一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若tanα＜0，cosα＜0，则α的终边所有的象限为（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．计算sin45°cos15°+cos45°sin15°=（ ） A．
B．
C． D．，cos
3．若点（sinA．
B．
）在角α的终边上，则sinα的值为（ ）
C． D．
4．若tanα=3，则A．2
B．3
C．4
的值等于（ ） D．6
为定值，且a4=2，则a2a6等于（ ） D．16
5．在数列{an}中，若A．32 B．4
C．8
6．在等差数列{an}中，已知a1+a5+a9=3，则数列{an}的前9项和S9=（ ） A．9
B．15 C．18 D．24
7．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），则=（ ） A．2：3
B．4：3
C．3：1
D．3：2
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
9．若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
10．数列{an}满足an+an+1=（n∈N*），a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21
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为（ ） A．5
B． C． D．
11．在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于（ ）
A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣1 12．b＞0，已知实数a＞0，若A．
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13．sin15°cos165°= ．
14．已知实数1＜a＜2，3＜b＜4，则的取值范围是 ． 15．已知数列{an}的通项公式n= ．
16．若不等式﹣2≤x2﹣2ax+a≤0有唯一解，则a的值为 ．
三、解答题（17题10分，其他题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知
，
．
，则数列{an}的项取最大值时，
是4a与2b的等比中项，则下列不对的说法是（ ）
B．0＜b＜1 C． D．
（1）求tanα的值； （2）求
的值．
18．在等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设
，求b1+b2+b3+…+b10的值．
19．B，C所对的边分别为a，b，c，在△ABC中，角A，已知acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求角C的大小；
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（2）若a=5，b=8，求边c的长．
20．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值． 21．在数列{an}中，a1=，an+1=（Ⅰ）证明{
．
}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn．
22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b． （1）求角A的大小；
（2）若a2=3bc，求tanB的值．
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2016-2017学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若tanα＜0，cosα＜0，则α的终边所有的象限为（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】GC：三角函数值的符号．
【分析】根据题意，利用四个象限三角函数的符号，分析可得若tanα＜0，角α的终边在第二、四象限；cosα＜0，角α的终边在第二、三象限，以及x负半轴，综合即可的答案．
【解答】解：根据题意，若tanα＜0，角α的终边在第二、四象限； cosα＜0，角α的终边在第二、三象限，以及x负半轴． 所以角α的终边在第二象限； 故选：B．
2．计算sin45°cos15°+cos45°sin15°=（ ） A．
B．
C． D．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】利用两角和与差的正弦公式求得答案．
【解答】解：sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin（45°+15°）=sin60°=故选D．
3．若点（sinA．
B．
，cos
）在角α的终边上，则sinα的值为（ ）
，
C． D．
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【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值． 【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=故选：A．
4．若tanα=3，则A．2
B．3
C．4
的值等于（ ） D．6
，
，cos
）即（，
），
【考点】GS：二倍角的正弦；GK：弦切互化．
【分析】利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tanα的值代入即可． 【解答】解：故选D
5．在数列{an}中，若A．32 B．4
C．8
为定值，且a4=2，则a2a6等于（ ） D．16 =
=2tanα=6
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】由条件和等比数列的定义判断出：数列{an}是等比数列，由条件和等比数列的性质求出a2a6的值． 【解答】解：由
为定值，得数列{an}是等比数列，
∵a4=2，∴a2a6=a42=4， 故选B．
6．在等差数列{an}中，已知a1+a5+a9=3，则数列{an}的前9项和S9=（ ） A．9
B．15 C．18 D．24
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式与性质即可得出．
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【解答】解：∵a1+a5+a9=3=3a5，∴a5=1． 则数列{an}的前9项和S9=故选：A．
7．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），则=（ ） A．2：3
B．4：3
C．3：1
D．3：2 =9a5=9．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得3sinA=sinC，进而利用正弦定理可求的值． 【解答】解：∵3bcosC=c（1﹣3cosB），
∴由正弦定理可得：3sinBcosC=sinC﹣3sinCcosB， ∴3sinBcosC+3sinCcosB=3sin（B+C）=3sinA=sinC， ∴3a=c，即： =3：1． 故选：C．
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36 【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】利用a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论． 【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•∴a4=2．
∵a4与2a7的等差中项为， ∴a4 +2a7 =，
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=a1•a4，
故有a7 =． ∴q3=
=，
∴q=， ∴a1=
=16．
∴S5=故选：B．
=31．
9．若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【考点】GZ：三角形的形状判断．
【分析】由题意和和差角公式易得sin（A﹣B）=0，进而可得A=B，可判△ABC为等腰三角形．
【解答】解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC， ∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B）， ∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinAcosB﹣cosAsinB=0， ∴sin（A﹣B）=0， ∴A﹣B=0，即A=B， ∴△ABC为等腰三角形， 故选：C．
10．数列{an}满足an+an+1=（n∈N*），a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为（ ）
