(浙江专用)高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第六节指数与指数函数教案(含解析)

（浙江专用）高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第六

节指数与指数函数教案（含解析）

第六节 指数与指数函数

1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：

mna＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． n②负分数指数幂：

m11*a－＝＝(a＞0，m，n∈N，且n＞1)． nmnaamn③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aa＝arsrsr＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(a)＝a(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)＝ab(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指数函数的图象与性质

rrrrsy＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 值域 R (0，＋∞) 过定点(0,1) 性质 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 在区间(－∞，＋∞)上是增函数 [小题体验]

当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在区间(－∞，＋∞)上是减函数

610

1．计算[(－2)]－(－1)的结果为( )

2

A．－9 C．－10

B．7 D．9

13

解析：选B 原式＝26×－1＝2－1＝7.

22．函数f(x)＝3＋1的值域为( ) A．(－1，＋∞) C．(0,1)

xxx B．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

解析：选B ∵3＞0，∴3＋1＞1， 即函数f(x)＝3＋1的值域为(1，＋∞)．

x1x3．若函数f(x)＝a(a＞0，且a≠1)的图象经过点A2，，则f(－1)＝________.

3

答案：3

4．若指数函数f(x)＝(a－2)为减函数，则实数a的取值范围为________． 解析：∵f(x)＝(a－2)为减函数， ∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3. 答案：(2,3)

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

2．指数函数y＝a(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a＞1或0＜a＜1.

[小题纠偏]

1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)a＝(a)＝a.( )

(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．( ) 21

(3)(－1)＝(－1)＝－1.( )

42答案：(1)× (2)× (3)×

2．若函数y＝(a－1)在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________． 答案：(1,2)

xxxxnnnnmnmn

考点一 指数幂的化简与求值基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．化简与求值：

30－210.5

(1)2＋2·22－(0.01)； 54

215－2－1－32. (2)a3·b·÷32－3ab4a·b6

1111114212解：(1)原式＝1＋×－

49100

121

＝1＋×－

431011＝1＋－

61016＝. 15

5－3－3

(2)原式＝－a6b÷(4a3·b)2

2

5－35＝－a6b÷(a3b2)＝－a2·b2

44

11313121515ab＝－·＝－2. 44abab3

3

211

2．若x＋x－＝3，则2－2的值为________．

22x＋x＋3

x＋x－＋2

3

2

11－1

解析：由x＋x－＝3，得x＋x＋2＝9，

22所以x＋x＝7，所以x＋x＋2＝49， 所以x＋x＝47.

331131118＋22

因为x＋x－＝(x＋x－)－3(x＋x－)＝27－9＝18，所以原式＝＝.

22222247＋352答案： 5

[谨记通法]

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假

2

－2－1

2

－2

分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

考点二 指数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．函数y＝a－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )

x－1

11xx解析：选D 函数y＝a－是由函数y＝a的图象向下平移个单位长度得到的，所以A

aa11

项错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平

aa移距离大于1，所以C项错误．故选D.

2．已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|a－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．

解析：①当0＜a＜1时，作出函数y＝|a－2|的图象，如图a.若直线y＝3a与函数y2x＝|a－2|(0＜a＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a＜2，所以0＜a＜.

3

xx

②当a＞1时，作出函数y＝|a－2|的图象，如图b，若直线y＝3a与函数y＝|a－2|(axx2＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a＜2，此时无解．所以a的取值范围是0，.

3

2答案：0， 3

[由题悟法]

指数函数图象的画法及应用

－1，1. x(1)画指数函数y＝a(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，



a

(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

[即时应用]

1．函数f(x)＝1－e的图象大致是( )

|x|

解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．

2．已知f(x)＝|2－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有( ) A．a＜0，b＜0，c＜0 C．2＜2

x－a|x|

x B．a＜0，b＞0，c＞0 D．1＜2＋2＜2

acc解析：选D 作出函数f(x)＝|2－1|的图象如图所示，因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0,0＜c＜1，且|2

cacacaca－1|＞|2－1|，所以1－2＞2－1，则2＋2＜2，且2＋2＞1.故选D.

