2008—数二真题、标准答案及解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设f(x)x2(x1)(x2)，则f'(x)的零点个数为（ ）

A0 B1. C2 D3

（2）曲线方程为yf(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分

a0aft(x)dx（ ）

A曲边梯形ABCD面积. B梯形ABCD面积. C曲边三角形ACD面积. D三角形ACD面积.

（3）在下列微分方程中，以yC1eC2cos2xC3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（ ）

x

Ay'''y''4y'4y0 Cy'''y''4y'4y0

''' By'' y'4y4y0

Dy'''y''4y'4y0

（5）设函数f(x)在(,)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（ ）

A若xn收敛，则f(xn)收敛. B若xn单调，则f(xn)收敛. C若f(xn)收敛，则xn收敛.

（6）设函数f连续，若F(u,v)Duv

D若f(xn)单调，则xn收敛.

dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则

F uf(x2y2)x2y2Avf(u2) Cvf(u)

Buvf(u2)

Dvf(u) u3（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A0，则（ ）

AEA不可逆，EA不可逆. CEA可逆，EA可逆.

BEA不可逆，EA可逆. DEA可逆，EA不可逆.

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（8）设A12，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） 21

A21.

12

B21.

1221C.

1212 D.

211cos[xf(x)](e1)f(x)x2二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且limx01，则f(0)____.

（10）微分方程(yx2ex)dxxdy0的通解是y____.

（11）曲线sinxylnyxx在点0,1处的切线方程为. （12）曲线y(x5)x的拐点坐标为______. （13）设z23zy，则xxxy(1,2)____.

（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,.若行列式2A48，则___.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分9分）

sinxsinsinxsinx求极限lim. 4x0x(16)（本题满分10分）

dxxx(t)22tex0y设函数yy(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题dt的解.求2. t2xyln(1u)duxt000 (17)（本题满分9分）求积分 (18)（本题满分11分）

求二重积分

1xarcsinx1x20dx.

max(xy,1)dxdy,其中D{(x,y)0x2,0y2}

D(19)（本题满分11分）

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设f(x)是区间0,上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)1.对任意的t0,，直线

x0,xt，曲线yf(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积

在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式. (20)（本题满分11分）

(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]，使得

baf(x)dxf()(ba)

(2)若函数(x)具有二阶导数，且满足(2)(1),(2)xd(x，)证明至少存在一点

23(1,3使得),() 0（21）（本题满分11分）

求函数ux2y2z2在约束条件zx2y2和xyz4下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）

2a12a2a，现矩阵A满足方程AXB，其中Xx,,xT，设矩阵A1n12a2annB1,0,,0，

（1）求证An1a；

n（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

（23）（本题满分10分）

设A为3阶矩阵，1,2为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足A323， （1）证明1,2,3线性无关； （2）令P1,2,3，求PAP.

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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、选择题 (1)【答案】D

【详解】因为f(0)f(1)f(2)0，由罗尔定理知至少有1(0,1)，2(1,2)使f(1)f(2)0，所以f(x)至少有两个零点. 又f(x)中含有因子x，故x0也是f(x)的零点， D正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】

a0axf(x)dxxdf(x)xf(x)0f(x)dxaf(a)f(x)dx

000aaa其中af(a)是矩形ABOC面积，积．

本题的难度值为0.829.

(3)【答案】D

a0f(x)dx为曲边梯形ABOD的面积，所以xf(x)dx为曲边三角形的面

0a【详解】由微分方程的通解中含有e、cos2x、sin2x知齐次线性方程所对应的特征方程有根

xr1,r2i，所以特征方程为(r1)(r2i)(r2i)0，即r3r24r40. 故以已知函数为通解的

微分方程是yyy40 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A

【详解】x0,x1时f(x)无定义，故x0,x1是函数的间断点

f(x)lim因为 limx0x0lnx11xlimlim x0x0cscx|x1|cscxcotxsin2xxlimlim0

x0xcosxx0cosxf(x)0 同理 limx0又 limf(x)limx1x1lnx1limsinxlimx1sin1sin1 x1x1x所以 x0是可去间断点，x1是跳跃间断点.

本题的难度值为0.486.

(5)【答案】B

【详解】因为f(x)在(,)内单调有界，且{xn}单调. 所以{f(xn)}单调且有界. 故{f(xn)}一定存在

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极限.