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A．5 B． C． D．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】由数列递推式依次求出数列的前几项，得到数列{an}的所有奇数项项为，所有偶数项为2，结合an+an+1=得答案． 【解答】解：由an+an+1=（n∈N*），a2=2，得
，
∴数列{an}的所有奇数项项为∴故选：B．
11．在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于（ ）
A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣1 【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】根据数列{an}为等比可设出an的通项公式，因数列{an+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出sn． 【解答】解：因数列{an}为等比，则an=2qn﹣1， 因数列{an+1}也是等比数列， 则（an+1+1）2=（an+1）（an+2+1） ∴an+12+2an+1=anan+2+an+an+2 ∴an+an+2=2an+1 ∴an（1+q2﹣2q）=0 ∴q=1 即an=2， 所以sn=2n， 故选C．
第8页（共16页）
…，
，所有偶数项为2，
．
12．b＞0，已知实数a＞0，若A．
是4a与2b的等比中项，则下列不对的说法是（ ）
B．0＜b＜1 C． D．
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】利用等比中项定义得4a•2b=2，利用指数性质及运算法则得2a+b=1，由此能求出结果．
【解答】解：∵实数a＞0，b＞0，∴4a•2b=2，∴2a+b=1， ∴0＜a＜，0＜b＜1，
，
是4a与2b的等比中项，
3a+b=a+（2a+b）=a+1∈（1，）， 故A，B，C均正确，D错误． 故选：D．
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上） 13．sin15°cos165°=
．
【考点】GS：二倍角的正弦．
【分析】直接利诱导公式以及二倍角公式化简求解即可． 【解答】解：sin15°cos165°=﹣sin15°cos15°=﹣sin30°=故答案为：
14．已知实数1＜a＜2，3＜b＜4，则的取值范围是 【考点】7C：简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可． 【解答】解：实数1＜a＜2，3＜b＜4，表示的可行域如图：
．
．
．
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的几何意义是：可行域内的点与坐标原点连线的斜率， 由图形可知：OA的斜率最大，OB的斜率最小， kOA=，kOB=， 则的取值范围是：故答案为：
15．已知数列{an}的通项公式1或2 ．
【考点】82：数列的函数特性．
【分析】根据做商法，以及数列的函数特征即可求出． 【解答】解：∵
∴an+1=（n+3）•（）n+1，
，
，则数列{an}的项取最大值时，n=
．
．
∴===（1+）≥1，
解得n≤1， ∵
单调递减，∴当n=1或2时，an取得最大值．
故答案为：1或2
16．若不等式﹣2≤x2﹣2ax+a≤0有唯一解，则a的值为 0或1 ．
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【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】结合二次函数的性质知，不等式﹣2≤x2﹣2ax+a≤0有唯一解可化为x2﹣2ax+a=0有唯一解，从而解得．
【解答】解：∵不等式﹣2≤x2﹣2ax+a≤﹣1有唯一解， ∴x2﹣2ax+a=0有唯一解， 即△=（﹣2a）2﹣4a=0； 即a2﹣a=0； 解得，a=0或1； 故答案为：0或1．
三、解答题（17题10分，其他题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知
，
．
（1）求tanα的值； （2）求
的值．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】（1）由角的范围及同角三角函数基本关系式的应用可求cosα的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，利用（1）的结论即可计算求值．
【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵∴∴
（2）原式==
第11页（共16页）
，
，…
；…
=
，…
…
18．在等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设
，求b1+b2+b3+…+b10的值．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出． （2）利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知得
，
解得…
∴an=3+（n﹣1）×1，即an=n+2．… （2）由（1）知
，
=2046．…
∴b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210=
19．B，C所对的边分别为a，b，c，在△ABC中，角A，已知acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求角C的大小；
（2）若a=5，b=8，求边c的长．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出． （2）利用余弦定理即可得出．
【解答】解：（1）acosB+bcosA=2ccosC， ∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC ∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosC， sinC≠0，解得cosC=，C∈（0，π）， ∴C=
．
=49，
（2）由余弦定理可得：c2=52+82﹣2×5×8cos解得c=7．
第12页（共16页）
20．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值． 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）利用二倍角公式得到法定理得
（2）由余弦定理得
能求出△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，
．
∴∴
+
+
，
，
=
， ，故cosC=
∵0＜C＜π，∴C=
．
， =
，
=
，
，从而cosC=
+
=
．
，利用余弦加
，由此能求出C． ，从而
，由此
（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC， 得即∵
∴△ABC面积的最大值
21．在数列{an}中，a1=，an+1=
，
．
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（Ⅰ）证明{
}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn．
【考点】8E：数列的求和；8D：等比关系的确定． 【分析】（Ⅰ）由an+1=由等比数列通项公式可得
，得
，进而可得an；
，从而可判断{
}是等比数列，
（Ⅱ）利用错位相减法可求得Sn． 【解答】解：（Ⅰ）∵a1=，an+1=∴an＞0， ∴∴{∴（Ⅱ） Sn=∴
=
，又
，
，
}为首项为，公比为的等比数列，
，∴
； …①， …②，
﹣
①﹣②得：
=﹣，
∴∴
﹣．
，
22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b． （1）求角A的大小；
（2）若a2=3bc，求tanB的值． 【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）根据2acosC+c=2b，由正弦定理结合和角的正弦公式化简，即可求
第14页（共16页）
角A的大小； （2）由A=
及余弦定理得b2+c2﹣bc=a2=3bc，可得=2±
，再分类求解，即
可求tanB的值．
【解答】解：（1）∵2acosC+c=2b， ∴由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB =2sin（A+C）=2（sinAcosC+cosA sinC）， 即sinC（2cosA﹣1）=0． ∵sinC≠0， ∴cosA=， 从而得A=（2）由A=
；
及余弦定理得b2+c2﹣bc=a2=3bc，
即b2+c2﹣4bc=0， ∴=2±当=2+
， 时，
﹣B）=
=2+
，
， ．
cosB+sinB， ，
又sinC=sin（故=
=
∴tanB=﹣2﹣当=2﹣
时，同理得tanB=2﹣
或2﹣
综上所述，tan B=﹣2﹣
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2017年8月10日
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