考点三 指数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]

高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小；

(2)简单指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质．

[题点全练]

角度一：比较指数式的大小

21b＝21，c＝31，则a，b，c的大小关系是( ) 1．(2018·杭州模拟)已知a＝，3252

33

A．a＞b＞c C．a＞c＞b

B．b＞a＞c D．c＞a＞b

231

解析：选A ∵＞，y＝x在(0，＋∞)上是增函数，

352

2131

∴b＝＞c＝，

3252

112x∵＜，y＝在R上是减函数， 323

2121∴a＝＞b＝，

3332

∴a＞b＞c.故选A.

角度二：简单指数方程或不等式的应用

2．(2018·湖州模拟)已知函数f(x)＝m·9－3，若存在非零实数x0，使得f(－x0)＝

xxf(x0)成立，则实数m的取值范围是( )

1A.，＋∞ 2

C．(0,2)

1B．0，

2

D．[2，＋∞)

解析：选B 由题意得到f(－x)＝f(x)， 所以m·9－3＝m·9－3， 整理得到：m＝

33

xx2

－x－xxx11＝＜， ＋1x12

3＋x3

又m＞0，

1

所以实数m的取值范围是0＜m＜，故选B.

2角度三：探究指数型函数的性质

3．已知函数f(x)＝b·a(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)试确定f(x)；

x1x1x(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

a

b

解：(1)∵f(x)＝b·a的图象过点A(1,6)，B(3,24)，

b·a＝6， ①∴3

b·a＝24， ②

2

x

②÷①得a＝4，又a＞0且a≠1， ∴a＝2，b＝3， ∴f(x)＝3·2.

x1x1x(2)由(1)知＋－m≥0

ab



1x1x在(－∞，1]上恒成立可转化为m≤＋

23在(－∞，1]上恒成立．

1x1x令g(x)＝＋，

23

则g(x)在(－∞，1]上单调递减， 115

∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，

236

5故所求实数m的取值范围是－∞，. 6

[通法在握]

应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略

题型 比较幂值的大小 求解策略 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解 与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致 解简单指数不等式 探究指数型函数的性质 [提醒] 在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

[演练冲关]

1．设a＝0.6，b＝0.6，c＝1.5，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＜b＜c C．b＜a＜c

x0.6

1.5

0.6

B．a＜c＜b D．b＜c＜a

1.5

0.6

0.6

解析：选C 因为函数y＝0.6在R上单调递减，所以b＝0.6＜a＝0.6＜1.又c＝1.5＞1，所以b＜a＜c.

0，x≤0，

2．(2019·金华模拟)设函数f(x)＝x－x2－2，x＞0，

则满足f(x－2)＞f(x)的x的

围

是

2

取值范

________________________________________________________________________．

解析：由题意x＞0时，f(x)单调递增，故f(x)＞f(0)＝0，而x≤0时，f(x)＝0， 故若f(x－2)＞f(x)，则x－2＞x，且x－2＞0， 解得x＞2或x＜－2.

答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)

2

2

2

12

3．函数f(x)＝－x＋2x＋1的单调减区间为________．

2

1u122

解析：设u＝－x＋2x＋1，∵y＝在R上为减函数，∴函数f(x)＝－x＋2x＋1

22

的减区间即为函数u＝－x＋2x＋1的增区间．又u＝－x＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴

2

2

f(x)的减区间为(－∞，1]．

答案：(－∞，1]

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

a4－8a133

b1．化简

÷31－2 b×3

a的结果是( )

4b22

a3＋23

ab＋a3

A．a B．b C．ab

D．ab2

a1a－8ba1－2b1

解析：选A 原式＝3÷331

4b23＋2a13b13＋a21×a3

3a3

a11121121

＝3a3－2b3a3＋2a3b3＋4b3a314b2112··a 3＋2a3b3＋a3a13－2b133

＝a13·a13·a1

3

＝a. 2．已知a＝(2)43，b＝225，c＝91

3，则a，b，c的大小关系是( A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a

D．c＜a＜b

解析：选A a＝(2)43＝212×43＝223，b＝225，c＝913＝32

3，

由函数y＝x2

3在(0，＋∞)上为增函数，得a＜c，

由函数y＝2x在R上为增函数，得a＞b， 综上得c＞a＞b.

