第３０卷第５期 山西大同大学学报（自然科学版） Ｖ０ｌ３Ｏ．Ｎｏ．５ ２０１４年ｌ０月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ０ｃｔ ２０１４ 文章编号：１６７４一Ｏ８７４（２Ｏ１４）０５—００１８—０２ Ｓ一半置换子群对群 幂零性的影响 高建玲 （山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同０３７００９） 摘要：群Ｇ的子群日称为 一半置换的，若对任意的ｐｌｌＧＩ，只要（Ｐ，ＩＨＩ）＝Ｉ，就有Ｐ肛 ，其中Ｐ∈Ｓｙｌｐ（Ｇ）。讨论ｓｙ— ｌｏｗ－－￣群的极大子群及导群的ｓ一半置换性对有限群ｐ一幂零性的影响。 关键词：ｓ一半置换子群；极大子群；导群；ｐ一幂零群； 中图分类号：Ｏ １５２ 文献标识码：Ａ 近年来，有很多学者运用子群的ｓ一半置换性质 幂零群，矛盾。从而０ 一ｆＧ）＝１。 来研究有限群的结构，获得了一些很好的结果，见 ２）若 为Ｇ的真子群，且Ｐ Ｍ＜Ｇ，则Ｍ为Ｐ一幂 文献［１—５］。 零群。 就Ｓｙｌｏｗ子群的极大子群及导群的ｓ一半置换性 易见， （Ｐ）ｓⅣｃ（Ｐ），由引理２（１）可知， 满足题 进行讨论，得到有限群为ｐ一幂零群的一些充分条 设条件，由Ｇ的极小性可知， 为Ｐ一幂零群。 件。 ３） （ ≠１且 （ （ ） （Ｇ）。 引理１ｔ 对于Ｇ的任意ｐ一子群Ｐ，如果Ｎ Ｇ，且 由文献［８］可知，因为Ｇ为非ｐ一幂零群，所以存 （ＩＮＩ，ｐ）＝１。则Ｎｃ￣（ＰＮ／Ｎ）＝Ｎｃ（Ｐ）Ｎ／Ｎ。 在日是Ｐ的非平凡特征子群，使得 （ 为非ｐ一幂零 引理２川设日为有限群Ｇ的ｓ一半置换子群。 群。由于Ｐ ⅣＧ㈣，如果肌㈣＜Ｇ，由（２）知 ㈣为 １）如果日 Ｇ，则日在 中ｓ一半置换。 ｐ一幂零群。矛盾。从而 ㈣＝Ｇ。所以有Ｄ Ｇ）≠ ２）如果日为ｐ一群，Ｎ Ｇ，则ＨＮ／Ｎ在Ｇ／Ｎ中ｓ一半 １。因Ⅳ （Ｐ （Ｇ）／（）Ｐ（ ）＝Ⅳｃ（Ｐ） （Ｇ）／ （Ｇ）且（Ｐ／ 置换。 （）ｐ（ ），．Ｐ （ ／ （ ，所以ＣｌＯｄ（Ｃ）满足题设条 ３）设１Ｔ为素数集合， 为Ｇ的１Ｔ一子群且Ⅳ为Ｇ 件。由Ｇ的极小性可知，ＣｌＯｄ（Ｃ）为ｐ一幂零群。由 的正规竹 一子群，则ＨＮ／Ｎ为Ｇ／Ｎ的Ｓ一半置换子群。 ［６，第Ｖ章，习题６］可得Ｃ （（）Ｐ（ ） （）Ｐ（ 。 引理３ｔ。１设Ⅳ为群Ｇ的可解正规子群。如果Ｇ ４）Ｇ＝ＰＱ。 的含于Ⅳ的极小正规子群不含于 （Ｇ），则Ⅳ的Ｆｉｔ． 因ＣｌＯｄ（Ｃ）为ｐ一幂零群，所以Ｇ为Ｐ一可解群。因 ｔｉｎｇ子群Ｆ 为Ｇ的含于Ⅳ的极小正规子群的直积。 此对任意ｑ∈１Ｔ（Ｇ），ｑ≠ｐ，存在Ｑ∈Ｓｙｌ （Ｇ）使得ＰＱ＝ 定理１设Ｐ为ＩＧｌ的素因子，如果存在Ｐ ｅ Ｓｙｌｐ（Ｇ） ＱＰ。若ＰＱ＜Ｇ，由（２）知，ＰＱ为ｐ一幂零群，所以Ｑ 使得Ｐ的每个极大子群在ⅣｃｆＰ）中ｓ一半置换且Ｐ 在 Ｃ （Ｄ （Ｇ））与（３）矛盾。 Ｇ中ｓ一半置换，则Ｇ为Ｐ一幂零群。 ５）Ｄ （Ｇ）为Ｇ的唯一的极小正规子群。 证明假设定理不真，Ｇ为极小阶反例。分七步 因０ （ ≠１，所以可取Ｇ的极小正规子群 使 证明定理： 得Ⅳ ０ （Ｇ）。显然，Ｇ／Ｎ满足定理条件。再由Ｇ的 １）０ ，（ ＝１。 极小性可知Ｇ／Ｎ为Ｐ一幂零群。又所有的ｐ一幂零群 如果０ ，（Ｇ）≠１，考虑商群Ｇ／Ｏ ，（Ｇ）。由引理１ 组成的群系为饱和群系，所以可设』ｖ为Ｇ的唯一的 知，Ⅳ ，（Ｇ）（ＰＯ ，（（；）／０，一（ ）＝ ；（Ｐ）Ｏ （Ｇ）／０ ，（ 。 极小正规子群且Ｎ （ 。由引理３，有Ｄ （Ｇ）＝Ⅳ为 且（Ｐ ０，，（ ／０ ，（ ），－Ｐ ０ ｒ（Ｇ）／０ ，（ 。由引理２ 初等交换Ｐ一群。 （３）知，Ｇ／Ｏ ，（Ｇ）满足定理条件。