３８ 北方工业大学学报 第２Ｏ卷 ＋ａ１０ （７） （ ）一∑ｃｕ （ｎ。 ＋６ 干 ） Ｊ＝ｌ ＋ａ２ｏ （８） （ ）一∑６０Ｈ（ Ｏ．／＋ｂ３ ） ＋ａ３ｏ （９） 且 ）＝＝＝ ＝＝＝Ｒ（１＋ ） （１０） 其中￡一±ｌ， 一±１，Ｒ，ａ＂ｂｌ （ｉ一１，２，…， ）， ａｌＪ，ｂｌＪ（ 一１，２，…，ｍ），ａ１女，６１＾（忌＝１，２，…， ） 为待定常数． 通过平衡式（３）、（４）、（６）中的最高阶导数 项和非线性项，可知： ＝＝＝ｌ，ｍ一１。ｓ一１ 式（８）、（９）、（１０）可约化为： “（ ）一ａｌｏ＋ｎ】１叫 ＋６１１￣／ｅ（１＋舢。） （１１） （ ）＝ａｚｏ＋ａ２１ ｃｏ ＋ｂｚ１，／Ｅ（１＋删。） （１２） （ ）：：ａ３ｏ＋ａ３ｌｆｏ． ＋ｂ３１￣（１＋伽 ） （１３） 借助计算机代数系统和符号计算，由式（３）、 （４）、（６）、（１０）、（１１）、（１２）、（１３）整理可得： （２ａ１１ａ３ｏＲ一。ｌ１ｃＲ）十（２，ｕａ１１Ｒ ＋２ａｌ１ａ３ｌＲ ＋２６１１ｂ３１ ）∞＋（ ｌ１Ｒ ＋２ａ１ｌｂ３ｌＲ） √￡（１＋ 。）＋（２ １ｌａ３Ｃ）Ｒ一 １ｌｃＲ）∞ ＋２，ｕａ ３ｏｂｌ１Ｒ一 １１ｃＲ）（ （１十 ） ＋（２ ａＩ１Ｒ ＋２ ｌ１ｎ３１Ｒ＋２ 。ｂｌｌｂ３１Ｒ）ｏｏ。 ＋（２ 。ｂ１１Ｒ。＋２，ｕａ ３１ｂｎＲ＋２，ｕａ１１ｂ３１Ｒ） ・叫２√ｅ（１＋舢 ）一０ （１４） （以２ｌ ｃＲ一２ａ２ｌａ３。Ｒ）＋（２二 ２ｌＲ 一２ａ。ｌａ３１Ｒ 一２６２１ｂ３１ Ｒ）∞＋（ ２１Ｒ 一２ａ２１ｂ３ｉＲ） √ｅ（１＋ ）＋（ ２１ ～２，ｕａ ２１ａ３Ｃ Ｒ） ＋（ ２１ｃＲ一２ｐａ∞ｂ２１Ｒ）（ｔ以（１＋ 。） ＋（２／１ ａ２１Ｒ。一２ｐａ ２１ａ３１Ｒ一２ ｂ２１ｂ３１Ｒ） ＋（２ ｂ２１Ｒ。一２，ｕａ ３ｌｂｚｌＲ一２，ｕａ ２１ ６３１Ｒ） ・（Ｕ ￡（１＋脚。）一０ （１５） （ａｌ０＋ ２ｏ—ｄａ ３ｏ＋Ｃ１）＋（ｎ１１＋ａ２１一 ３１）叫 ＋（６ ＋ｂｚ１一ｄｂ。 ＿＝ｊ ：０ （１６） 令式（１４）、（１５）、（１６）中的常数项∞， ￣／ ｒ ，ｃｕ ，叫√ ｉ＿ ， ， ｃｕ ｒＦ 的系数分别为零，可得到一个关 于Ｃ，ｄ，Ｒ，口ｌ０，口２０，口３ｏ，ａ１１，口２１，口３１，ｂ１ｌ，ｂ２Ｉ，ｂ３ｌ的 超定方程组．借助计算机代数系统和符号计算 可求解超定代数方程组，得到： 情况１： 一一１，ｅ一一１，口１０一 ，ｎ２０一 。一号，ｎ 一 一一譬＇６２ 一 １涮Ｒ， 一一 ，６３】一 ， 一土１， 和ｃ 均为任意常数． 情况２： 一一１，ｅ一±１，口ｌｏ— ，口２ｏ一 耐 一一 一ｆｌ’口 一 —ｆｌ，口３０ 一 ，ｎ１１’ｎ１１： ｌ１＝ ｂｌ１＝ｂ２１ ＝ｂ３１—０＝ ３１一 ’口 ，口２１ 一～勰，ａ。 一一Ｒ， 和Ｃ 均为任意常数． 