3．(2018·丽水模拟)已知实数a，b满足12＞12a2b1

＞2＞4，则( A．b＜2b－a B．b＞2b－a C．a＜b－a

D．a＞b－a

解析：选B 由12＞12a

，得a＞1，

由12a＞2b22a2b2，得2＞2

，得2a＜b， 由

22b＞12b24

4，得2＞2

，得b＜4.

)

)

由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜2，

2∴1＜a＜2,2＜b＜4. 37

取a＝，b＝，得b－a＝

22有a＞b－a，排除C；

73

－＝2， 22

bb＞2b－a，排除A；

1139

取a＝，b＝得，b－a＝

1010有a＜b－a，排除D，故选B.

4．(2017·宁波期中)若指数函数f(x)的图象过点(－2,4)，则f(3)＝________；不等5

式f(x)＋f(－x)＜的解集为____________．

2

解析：设指数函数解析式为y＝a，因为指数函数f(x)的图象过点(－2,4)，所以4＝a－2

3911－＝ 101014， 5

x11x131

，解得a＝，所以指数函数解析式为y＝，所以f(3)＝＝；

2228

5151xx5x2

不等式f(x)＋f(－x)＜，即＋2＜，设2＝t，不等式化为＋t＜，所以2t－

22t22

11x5t＋2＜0解得＜t＜2，即＜2＜2，所以－1＜x＜1，所以不等式的解集为(－1,1)．

22

1

答案： (－1,1)

8

5．若函数f(x)＝a－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________. 解析：当a＞1时，f(x)＝a－1在[0,2]上为增函数， 则a－1＝2，∴a＝±3.又∵a＞1，∴a＝3. 当0＜a＜1时，f(x)＝a－1在[0,2]上为减函数， 又∵f(0)＝0≠2，∴0＜a＜1不成立． 综上可知，a＝3. 答案：3

二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2018·贵州适应性考试)函数y＝aA．(0,0) C．(－2,0)

xx＋2

x2

xx－1(a＞0且a≠1)的图象恒过的点是( )

B．(0，－1) D．(－2，－1)

解析：选C 法一：因为函数y＝a(a＞0，a≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝ax＋2

－1(a＞0，a≠1)的图象，所以y＝ax＋2

－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C正确．

法二：令x＋2＝0，x＝－2，得f(－2)＝a－1＝0，所以y＝a象恒过点(－2,0)，选项C正确．

2．已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k0x＋2

－1(a＞0，a≠1)的图

的图象可能是( )

解析：选B 由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0,0＜a＜1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k＞－1，所以－1＜k＜0.函数y＝a移－k个单位得到的，且函数y＝a所给的选项，故选B.

a， x＞1，

3．若函数f(x)＝

2－3ax＋1，x≤1

xx＋kx＋kx的图象可以看成把y＝a的图象向右平

是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合

是R上的减函数，则实数a的取值范围是

( )

2A.，1

323C.， 34

3B.，1 42D.，＋∞ 3

0＜a＜1，

解析：选C 依题意，a应满足2－3a＜0，

2－3a×1＋1≥a1，23

解得＜a≤.

34

1－2，x≥0，4．已知函数f(x)＝x2－1，x＜0，

－x

则函数f(x)是( )

A．偶函数，在[0，＋∞)单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减

解析：选C 易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2，－f(x)＝2－1，而－x＜0，则f(－x)＝2－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2－1，－f(x)＝1－2，而－x＞0，则f(－

－x－x－xxxx)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.