再由Ｇ的极小性知， ６） （Ｇ） Ｐ 。 Ｇ／Ｏ ，（Ｇ）为ｐ一幂零群。因此可设Ｈ／Ｏ ，（Ｇ）为Ｃ，／Ｏ 因为Ｃ。（ （ ）冬 （ ，所以Ｚ（Ｐ） （ 。从而 （Ｇ）的正规ｐ－￥ｂ，则 为Ｇ的正规Ｐ一补，所以Ｇ为Ｐ一 有１≠Ｚ（Ｐ）ｎ Ｐ ｓ （Ｇ）ｎ Ｐ Ｑ Ｐ Ｑ。另一方面， 收稿日期：２０１４—０６—１５ 作者简介：高建玲（１９８１一），女，山西朔州人，硕士，讲师，研究方向：群论。 ２０１４年 高建玲：ｓ一半置换子群对群ｐ－幂零性的影响 ‘１９‘ （Ｇ） Ｇ，由Ｆｒａｔｔｉｎｉ论断知Ｇ＝肮（Ｑ） （ ，因此Ｐ＝ （Ｇ）Ｐ ，其中Ｐ 是Ｎｏ（Ｑ）的一个Ｓｙｌｏｗｐ－子群。又Ｐ。 正规化 （Ｇ）ｎ Ｐ Ｑ， （Ｇ）正规化 （Ｇ）ｎ Ｐ Ｑ，因此 （Ｇ）ｎ Ｐ Ｑ （）Ｐ（６３Ｐ－＝Ｐ，所以 （ ｎ Ｐ Ｑ Ｇ。从 零群。如果存在Ｐ Ｓｙｌｐ（Ｈ）使得Ｐ的每个极大子群 在肌（尸１中ｓ一半置换且Ｐ 在Ｇ中ｓ一半置换，则Ｇ为 ｐ一幂零群。 证明对ｌＧＩ用归纳法。 而有 （ （）Ｐ（（；）ｎ Ｐ Ｑ。因此 （Ｇ） Ｐ 。 （尸），ＱＯｐ（Ｇ）为 由条件知Ｐ的每个极大子群在Ｍ（尸）中ｓ一半置 ７１得出矛盾。 由于Ｑ （Ｇ）ｎ Ｐ＝ （Ｇ） Ｐ ｐ一幂零群。所以ＱＯ，（Ｇ）＝Ｑｘ （Ｇ）与（３）矛盾。 由此可见，极小阶反例不存在。因此Ｇ为ｐ一幂 换且Ｐ 在Ｈ中 一半置换，由定理１知日为ｐ一幂零 群。因此设Ｈ的正规ｐ一补为 ，，则 ， Ｇ。分两 种情况证明： １）如果 ，＝１且Ｈ＝Ｐ为ｐ一群。设Ｇ／Ｈ的正规Ｐ一 零群。 推论１如果对ＩＧｌ的任意素因子Ｐ，都存在Ｐ Ｓｖｌ （Ｇ）使得Ｐ的每个极大子群在肌 ）中ｓ一半置换且Ｐ 补为Ｋ／Ｈ。由Ｓｃｈｕｒ—Ｚａｓｓｅｎｈａｕｓ定理知，必定存在Ｋ 的ｐ＇－Ｈａｌｌ子群 ，使得 删。由定理１知， 为Ｐ一 幂零群。又Ｋ的正规Ｐ一补即为Ｇ的正规Ｐ一补，故Ｇ 为ｐ一幂零群。 ２）如果 ，≠１，则由引理１及引理２（３）知Ｇ／ ， 在Ｇ中ｓ一半置换，则Ｇ为超可解群。 证明由定理１知，对ＩＧｌ的任意素因子Ｐ，都有Ｇ 为ｐ一幂零群。所以Ｇ为幂零群。因此有Ｇ为超可 解群。 满足题设条件。由归纳假设得， 群。故Ｇ为Ｐ一幂零群。 因此，Ｇ为ｐ一幂零群。 ，为ｐ一幂零 推论２设Ｐ为ｌＧＩ的素因子，Ｈ Ｇ且Ｇ／Ｈ为ｐ一幂 参考文献： ［１】Ｚｈａｎｇ Ｑｉｎｈａｉ．Ｏｎ ｓ—ｓｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ａｂｎｏｒｍａｌｉｔｙ ｉｎ ｉｆｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ【ＪＪ．Ｃｏｍｍ Ａｌｇ．，１９９９，２７（９）：４５ １５—４５２４． ［２】张勤海，Ｙ－ｇｆｆ芳．ｓ一半置换子群对有限群结构的影响［Ｊ】．数学学报，２００５，４８（１）：８１—８８． 【３ｌＺ￣ｇ芳．子群的置换性质对有限群结构的影响［Ｄ】．广９－１，１：中山大学，２００６． 【４］Ｗａｎｇ Ｌｉ￣ｎｇ，Ｗａｎｇ Ｙａｎｍｉｎｇ．Ｏｎ Ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ ｍａｘｉｍａｌ ａｎｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ Ｓｙｌｏｗ Ｐ—ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｉｆｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］ Ｃｏｍｍ Ａｌｇ，２００６，３４：１４３—１４９． 【５］６建玲，王丽芳．