教育时空 Ｉ■ Ｃｈｉｎａ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌ ｏｇｙ Ｒｅｖｉ ｅｗ 变系数广义ＫｄＶ方程的精确类孤子解 李俊焕郑一 （青岛理工大学理学院 青岛 ２６６０３３） ［摘 要］本文主要研究了变系数广义ＫｄＶ方程的精确解。利用一种函数变换将变系数ＫｄＶ方程约化为非线性常微分方程，借助于Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件求 出该类方程的几种精确解。通过数值实例说明了方法的有效性，为变系数ＫｄＶ方程在自然科学领域的应用提供了理论依据。 ［关键词］变系数ＫｄＶ方程函数变换类孤子解 中图分类号：０１７５．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—９１４Ｘ（２０１０）０７—００５８ ０２ １引言 近几十年来，随着现代科学技术的不断进步，非线性科学得到了迅速 的发展，逐渐成为了自然科学领域的前沿学科。非线性问题，尤其是非线性 数学物理方程精确解的求法已经成为人们重点研究的课题。然而在研究偏微 分方程时，最初被人们接触和熟知的是常系数非线性发展方程，但有些只是 ‘现实问题中非线性的近似化。为了把问题研究得更深入、更彻底，人们逐渐 地把视线转移到非线性变系数发展方程的研究上，随之变系数方程的应用及 其解的研究引起了人们的高度关注。而非线性， 义ＫｄＶ方程由于有实际的应 用背景日益受到重视和广泛的研究，如具有高次非线性项的广义ＫｄＶ方程ｌ ｌＨ｝ｑ－￣＇ｕ ＋８ｔ｜ ：ｏ。Ｐ＞ｏ 该方程是描述非线性波传播的一个重要模型，它源于对浅水波的描述。 并出现在流体力学及物理学的其它领域中。当Ｐ＝ｌ时，上述方程就成为著 名的ＫｄＶ方程 １１ ＋ ｌｆｚＩ ＋ ｆ＝０ 一人们对这类方程的解已经进行了探究。另外，人们还对一些广义ＫｄＶ 方程的初值问题进行了广泛的研究，如方程 Ｉｔ ＋ｆｌ（Ｏｕ ＋（＂ ） ＋ｚ ：（１ｚｆ 初值问题的涉入对进一步研究方程的解起到了很大的作用。除此之外， 还对方程的边值、补边值ｒ”的研究进～步得到了方程解的一些性质。为了能 得到交系数广义ＫｄＶ更精确的解，人们提出了许多求解方法。目前，对于求 解变系数非线性方程的方法概括起来主要有：齐次平衡法，变系数分析法， Ｊ ａ ｃ ｏ ｂｉ椭圆函数展开法，推广的Ｆ 展开法，辅助方程法，对称群， Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换，双曲正切函数展开法 等。文献 应用行波法，由一个 椭圆方程得到了ＫｄＶ方程的椭圆余弦波的周期解，该方法具有普遍性。文献 基于齐次平衡法和Ｔａｎｈ函数法，得到简单有效的求解非线性发展方程的 双函数法，即把方程的孤波解表示成ｆ和ｇ的多项式来求解。本文受文献 ｍｆ 和…］的启发，首先通过引入一种函数变换把变系数ＫｄＶ方程约化为非线性常 微分方程，然后借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件很方便、快捷地求得这个非线性常微 分方程的类孤子解。与已有的文献相比较，该方法探究了一类更具代表性的 广义ＫｄＶ方程的精确解，结果更具有一般性。此方法还可以用来求解其它的 非线性方程。本文所用方法对此类方程进行求解还没有发现有相同的报道。 ２变系数广义ｇｄＶ方程的精确解 本文将讨论变系数ＫｄＶ方程 ＋２Ｐ（Ｏ－＋（ ）十ｆｌ（ｔ）ｘ）ｕ 一３ｃＴ（ｔ）ｔｍｚ＋７（ｔ）ｎ￣ｘ＝０ （１） 其中ａ（ｔ）ｆｌ（ｔ）．ｙ（ｔ）是ｔ的函数，ｃ是不为零的常数。当 ｒ ∽＝（１，，｛㈤：１），ｙ【ｒ）＝ｏ时，方程（１）是ＫｄＶ方程；当 （，）． （ｒ）．ｒ（ｔ） 是已知函数时，方程（１）是具有损耗项和非线性项的一般Ｋｄｖ方程，而 （ ） 为线性系数，ｆｌ（ｔ｝为浅滩效应系数，ｙ【ｒ）为频散系数。 对以上变系数广义ＫｄＶ方程（１），设其解的形式如下 ｕ（ｘ， ）＝ ｆ（ｔ）ｔｔ （ ）＋ｇ（ｔ）Ｈ （ｒ），ｆ＝ｐ【，） ＋ｑ０） （２） 其中 （ｒ），．， （，），ｇ（，），ｐ（０，ｑ（ｔ）为待定函数。由（２）式对ｘ，ｔ分别求 导，可得 ｌ Ｈ ）＋２ｆ（ｔ）Ｈ（ｒ）Ｈ （ｒＸｐ，ｘＴ吼） ｇ，Ｈ （ｒ）＋ｇ（ｔ）Ｈ （ｆ）（ （， ＋ｇ（，）） 乜＝２，’（，） ， （ｒ （ｒ）十ｇ（ＯＰ（ＯＨ （ｒ） ｔｉｌｌ ＝２ｆ （ｆ） “） （ｒ）Ｈ （ｒ）＋ｆｑ （ｆ） （ ）日 （ｆ）日 （ｒ） ＋２ｆ（ｔ）ｇ（ｆ）ｐ（ｆ）日（ｒ （ｒ）＋ｇ：（ｒ）ｐ（，１日’（ｆ）珂 （ｆ） “ ＝２ｆ（ｔ）ｐ （ｒ）【３日 （ｒ） （ｆ）】＋ｇ（ｆ） （ｔ）ｔｔ ｐ） 将以上各式代入方程（１），可得 ５８ ｉ科技博览 ， 十２ｆｌ（ｔ）ｎ＋ （，） ∥【ｒ） ～３ｃ７（ｔ）ｔ． ＋ｙｔ拙 ：Ｌｆｔｔ）＋２ｆｌ（ｔ） ，’（ｒＩ （ｆＩ＋（≥ （ｒ）ｐ（ｎ＋≥厂（ｆ）ｐ（ ） （０） （ｆ、 （Ｏｘ 【２ｆ（ｔ）《ｆ｛ｔ ｔ ｚｙ’‘ｆ） 【ｒ） （ｆ）） ｔｒ） （ｒ）十（岛 ２ｆｌ（ｔ）ｇ（ｔ））Ｈ （ｆ） ｝《ｇ（ｆ｝ ）＋ｆｌ（ｔ）ｇ（ｔ）ｐ（ｔ））Ｈ （ｆ ＋（６ （¨ ｆ（ｔ）ｐ （ｆ）一 （ｆｌ｝ｇ。（ｆ）ｐ（ ）） ｆ） ．（ｆ） ６ （０ＩＩ。（ｒ）ｔＩ （ｆ）～３ （ｎｇ｛ｎⅣ （ｒ）Ⅳ （ｆ）一６ ’（ｎｇ（ｎⅣ ） （ｆ） ＋２ｊ’（ ｐ。（ｒ） （ｆ）Ｈ （ｆ）＋ｇ（ｔ）ｐ （ｎ日 （ｆ）：０ ０） 为了求出方程（３）的解，可令 （∞十２ｌｆ（ｔ）ｆ（ｔ）：０ ＝ （ｆ） ∽＋２ｆ（ｔ）ｐ（ｔ）ｆｌ（ｔ）＝０ （ｓ） ２ｆ（ｔ）ｑ，（ｔ）｝２ｆ（ｔ）ｐ（ｔ）ｒｚ（ｔ）＝０ （６） ＆（ ＋２ｆｌ（ｔ）ｇ（ｔ）＝０ （Ｊ７） ６ｙ（ｔ）．ｆ（ｔ）ｐ （Ｄ一３ｃｙ（ｔ）ｇ （ ｐ（ｆ）＝Ｏ 回 ～６ （，）Ｈ 扣）日 （ｆ）一３ ｛ ｇ【ｆ）日。（ｆ （ｒ）一６ｃｆ（ｔ）ｇ（ｔ）Ｈ（ｖ）Ｈ’ （ｆ） ＋２ｆ（ｔ）ｐ （ｎ （ｆ）日 ０）＋ｇ（ｔ）ｐ （｝） １４ｉ（ｒ）＝０ （９） 对方程（４），（５），（７），积分可得 ／（ｆ）＝Ａｌｅ。： “ ０ｏ） ｇ（，）＝Ａ，．ｅ－２ ａ１） （，）＝ ｅ一 ㈣ 将（１２）式代入方程（６）可得 ｇ（，）＝一Ａ ｆ“（，） ” ｄ，十 （１３） 其中Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ是常数。 而由方程（８）可得 譬‘（，） 所以有 一掣 Ｇ４） 再将（４）至（８）式都代八方程（３）可得 ６ｃＡ ｆｆ） （ｆ）一ｋ气 ｛ｆ） ｌｆ卜氏 ．