本题的难度值为0.537. (6)【答案】A

【详解】用极坐标得 Fu,v所以

Dfu2v2u2v2dudvdv0vuf(r2)r1rdrvf(r2)dr

1uFvfu2 u本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C

【详解】(EA)(EAA2)EA3E，(EA)(EAA2)EA3E 故EA,EA均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D

12【详解】记D，

21则ED122122214，又EA14 121所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值.

又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2

2sin2[xf(x)2]2sin2[xf(x)2]f(x)【详解】lim limlim22x2x0x0x0xf(x)[xf(x)2]4(e1)f(x)1cos[xf(x)]11limf(x)f(0)1 2x02所以 f(0)2 本题的难度值为0.828. (10)【答案】x(exC)

2x【详解】微分方程yxedxxdy0可变形为

dyyxex dxx11dxdxxx1xxx所以 yexeedxCxxedxCx(eC)

x本题的难度值为0.617.

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(11)【答案】yx1

11Fxdyyx【详解】设F(x,y)sin(xy)ln(yx)x，则，

1dxFyxcos(xy)yxycos(xy)将y(0)1代入得

dydx1，所以切线方程为y1x0，即yx1

x0本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6) 【详解】yx535x23y523101310(x2)xx 333x13101010(x1) yx13x4343999xx1时，y0；x0时，y不存在

在x1左右近旁y异号，在x0左右近旁y0，且y(1)6 故曲线的拐点为(1,6) 本题的难度值为0.501. (13)【答案】2(ln21) 2yx,v，则zuv xy【详解】设u所以

zzuzvy1vuv1(2)uvlnu xuxvxxyxyvylnuy uv2yxux所以

1y1ln yxz2(ln21)

x(1,2)2本题的难度值为0.575.

(14)【答案】-1

|A|236 |2A|23|A| 【详解】 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%

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1 23648  本题的难度值为0.839.

三、解答题 (15)【详解】 方法一：lim[sinxsin(sinx)]sinxsinxsin(sinx)lim

x0x0x4x312sinxcosxcos(sinx)cosx1cos(sinx)12 limlimlim222x0x0x03x3x3x6131333方法二：sinxxxo(x) sin(sinx)sinxsinxo(sinx)

66sin4xo(sin4x)1[sinxsin(sinx)]sinx limlim6 44x0x0x46xx本题的难度值为0.823. (16)【详解】

dx2tex0得exdx2tdt，积分并由条件xt0得ex1t2，即xln(1t2) dtdydydtln(1t2)2t 所以 (1t2)ln(1t2)

2tdxdxdt1t2d[(1t2)ln(1t2)]2dyddydt2tln(1t2)2t dx2tdx2dxdxdt1t2方法一：由

(1t2)[ln(1t2)1]

dx2tex0得exdx2tdt，积分并由条件xt0得ex1t2，即xln(1t2) dtdydydtln(1t2)2t 所以 (1t2)ln(1t2)exx

2tdxdxdt1t2方法二：由

d2yex(x1) 所以 2dx本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一：由于limx1x2arcsinx1x2，故1x2arcsinx1x20dx是反常积分.

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令arcsinxt，有xsint，t[0,2)

1x2arcsinx1x2220202tsintttcos2t2dx2costdt2tsintdt2()dt

000cost2220t 41tsin2t2tdsin2t40164212sin2tdt 402121cos2t 1681640方法二：

1x2arcsinx1x20112dxxd(arcsinx)2

2011122122x(arcsinx)x(arcsinx)dxx(arcsinx)2dx

00280 令arcsinxt，有xsint，t[0,2)

11222x(arcsinx)dxsin2tdttdcos2t 0002412221211(tcos2t)2tcos2tdt

4201640故，原式21 164本题的难度值为0.631.

(18)【详解】 曲线xy1将区域分成两

D1 个区域D1和D2D3，为了便于计算继续对 区域分割，最后为

maxxy,1dxdy

DD3 D2 xydxdydxdydxdy

D1D2D3O 0.5 2 x 222xdx1dy1dx1dy1dx1xydy

02120221x012ln2 1519ln2ln2 44本题的难度值为0.524.

