【备战高考】2019年高考数学一轮复习第3章第1节《导数的概念及运算》

2019年高考数学一轮复习 第3章导数及其应用

第1节导数的概念及运算

考试要求：

1.了解导数概念的实际背景．

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．

1

3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.

知识梳理，自主学习

一、基础知识梳理

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limf（x0＋Δx）－f（x0）

＝

x0Δx

ΔyΔy

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝x0Δxx0Δx

limf（x0＋Δx）－f（x0）. x0Δxlim(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝lim的导函数.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x 导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos__x f（x＋Δx）－f（x）

称为函数y＝f(x)在开区间内

x0Δx

f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1) 4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′(x)＝－sin__x f′(x)＝ex f′(x)＝axln__a 1f′(x)＝x 1f′(x)＝xln a f′（x）g（x）－f（x）g′（x）f（x）

′＝(3)(g(x)≠0).

[g（x）]2g（x）5.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.

★★★知识拓展提升★★★ 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 2.求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中f（x）′＝“＋”“－”号记混，如出现如下错误：g（x）f′（x）g（x）＋f（x）g′（x），(cos x)′＝sin x. [g（x）]23.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 4.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 二、双基自测训练

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × )

(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．( × )

2.函数y＝xcos x－sin x的导数为( ) A.xsin x C.xcos x

B.－xsin x D.－xcos x

解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cosx－xsin x－cos x＝－xsin x. 答案 B

πsin x

3.(选修2－2P18A7改编)曲线y＝x在x＝2处的切线方程为( )

2

A.y＝0 B.y＝

π

444

C.y＝－2x＋ D.y＝2x

πππ解析 ∵y′＝

xcos x－sin x4π

，∴y′|＝－2＝2， x

xπ2

π2

当x＝时，y＝，

2π∴切线方程为y－答案 C

4.设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________. 解析 f′(x)＝－2答案 －3

5.(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.

1

解析 f(1)＝a，切点为(1，a).f′(x)＝a－x，则切线的斜率为f′(1)＝a－1，切线方程为：y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y轴上的截距为1. 答案 1

24π44＝－2x－，即y＝－2x＋. 2ππππ

22

－2sin 2x，所以f′(0)＝－3. 3－2x

考点突破，深度剖析

考点一 导数的运算 【例1】求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； xx

(2)y＝sin 2(1－2cos24)； cos x(3)y＝ex； (4)y＝ln

2x－1

. 2x＋1

解 (1)进行积的导数计算很烦琐，故先展开再求导.因为y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， 所以y′＝3x2＋12x＋11.

xx1

(2)因为y＝sin2－cos 2＝－2sin x，



111

所以y′＝－2sin x′＝－2(sin x)′＝－2cos x.

（cos x）′e－cos x（e）′cos x

(3)y′＝ex′＝ （ex）2sin x＋cos x＝－.

ex2x－112x－1

′＝′＝ (4)y′＝ln

2x－12x＋12x＋1

2x＋1

2x＋1（2x－1）′（2x＋1）－（2x－1）（2x＋1）′4

＝. 2（2x＋1）22x－14x－1

规律方法 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错. 2.(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导. (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元. x

x

【训练1】分别求下列函数的导数： 11

(1)y＝exln x；(2)y＝xx2＋x＋x3；



xx

(3)y＝x－sin2cos2；(4)y＝ln1＋2x. 1

解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·x 1

＝exln x＋x.



12(2)∵y＝x3＋1＋x2，∴y′＝3x2－x3. 11

(3)∵y＝x－2sin x，∴y′＝1－2cos x. 1

(4)∵y＝ln1＋2x＝2ln(1＋2x)， 111

∴y′＝2··(1＋2x)′＝. 1＋2x1＋2x考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度1 求切线的方程

【例2－1】 (1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( ) A.1 C.2

B.－1 D.－2

2x＋1

，则曲线x＋1

(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________. 解析 (1)由f(x＋1)＝

2x＋12x－11

，知f(x)＝x＝2－x. x＋1

1

∴f′(x)＝2，且f′(1)＝1.

x

由导数的几何意义，所求切线的斜率k＝1. (2)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x， 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.

因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.