｛２ ｛ｒ｜Ｈ Ｉｆ）＋２４ ｛ｆ） ｌｆ） ＋ ２ Ｈ“ （砷：０ （１ ５） 针对方程（１５）的解，我们进行如下分析： 情形１设方程（１５）有如下形式的解 （ｆ）＝ｔａｎｈ（ｒ） （１６） 将（Ｉ６）式代入方程（ｉ５），并借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，令ｔｏｒｔｈ （ｆ ＝ｌＩ．３，５） 的系数为零，可得 ｆ３。｛ ＋。《一４４ 一８Ａ：Ａ ＝０ ｛ｆ ３ ＋９。 ＋２。 一１２Ｉ｛一 一２ ： ＝０ （１７） ３￡ ＋６ｃ４． 一８ ｛。＋ —１２ 十（ ＝０ 求解方程组（１７）可得 萼 ｊｆ ｊＣ （… １８） ６Ａ；－２－４ ２ＩＡ； （１９） ： ３ ＿＿教育时空 啊生 Ｃ Ｉ ：、：一兰：ｌ上 Ｃ （２Ｏ） — 堑ｃＩ ｌ 将（１６），（１８），（１９），（２Ｏ）式以及（１０）至（１４）式都代入（２）可得方程（１）的３ 个精确解。因此得到如下定理１。 定理１变系数ＫｄＶ方程 【ｌｔ＋２ｐ（ｔ）ｕ七０ Ｌｆ１＋ｆｌ（ｔ）ｘ、“ 一３ｃＴ（ｔ）ｔｍ ＋７（ｔ）ｕｍ：０ 具有如下形式的３个精确类孤子解： ｚ （ ）＝【ｃ ．：‘！：ｉ．．： ）ｔ ｎｈＺ（ｐ（ｔ）ｘ＋ｑ（ｔ））４・ ！：： ：－：； 】。一２ Ｊｍ 。：【（＿５．￣－４ｉｉＡ：）ｔａｎｈｚ（ｐ（ｔ）ｘ＋ｑ（ｔ））＋塑 。 ｑ ４ （ ）：一毒ｅ ． 其中 巾） ｃ－ｆ ” ）：一４ ｆ （，）ｅ一 ｄ ４ 情形２ 设方程（１５）如下形式的解 Ｈ！｛ｒ）＝ｃｏｔｈ（￣） （２１） 将（２１）式代入（１５），并借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，令‘：‘Ｊｌｈ 【ｒ Ｊ（ ＝ｌ ３ ５１的系数为 零，可得 ３（ ＋６。 ． ＋８４。譬－２０ ＋２ｅ－ －４４ ＝０ ３“ ＋２ ｛ 《一８Ｊ 譬＋ｃ 一２ ＝。 （２２） ３咀 一６“ －Ｌ－６４ 《＋１２ ４ ＋ｏ 一２４ ＝ｏ 求解方程组（２２）可得： ：等 ：ｃ ｃ （２３） ４＝ ＝ 一６Ａ 一２√ ３ｃ （ ４Ｊ ２４ Ｃ （２ 将式（１０）至（１４），（２１） （２３）至（２５）都代入方程（２），可得方程（１）的精 确解。因此得到如下定理２。 定理２变系数ＫｄＶ万 ｝ｆ，＋２ｆｌ（ｔ）ｕ＋（ｏｔ（ｔ）＋ （，） ） 一３ｃ？（ｔ）ｕｕ ＋ ）“～＝０ 还具有如下形式的３个精确类孤子解： （ ，，）＝ｆｃ：：： ，Ｚ—喾 ／２．）ｔ ｎｈ （ 【，） ＋ｇ（ｒ））＋： ： ２—：；ｊｉ巫】ｅ一２』 ）ｍ “ ｆｃ尘亟３Ａ）ｔａｎｈ ２（ｐ（ｔ）ｘ＋ｑ（ｔ））＋挚 －２刖 【孚 ｈ ．２（ｐ（ｔ）ｘ＋ｐ（ｔ））＋争ｅ－２ｐ 其中 ｐ（ｆ）＝．七ｅ ｑ㈩＝一 ）ｅ一 ｄ 情形３ 当方程（１ ５）的解形如 （ｆ）＝ｓｉｎｈ（ｒ） 。（ ＝ｃｏｓｈ（ｆ）时，同理可 得出原方程的类孤子解。由于篇幅问题此处略。 ３数值实例及分析 由上述解的形式可知，利用这种函数变换得出了方程（１）的解的一般形 式，而各类解析解可以通过变系数数 （，Ｊ， （ｒ），，，（，）来控制其具体形式。 例ｌ当 （，）＝卢（，】：，（，）＝ｓｉｎ（ｒ）时，方程（１）的解为 ｕ（ｘ．，）＝『Ｂ１ ｔａｎｈ（２ ４ ｅ 。 ＋ ）＋髓１ｅ 其中Ｂ ，Ｂ 为常数。 将得到钟型孤立波解，如图ｌ所示。 图１ 变系数ＫｄＶ方程的钟型孤立波解 例２当ｃｔ（ｔ）＝ （，）＝ｙ（，）＝ 时，方程（１）的解为 ｆ ，．