

【师】：同学们类比一下二维和三维的柯西不等式，猜想一下一般形式的柯西不等式会是怎么样呢？

22222【生】：踊跃回答：(a1a2…+an)(b12b2+…bn)(a1b1a2b2+…anbn)2

【师】：很好！同学们都很聪明，那么怎么证明这个一般形式的柯西不等式呢？它又是在什么样的条件下才能使得等号成立呢？这个问题留给同学们课后思考。（提示：用向量证明。）下面我们先来看一个例题： 例四：设x1,x2,,xnR,求证：

222xnxx1x221n≥x1x2xn x2x3xnx1【讲解】：在不等式左端乘以因式x1x2xn，由柯西不等式，得

222xnxnx1x221x2x3xnx1(x2x3xnx1)

2222xxxx12n1nxxxx23n12222x2x3xnx1 xxn1xnx21≥x2x3xnx1xx3xnx12x1x2xn,222xnxnx1x221于是≥x1x2xn

x2x3xnx12

8、 小结：总结代数形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式，注意提醒学生等号成立的条件。 五、

板书设计：

柯西不等式

二维形式的柯西不等式：

若a,b,c,d都是实数，则(ab)(cd)(acbd) 当且仅当adbc0时，等号成立。

推论一：abcdacbd 推论二：abcdacbd

柯西不等式的向量形式：

2222222222222设 ,是两个向量，则，

当且仅当是零向量，或存在实数k，使得k时，等号成立。

三维形式的柯西不等式：

2222(a12a2a3)(b12b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2

当且仅当bi0(i1,2,3)，或存在k使得aikbi(i1,2,3,)时，等号成立。

一般形式的柯西不等式：

2222(a12a2…+an)(b12b2+…bn)(a1b1a2b2+…anbn)2

当且仅当bi0(i1,2,…，n)，或存在k使得aikbi(i1,2,…，n)时， 等号成立。