则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案 (1)A (2)2x－y＝0 命题角度2 求参数的值

【例2－2】 (1)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( ) A.1

B.2

C.－1

D.－2

2－cos xπ

(2)(2018·长郡中学调研)设曲线y＝sin x在点，2处的切线与直线x＋ay＋1

2＝0垂直，则a＝____________.

y0＝x0＋1，

11

(1)设切点为(x0，y0)，y′＝，所以有x＋a＝1，解得

x＋a0

y0＝ln（x0＋a），

解析

x0＝－1，

y0＝0， a＝2.

（2－cos x）′sin x－（2－cos x）（sin x）′

sin2x

1－2cos x＝sin2x，

2－cos xπ

则曲线y＝sin x在点，2处的切线的斜率为k1＝1.

2

1

因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－a， (2)y′＝

又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直， 所以k1k2＝－1，解得a＝1. 答案 (1)B (2)1 命题角度3 求切点坐标

x21

【例2－3】 (1)(2017·郑州月考)已知曲线y＝4－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A.3 C.1

B.2 1

D.2

1

(2)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝x(x>0)上点P处的切线垂直，则P

的坐标为________.

解析 (1)设切点的横坐标为x0(x0>0)， x21

∵曲线y＝4－3ln x的一条切线的斜率为2，

x3x031

∴y′＝2－x，即2－x＝2，

0

解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，

∴曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.

111

设P(x0，y0)(x0>0)，∵函数y＝x的导函数为y′＝－x2，∴曲线y＝x(x>0)在点P处1

的切线的斜率k2＝－x2，

0

1－x2＝－1，解得x2由题意知k1k2＝－1，即1·0＝1，又x0>0，∴x0＝1. 01

又∵点P在曲线y＝x(x>0)上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)

规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 1【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x＋x在点(1，2)处的切线方程为________.

2

(2)(2018·开封模拟)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，2] C.(2，＋∞)

B.(－∞，2) D.(0，＋∞)

1解析 (1)设y＝f(x)，则f′(x)＝2x－x2， 所以f′(1)＝2－1＝1，

所以在(1，2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1)，

即y＝x＋1.

(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解.

11∴f′(x)＝x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－x.

1

因为x＞0，所以2－x＜2，所以a的取值范围是(－∞，2). 答案 (1)y＝x＋1 (2)B

思想方法

求曲线的切线方程

典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值． 错解展示：

现场纠错

解 易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上． (1)当O(0,0)是切点时，

由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，

即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.

y＝2x，由得x2－2x＋a＝0， 2

y＝x＋a，

依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.

2(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x30－3x0

＋2x0，ky|xx0＝3x20－6x0＋2，① y0又k＝＝x2－3x0＋2，②

x00

31

联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，

24

故直线l的方程为y＝－1

4x.

由y＝－14x，

得x2＋1

y＝x2＋a，

4

x＋a＝0，

依题意知Δ＝116－4a＝0，得a＝164. 综上，a＝1或a＝1

64

. 纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.

自我检测，夯实智能

一、选择题

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( ) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)

答案 C

解析 f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a) ＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．

2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(

答案 C

解析 原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增； 当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，

故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.

)

3．(2017·西安质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A．(1,3) C．(1,3)或(－1,3) 答案 C

解析 f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.

4．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a等于( ) A．0 C．2 答案 D

1解析 ∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln(x

x＋1＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D.

B．1 D．3 B．(－1,3) D．(1，－3)

5.(2018·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( ) A.f(x)＝3cos x

B.f(x)＝x3＋x2 D.f(x)＝ex＋x

C.f(x)＝1＋sin 2x

解析 A选项中，f′(x)＝－3sin x，其图象不关于y轴对称，排除A选项；B选1

项中，f′(x)＝3x＋2x，其图象的对称轴为x＝－3，排除B选项；C选项中，

2

f′(x)＝2cos 2x，其图象关于y轴对称；D选项中，f′(x)＝ex＋1，其图象不关于y轴对称. 答案 C

6.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于( ) A.－e C.1

B.－1 D.e

1解析 由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 答案 B

7.(2018·广西五市联考)已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝( )

e－1A.e

B.

2e－1e e－1 C.2e 2e－1D.2e 解析 ∵y′＝aex＋1，∴切线的斜率为y′|x＝1＝ae＋1，又切线与直线2ex－y－1＝2e－1

0平行，∴ae＋1＝2e，解得a＝e. 答案 B

17

8.已知f(x)＝ln x，g(x)＝2x2＋mx＋2(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( ) A.－1

B.－3

C.－4

D.－2

解析 ∵f′(x)＝1x，

∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1. 又f(1)＝0，

∴直线l的方程为y＝x－1，

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1， 又因为y17

0＝22x0＋mx0

＋2(m<0). 解得m＝－2. 答案 D

9.(2018·四川名校一模)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A.0解析 f′(2)，f′(3)表示曲线y＝f(x)在点A，B处切线的斜率，又f(3)－f(2)＝f（3）－f（2）3－2表示直线AB的斜率.