Ｉ ｔａａｈ（ ＋ ）＋（’２ ｕ（ｘ，『１＝—————— ＿———一 ｔ 其中Ｃ．，Ｃ 为常数。 将得到近似精确解，如图２所示 图２变系数ＫｄＶ方程的近似精确解 ４结语 利用一种函数变换将变系数广义ＫｄＶ方程约化为非线性常微分方程，再 利用这个常微分方程获得了变系数ＫｄＶ方程的若干精确类孤子解。此方法研 究的变系数ＫｄＶ方程具有一般性，可将这种方法推广应用到更复杂的非线性 方程，为方程的实际应用提供理论依据。精确解的工程应用问题以及加入 初值、边界条件等问题都值得进一步深入研究。 参考文献 ［１］唐吕英，王瑞琦，井竹君．具有高阶非线性项的广义ＫｄＶ方程的 孤立波及其分支［Ｊ］．中国科学：Ａ级，２００２，３２（５）：３９８—４０９． ［２］张领海．广义非线性Ｋｏｒｔｅｗｅｇ—ｄｅ Ｖｒｌｅｓ方程初值问题解的衰变估 计［Ｊ］．数学年刊，１９９５，１６（１）：２２ ３１． ［３］郑镇汉，姚正安．一类非线性耗色散方程解的Ｂ１ＯＷ ｕｐ［Ｊ］．数学 理论与应用，２００９，２９（１）：６６ ６９． ［４］Ｈｉｌｍｉ Ｄｅｍｉｒａｙ．Ａ ｃｏｍｐｌｅｘ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ．ＳｅｉｅｎｃｅＤｉｒｅｃｔ，２００５，３４４（５）：４１８—４２２． １５］ Ａ．Ｍ．Ｗａｚｗａｚ，Ｔｈｅ ｔａｎｈ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｒａｖｅ１ｉｎｇ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．Ｃｏｍｐｕｔｅ．２００４，１５４（３）：７ｌ３— ７２３． ［６］ Ｓ．Ａ．Ｅｌ Ｗａｋｉ ｌ ａｎｄ Ｍ．Ａ．Ａｂｄｏｕ，Ｎｅｗ ｅｘａｃｔ ｔｒａｖｅ１ ｉｎｇ ｗａｖｅ ＳＯｌｕｔｉｏｎｓ ｕｓｉｎｇ ｍｏｄｉｆｌｅｄ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔａｎｈ—ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，Ｃｈａｏｓ， Ｓｏｌｉｔｏｎｓ ａｎｄ Ｆｒａｃｔａｌ Ｓ。２００７，３１（４）：８４０ ８５２． １７］ Ａ．Ｍ．Ｗａｚｗａｚ，Ｔｈｅ ｔａｎｈ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｒａｖｅ１ｉｎｇ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎ１ｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．Ｃｏｍｐｕｔｅ．２００７，ｌ８７（２）：１ｌ３１ １１４２． ［８］韩家烨，徐勇，陈良，刘艳美，赵宗彦．Ｋｄｖ方程的精确解析 解［Ｊ］．安徽大学学报，２００２，２６（３）：４４—５０． ［９］关伟，张鸿庆．求解非线性方程的双函数法［Ｊ］．高校应用数学学 报，２００１，１６（２）：１６３—１６８． ［１０］包永梅，斯仁道尔吉．变系数ＫｄＶ方程的精确类孤子解［Ｊ］．内蒙 古大学学报，２００８，３９（５）：４８８－４９３． ［１１］闫振亚，张鸿庆．具有三个任意函数的变系数ＫｄＶ ｍＫｄＶ方程的精 确孤子解［Ｊ］，物理学报，１９９９，４８（１１）：１９５７—１９６Ｉ． 科技博览Ｉ ５９