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(19)【详解】旋转体的体积Vt0f(x)dx，侧面积S2f(x)1f2(x)dx，由题设条件知

20ty由分离变量法解得 ln(t0f(x)dxf(x)1f2(x)dx

02t22上式两端对t求导得 f(t)f(t)1f(t)， 即 yy21 y21Cte

y21)t1C， 即 y将y(0)1代入知C1，故yy21et，y1t(eet) 2于是所求函数为 yf(x)本题的难度值为0.497.

1xxe(e )2(20)【详解】(I) 设M与m是连续函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，即

mf(x)M x[a,b]

b由定积分性质，有 m(ba)af(x)dxM(ba)，即 mf()babaf(x)dxbaM

由连续函数介值定理，至少存在一点[a,b]，使得 即

f(x)dxba

baf(x)dxf()(ba)

(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]，使 又由

(x)dx()(32)()

23(2)x(d)x(，知) 23

23对(x)在[1,2][2,]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)，()(2)得

(1)(2)(1)210 112

(2)()(2)0 213

2在[1,2]上对导函数(x)应用拉格朗日中值定理，有

()本题的难度值为0.719. (21)【详解】

(2)(1)0 (1,2)(1,3)

21钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%

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方法一：作拉格朗日函数F(x,y,z,,)x2y2z2(x2y2z)(xyz4)

Fx2x2x0F2y2y0y 令 Fz2z0

Fx2y2z0Fxyz40 解方程组得(x1,y1,z1)(1,1,2),(x2,y2,z2)(2,2,8) 故所求的最大值为72，最小值为6.

方法二：问题可转化为求ux2y2x42x2y2y4在xyx2y24条件下的最值 设F(x,y,)ux4y42x2y2x2y2(xyx2y24)

Fx4x34xy22x(12x)032 令 Fy4y4xy2y(12y)0

Fxyx2y240 解得(x1,y1)(1,1),(x2,y2)(2,2)，代入zxy，得z12,z28 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：

222a1a22aAa22a12aa2a013a2014a30213a2a212aa212a

01r2ar1212an1rnarn1n2a1(n1)an3a4a(n1)a(n1)an 23n证法二：记Dn|A|，下面用数学归纳法证明Dn(n1)a．

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n 当n1时，D12a，结论成立． 当n2时，D22a12，结论成立． 3a2a2a假设结论对小于n的情况成立．将Dn按第1行展开得

a20 Dn2aDn112aa212a1a212a

2aDn1a2Dn22anan1a2(n1)an2(n1)an

n故 |A |(n1)a证法三：记Dn|A|，将其按第一列展开得 Dn2aDn1a2Dn2， 所以 DnaDn1aDn1a2Dn2a(Dn1aDn2)

a2(Dn2aDn3)an2(D2aD1)an

即 DnanaDn1ana(an1aDn2)2ana2Dn2

(n2)anan2D2(n1)anan1D1 (n1)anan12a(n1)an

n(II)因为方程组有唯一解，所以由AxB知A0，又A(n1)a，故a0．

由克莱姆法则，将Dn的第1列换成b，得行列式为

1112aa212anna22aa212aa212aa212a(n1)(n1)Dn1nan1

02a 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%

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所以 x1Dn1n Dn(n1)a(III)方程组有无穷多解，由A0，有a0，则方程组为

01x11x0120

x01n100xn0此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1，所以方程组有无穷多解，其通解为 k10000100,k为任意常数．

本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)

证法一：假设1,2,3线性相关．因为1,2分别属于不同特征值的特征向量，故1,2线性无关，则3可由1,2线性表出，不妨设3l11l22，其中l1,l2不全为零(若l1,l2同时为0，则3为0，由A323可知20，而特征向量都是非0向量，矛盾)

TTA11,A22

A3232l11l22，又A3A(l11l22)l11l22 l11l222l11l22，整理得：2l1120

则1,2线性相关，矛盾. 所以，1,2,3线性无关.

证法二：设存在数k1,k2,k3，使得k11k22k330 (1)

用A左乘(1)的两边并由A11,A22得

k11(k2k3)2k330 (2)

(1)—(2)得 2k11k320 (3)

因为1,2是A的属于不同特征值的特征向量，所以1,2线性无关，从而k1k30，代入(1)

得k220，又由于20，所以k20，故1,2,3线性无关.

(II) 记P(1,2,3)，则P可逆，

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APA(1,2,3)(A1,A2,A3)(1,2,23)

100100(1,2,3)011P011

0010011001所以 PAP011.

001本题的难度值为0.272.

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