ｐ一幂零群的若干充分条件ｆＪ］．数学研究，２００８，４１（２）：１６３—１６７ 【６］徐明曜，有限群导引（上册）［Ｍ］．第二版．北京：科学出版社，２００１：５９—６０． 【７］Ｃｈｅｎ Ｚｈｏｎｇｍｕ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｃｈｕｒ－Ｚａｓｓｅｎｈａｕｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ（ＰＲＣ），１９９８，ｌ８（３）：２９０—２９４． 【８］Ｔｈｏｍｐｓｏｎ Ｊ Ｇ．Ｎｏｎｓｏｖｌｖａｂｌｅ ｉｆｎｉｔｅ ｒｏｇｕｐｓ ａｌｌ ｏｆ ｗｈｏｓｅ ｌｏｃａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ａｒｅ ｓｏｌｖａｂｌｅ Ｉ【Ｊ］．Ｂｕｌｌ Ａｍｅｒ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９８６，７４：１０４—１０９． Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ Ｓ－。ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ Ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｎ Ｐ＿。ｎｉｌｐｏｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｆｉｎｉｔｅ Ｇｒｏｕｐｓ ＧＡＯ Ｊｉａｎ——ｌｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｔｏｎｇ，Ｓｈａｎｘｉ，０３７００９） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｓｕｂｇｒｏｕｐ Ｈ ｏｆ ａ ｉｆｎｉｔｅ ｒｏｕｐ Ｇ ｇｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ ｗｉｔｈ ｅｖｅｒｙ Ｓｙｌｏｗ ｐ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｇ ｗｉｔｈ （Ｐ，ＩＨＩ）＝Ｉ．Ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｉｆｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ ｏｎ ｉｔｓ ｐ－ｎｉｌｐｏｔｅｎｃｅ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ．ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｉｔｙ ｏｆ ｍａｘｉｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ Ｓｙｌｏｗ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｄｅｒｉｖｅｄ ｓｕｂｇｒｏｕｐ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ；ｍａｘｉｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ；ｄｅｒｉｖｅｄ ｓｕｂｇｒｏｕｐ；ｐ－ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｇｒｏｕｐｓ ［责任编辑高海］