所以015

10.若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋4x－9(a≠0)都相切，则a的值为( ) 25

A.－1或－64 725C.－4或－64

21

B.－1或4 7

D.－4或7

解析 由y＝x3得y′＝3x2，设曲线y＝x3上任意一点(x0，x30)处的切线方程为y－33x0＝3x20(x－x0)，将(1，0)代入得x0＝0或x0＝. 2

y＝0，215①当x0＝0时，切线方程为y＝0，由得ax＋4x－9＝0， 152

y＝ax＋x－9425152

Δ＝4＋4·a·9＝0得a＝－64. 32727②当x0＝2时，切线方程为y＝4x－4，

2727y＝4x－4，9由得ax2－3x－4＝0，

152

y＝ax＋4x－9

9

Δ＝32＋4·a·4＝0得a＝－1.

25

综上①②知，a＝－1或a＝－64. 答案 A 二、填空题

11.(2018·鹰潭一模)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________.

解析 ∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2，9). 答案 (－2，9)

ex12.曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________.

x－1

ex（x－1）－exex（x－2）

解析 f′(x)＝＝，所以曲线在x＝0处的切线的斜率为k

（x－1）2（x－1）2＝f′(0)＝－2，又f(0)＝－1，则所求的切线方程为y＋1＝－2x，即2x＋y＋1＝0. 答案 2x＋y＋1＝0

13.曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________. 11

解析 y′＝xln 2，∴k＝ln 2，

1

∴切线方程为y＝ln 2(x－1).

111

∴三角形面积S＝2×1×ln 2＝2ln 2.

1

答案 2ln 2 14.(一题多解)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

1

解析 法一 ∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋x，y′|x＝1＝2.

∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. ∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， ∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行). y＝2x－1，由消去y，得ax2＋ax＋2＝0. 2

y＝ax＋（a＋2）x＋1由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 法二 同法一得切线方程为y＝2x－1.

2

设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax0＋(a＋2)x0＋1).

∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2). 1x0＝－，2ax0＋（a＋2）＝2，2 由2解得ax0＋（a＋2）x0＋1＝2x0－1，a＝8.答案 8

15．(2018·成都质检)已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示． (1)若f(1)＝1，则f(－1)＝；

(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为．(用“<”连接)

答案 (1)1 (2)h(0)解析 (1)由图可得f′(x)＝x，g′(x)＝x2， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝x， g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2， 11

故a＝，b＝0，d＝，e＝m＝0，

2311

所以f(x)＝x2＋c，g(x)＝x3＋n，

231

由f(1)＝1，得c＝，

211

则f(x)＝x2＋，故f(－1)＝1.

2211

(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋c－n，

235

则有h(－1)＝＋c－n，h(0)＝c－n，

61

h(1)＝＋c－n，故h(0)6

三、解答题

16.求下列函数的导数. 1

(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋x； π

(3)y＝sin2x＋；(4)y＝ln(2x－5).

3解 (1)y′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x.

1111(2)y′＝ln x＋x′＝(ln x)′＋x′＝x－x2. 

π

(3)设u＝2x＋3，则y＝sin u，

π

则y′＝(sin u)′·u′＝cos2x＋·2，

3

π

∴y′＝2cos2x＋.

3(4)令u＝2x－5，则y＝ln u，

122

·2＝，即y′＝. 2x－52x－52x－5

2

17.已知函数f(x)＝x－x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0).若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x则y′＝(ln u)′·u′＝

＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线. 2a

解 根据题意有f′(x)＝1＋x2，g′(x)＝－x. 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3， 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a， 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1). 所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0. 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)， 所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线.

18.(2018·新乡调研)已知函数f(x)＝ex－x2＋2ax.

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围. 解 (1)∵f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e， 又f(1)＝e＋1，

∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)， 即ex－y＋1＝0. (2)f′(x)＝ex－2x＋2a，

∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立， exex∴a≥x－2在R上恒成立，令g(x)＝x－2，

ex

则g′(x)＝1－2，令g′(x)＝0，则x＝ln 2， 在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0； 在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，

∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减， ∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1， ∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).