三年高考(2016-2018)(文)真题分类解析：专题06-导数的几何意义

考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度 1.导数概念1.了解导数概念实际背景 Ⅱ 与几何意义 2.理解导数几何意义 1.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x,y=x,y=23选择题、 填空题 ★★★ 选择题、 Ⅲ 解答题 2.导数运算 导数 2.能利用基本初等函数导数公式和导数四则运算法则求简单函数导数 本部分主要是对导数概念及其运算考查,以导数运算公式和运算法则为基础,以导数几何意义为重点.

1.导数几何意义最常见是求过曲线上某点切线斜率、方程、斜率与倾斜角关系、切点坐标,或以平行、垂直直线斜率间关系为载体求字母取值等.

2.导数运算是每年必考内容,一般不单独考查,而在考查导数应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.

3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.

2018年高考全景展示 1.【2018年新课标I卷文】设函数

处切线方程为

A.

B.

C.

D.

．若

为奇函数，则曲线

在点

【答案】D

【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得斜率，进而求得切线方程.

，进而得到

解析式，再对

求导得出切线

点睛：该题考查是有关曲线

在某个点

处切线方程问题，在求解过程中，首先需要确

定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应参数值，之后利用求导公式求得果.

2．【2018年天津卷文】已知函数f(x)=exlnx，【答案】e

【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由函数解析式可得：则：

.即

值为e.

，

为f(x)导函数，则

值为__________．

，借助于导数几何意义，结合直线方程点斜式求得结

点睛：本题主要考查导数运算法则，基本初等函数导数公式等知识，意在考查学生转化能力和计算求解能力.

3．【2018年全国卷II文】曲线【答案】y=2x–2

在点

处切线方程为__________．

点睛：求曲线在某点处切线方程步骤：①求出函数在该点处导数值即为切线斜率；②写出切线点斜式方程；③化简整理. 4．【2018年天津卷文】设函数列. （I）若

求曲线

在点

处切线方程；

，其中

,且

是公差为等差数

（II）若，求极值； 与直线

；极小值为−6

有三个互异公共点，求d取值范围. ；(Ⅲ)

=−1，可得切线方程为x+y=0.

=0，解得x= t2−.

，

（III）若曲线

【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ)极大值为6

【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得f(x)=x3−x，=3x2−1，结合f(0)=0，

（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t23+9t2.则或x= t2+

.据此可得函数f(x)极大值为f(t2−

)=6

= 3x2−6t2x+3t22−9.令

)=−6

；函数极小值为f(t2+

（III）原问题等价于关于x方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6可得u3+(1−d2)u+6可得取值范围是

=0.设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6

=0有三个互异实数解，令u= x−t2，

，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)性质

详解：（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故线y=f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y−f(0)=（Ⅱ）由已知可得

=3x2−1，因此f(0)=0，

=−1，又因为曲

(x−0)，故所求切线方程为x+y=0．

f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2． 故

=3x2−6t2x+3t22−9．令

=0，解得x=t2−

，或x=t2+

．

当x变化时，x f(x) ，f(x)变化如下表： (−∞，t2−+ ↗ )=(−) t2−0 极大值 )3−9×(−

(t2−− ↘ )=6

，t2+) t2+0 极小值 ；函数f(x)极小值为f(t2+

)=( (t2++ ↗ )3−9×(

)=−6

．

，+∞) 所以函数f(x)极大值为f(t2−

若

即

，也就是

，此时

，，从而由

在区间

所以，取值范围是

内各有一个零点，符合题意．

．

且

单调性，可知函数

点睛：导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效工具，而函数是高中数学中重要知识点，所以在历届高考中，对导数应用考查都非常突出 ，本专题在高考中命题方向及命题角度 从高考来看，对导数应用考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数最值(极值)，解决生活中优化问题． (4)考查数形结合思想应用． 5.【2018年文北京卷】设函数（Ⅰ）若曲线（Ⅱ）若

在

在点

处切线斜率为0，求a；

.

处取得极小值，求a取值范围.

，构建等量关系

，解方程可得参数值；（2）对分

及

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）【解析】分析：（1）求导

两种情况进行分类讨论，通过研究详解：

变化情况可得取得极值可能，进而可求参数取值范围.

（1）当a=0时，令x ∴

在x=1处取得极大值，不合题意.

得

.①当

无极值，不合题意.

随x变化情况如下表： 1 0 极大值 − ↘ ，即a=1时，

，

+ ↗ 得x=1.

随x变化情况如下表：

1 0 极大值 − ↘ （2）当a>0时，令∴②当x + ↗ 在上单调递增，∴

，即0∴③当

0 极小值 + ↗ 在x=1处取得极大值，不合题意.

，即a>1时，

随x变化情况如下表：

x + ↗ 0 极大值 − ↘ 0 极小值 + ↗ ∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.

得

.

随x变化情况如下表：

0 极大值 .

− ↘ （3）当a<0时，令x − ↘ 0 极小值 + ↗ ∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a取值范围为

点睛：导数类问题是高考数学中必考题，也是压轴题，主要考查形式有以下四个：①考查导数几何意义，涉及求曲线切线方程问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数极值最值问题；④关于不等式恒成立问题.

解题时需要注意有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论思想，要做到不重不漏；③不等式恒成立问题属于高考中难点，要注意问题转换等价性.