1－xx5．(2018·温州月考)若函数f(x)＝ae－e为奇函数，则f(x－1)＜e－的解集为

e( )

A．(－∞，0) C．(2，＋∞)

B．(－∞，2) D．(0，＋∞)

1x解析：选D 由于函数f(x)为R上奇函数，所以f(0)＝0⇒a＝1，所以f(x)＝x－e，

e1x由于e为增函数，而x为减函数，

e1x所以f(x)＝x－e是减函数，

e

11

又因为f(－1)＝e－，由f(x－1)＜e－可得f(x－1)＜f(－1)，x－1＞－1⇒x＞0，

ee故选D.

6．已知函数f(x)＝a(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是________．

－x1x－x解析：因为f(x)＝a＝，且f(－2)＞f(－3)，

a

所以函数f(x)在定义域上单调递增， 1

所以＞1，

a解得0＜a＜1. 答案：(0,1)

x＋1，0≤x＜1，

7．(2018·温州模拟)已知函数f(x)＝x1

2－，x≥1，2f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．

设a＞b≥0，若f(a)＝

1解析：依题意，在坐标平面内画出函数y＝f(x)的大致图象，结合图象可知b∈，1，

2bf(a)＝bf(b)＝b(b＋1)＝b2＋b∈，2.



3答案：，2

4

1212x＋a－2恒成立，则a的取值范围是________．

8．若不等式x＋ax＜221x解析：由指数函数的性质知y＝是减函数，

21212x＋a－2恒成立， 因为x＋ax＜22

3

4

所以x＋ax＞2x＋a－2恒成立， 所以x＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a－2)－4(－a＋2)＜0， 即(a－2)(a－2＋4)＜0， 即(a－2)(a＋2)＜0，

故有－2＜a＜2，即a的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2)

2

2

2

12

9．已知函数f(x)＝ax－4x＋3.

3

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

12

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x－4x＋3，

3

令g(x)＝－x－4x＋3，

2

1t由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单

3

调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

1g(x)2

(2)令g(x)＝ax－4x＋3，f(x)＝，

3

由于f(x)有最大值3， 所以g(x)应有最小值－1，

a＞0，

因此必有3a－4

＝－1，a

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知，

1g(x)

要使y＝的值域为(0，＋∞)．

3

应使g(x)＝ax－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)． 故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0. 10．已知函数f(x)＝a|x＋b|

2

(a＞0，b∈R)．

(1)若f(x)为偶函数，求b的值；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件． 解：(1)∵f(x)为偶函数，

∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)． 即a|x＋b|

＝a|－x＋b|

，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.

x＋b，x≥－b，

(2)记h(x)＝|x＋b|＝

－x－b，x＜－b.

①当a＞1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， ∴－b≤2，b≥－2.

②当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．

∴f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a＞1且b≥－2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2018·杭州模拟)已知定义在R上的函数g(x)＝2＋2＋|x|，则满足g(2x－1)＜

x－xg(3)的x的取值范围是________．

解析：∵g(x)＝2＋2＋|x|，∴g(－x)＝2＋2＋|－x|＝2＋2＋|x|＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，当x≥0时，g(x)＝2＋2＋x，则g′(x)＝(2－2)·ln 2＋1＞0，则函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g(2x－1)＜g(3)等价于g(|2x－1|)＜g(3)，∴|2x－1|＜3，即－3＜2x－1＜3，解得－1＜x＜2，即x的取值范围是(－1,2)．

答案：(－1,2)

－2＋b2．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．

2＋a(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t－2t)＋f(2t－k)＜0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数， －1＋b所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.

2＋a－2＋1

从而有f(x)＝x＋1.

2＋a1－＋12－2＋1

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

4＋a1＋a－2＋111

(2)由(1)知f(x)＝x＋1＝－＋x，

2＋222＋1

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t－2t)＋f(2t

2

2

2

2

x－xx－xx－xx－xx－xxxx

－k)＜0等价于f(t－2t)＜－f(2t－k)＝f(－2t＋k)．

因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t－2t＞－2t＋k. 即对一切t∈R有3t－2t－k＞0， 1

从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.

31故k的取值范围为－∞，－. 3

2

2

2

222