2017年高考全景展示 21.【2017课标1，文14】曲线yx1在点（1，2）处切线方程为______________． x【答案】yx1 【解析】

试题分析：设yf(x) 则f(x)2x1，所以f(1)211 2x所以在(1,2)处切线方程为y21(x1)，即yx1 【考点】导数几何意义

【名师点睛】求曲线切线方程是导数重要应用之一，用导数求切线方程关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率，其求法为：设P(x0,y0)是曲线yf(x)上一点，则以P切点切线方程为：

yy0f'(x0)(xx0)．若曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))切线平行于y轴（即导数不存在）时，

由切线定义知，切线方程为xx0．

2.【2017天津，文10】已知aR，设函数f(x)axlnx图象在点（1，f(1)）处切线为l，则l在y轴上截距为 . 【答案】1 【解析】

【考点】导数几何意义

【名师点睛】本题考查了导数几何意义，属于基础题型，函数fx在点x0处导数fx0几何意义是曲线yfx在点Px0,y0处切线斜率．相应地，切线方程为yy0fx0xx0．注意：求曲线切线时，要分清在点P处切线与过点P切线不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.

3.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数fx(I)当a=2时,求曲线yfx在点3,f3处切线方程；

(II)设函数gxfxxacosxsinx,讨论gx单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

【答案】(I)3xy90,（2）(II)⑴a0无极值；⑵a0极大值为⑶a0极大值为a,极小值为【解析】

试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由gx(xa)(xsinx),通过讨

1312xax,aR., 3213asina,极小值为a； 613asina. 6论确定gx单调性,再由单调性确定极值. 试题解析：（I）由题意f'(x)x2ax，

所以，当a2时，f(3)0，f'(x)x22x， 所以f'(3)3，

因此，曲线yf(x)在点(3,f(3))处切线方程是y3(x3)， 即3xy90.

（1）当a0时，g(x)(xa)(xsinx)，

'当x(,a)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增；

'当x(a,0)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递减；

'当x(0,)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增.

'所以，当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.

'（2）当a0时，g(x)x(xsinx)，

13asina， 6当x(,)时，g'(x)0，g(x)单调递增；

所以，g(x)在(,)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.

【考点】导数几何意义及导数应用

4.【2017北京，文20】已知函数f(x)excosxx． （Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,]上最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)y1；（Ⅱ）最大值1；最小值【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据导数几何意义，求斜率再代入切线方程公式yf0f0x0；（Ⅱ）设hxfx，求hx，根据hx0确定函数hx单调性，根据单调减求函数最大值

π22.

h00，可以知道hxfx0恒成立，所以函数fx是单调递减函数，根据单调性求最

值.

试题解析：（Ⅰ）因为f(x)excosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1,f(0)0. 又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,f(0))处切线方程为y1.

【考点】1.导数几何意义；2.利用导数求函数最值.

【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为fx不能判断函数单调性，所以需要再求一次导数，设hxfx ，再求hx，一般这时就可求得函数hx零点，或是hx恒成立，这样就能知道函数hx单调性，根据单调性求最值，从而判断yfx单调性，求得最值.

2016年高考全景展示 1.【2016高考四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)= lnx,0x1,图象上点P1，P2处切线，

lnx,x1,l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB面积取值范围是( ) (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 【解析】

试题分析：设P，则由导数几何意义易得切1x1,lnx1,P2x2,lnx2（不妨设x11,0x21）线l1,l2斜率分别为k1111,k2.由已知得k1k21,x1x21,x2.切线l1方程分x1x2x1别为ylnx1分

别

令

111ylnxxx，切线方程为，即lxxylnxxx.111222x1x2x1得

x0A0,1lnx1,B0,1lnx1.x11,SPAB又

l1与

l2交点为

2x11x12P,lnx1.221x11x1选A.

12x11x12yAyBxP1,0SPAB1，故2221x11x1考点：1.导数几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程应用；4.三角形面积取值范围.

【名师点睛】本题首先考查导数几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点关系，同时得出切线方程，从而得点A,B坐标，由两直线相交得出P点坐标，从而求得面积，题中把面积用x1表示后，可得它取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题一种基本方法，朴实而基础，简单而实用． 2.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知fx为偶函数，当x0 时，f(x)e在(1,2)

处切线方程式_____________________________. 【答案】y2x 【解析】

x1x，则曲线yfx

考点：1、函数奇偶性；2、解析式；3、导数几何意义．

【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当x0时，函数yf(x)，则当x0时，求函数解析式”．有如下结论：若函数f(x)为偶函数，则当x0时，函数解析式为yf(x)；若f(x)为奇函数，则函数解析式为yf(x)．

3.【2016高考新课标2文数】已知函数f(x)(x1)lnxa(x1). （I）当a4时，求曲线yf(x)在1,f(1)处切线方程； （Ⅱ）若当x1,时，f(x)＞0，求a取值范围. 【答案】（Ⅰ）2xy20；（Ⅱ）,2. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数定义域，再求f(x)，f(1)，f(1)，由直线方程得点斜式可求曲线yf(x)在(1,f(1))处切线方程为2xy20.（Ⅱ）构造新函数g(x)lnx论，用导数法求解.

a(x1)，对实数a分类讨x1

（i）当a2，x(1,)时，x2(1a)x1x2x10 ，

22故g(x)0,g(x)在x(1,)上单调递增，因此g(x)0；

（ii）当a2时，令g(x)0得x1a1(a1)1,x2a1(a1)1， 由x21和x1x21得x11，

故当x(1,x2)时，g(x)0，g(x)在x(1,x2)单调递减，因此g(x)0. 综上，a取值范围是,2. 考点： 导数几何意义，函数单调性.

22【名师点睛】求函数单调区间方法： (1)确定函数y＝f(x)定义域； (2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内部分为单调递减区间．