情况３： 一一１，ｅ：一１，ｎ１ｏ— ，口２０一寺 一 — ，口。。一号，ｎ 一警，６ 一号＆球，口。 一 一０，ａ。 一 ， 一 ， 一±１， 和ｃ 均为 任意常数． 情况４： ：＝：一１，￡＝＝＝士１，ａ１ｏ一 ，ａ２ｏ一寺ｃｄ — —ｃ】，‰一号＇Ⅱ】 一ｄＲ， ＝ｂ 一６２１一 ｂ。 ＝＝＝０，ａ。 一Ｒ， 和Ｃ 均为任意常数． 情况５： 一一１，ｅ＝１，ａｌ０一 ，口２０一寺 一 ～ 。一 －６ｌ 一 一一等＇６２ １ Ｒ 一 ， 一一 ， ＝ －－￣ｚ’， 一士１， 和ｃ 均为任意常数． 情况６： 一一１，￡一１，ｎ１。一 ，口２ｏ一寺 。一号， 一警 一Ｉ＆／Ｒ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 何仁国孙福伟：（２＋１）维非线性耦合可积广义Ｋａｕｐ方程的精确解 ３９ ＿６２ 一０ 一譬＇６３ 一 －￣１， 和ｃ１ 均为任意常数． 情况７： 一１，ｅ一１，ｎ 。一 ，ｎ 。：＝＝丢耐一 ～， 一号， ＿６１ 一０， 一等 一 丢 ，口。 一 ， 一 ，３＝－＋－１， 和ｃ 均为 任意常数． 情况８： 一ｌ，￡一士１，ｎ 。一 ，ｎ 。一 一 一 １’ｎ一 —ｃ１，ｎ３０ 一 ，口１１＝ｂ１１＝’。１１ １１ ｂ２１ ＝ｂ３１ ＝０’口 ，口２１ 一ｄＲ，ｎ。 一Ｒ， 和Ｃ 均为任意常数． 情况９： 一１，￡一１，口１。一 ，ｎ２。＝＝：告 一 —ｃ ，ｎ。。一号，ｎ 一一等，６ 一 ｒＲ，ａ。 一 ６２１一ｏ，ｎｓ－一一譬，６３１一 ４Ｒ， 一士１， 和ｃ 均 为任意常数． 情况１０．／ｌ一１，￡一士１，口１０＝：＝．；【，口２ｏ＝：＝妻 一 —ｃ ，口ｓ。一号，口 一一ｄＲ，ｎ ＝ｂ ＝ｂ２ 一 ｂ３ 一０，ａ３ 一一Ｒ， 和Ｃ 均为任意常数． 情况１１： ＝＝＝Ｉ，ｅ一一Ｉ，口１。一 ，口２。一告 一 ～， 一号， 一ｏ，ｎ。 一警’６２ 一 １￣ｄＲｉ， 一譬’６３ 一 ６＂－＋１， 和ｃｌ 均为任意常数． 情况１２： 一１，ｅ一一１，口 。一 ，口ｚ。一丢 ＿ｆ１， 一号， 一一警， ＝ｌ＆ｌＲｉ， ＿６２ ＿ｏ， 一 ，６３ｌ一 一＋１’ 均为任意常数． 对于Ｒｉｃａｔｔｉ方程，易知其通解为： 一一１： ｃｃＪｌ（ ）一ｔａｎｈ（雎） ∞２（ ）一ｃ。ｔｈ（Ｒｅ ） （１７） 一１： 叫３（叫４（ ）一ｔａｎ（／￣） ）一一ｃｏｔ（／￣） （１８） 因此，根据式（２）、（１１）、（１２）、（１３）、（１７）、 （１８）以及情况１一情况８，方程（１）有如下形式 的精确解： 情况１ ： ｌ（ｚ，Ｙ，￡）＝ （ ，￡）＝专 一 －－Ｃｌ－警ｔａｎｈ［ ＋ ＋ ＋ ）］＋ ・ｉｓｅｃｈ［Ｒ（ｘ＋ｄｙ＋ ＋ ）］ ｐｌ（ｚ， ，￡）＝ Ｃ一 ＲｔａｎｈＦＲ（ｚ＋ｄｙ＋ｃｔ ＋Ｃｏ）］＋ ３Ｒ ｓｅｃ ［Ｒ（ｚ＋ ＋ｃｔ＋Ｃ０）］ 情况２ ： ２（ ，Ｙ，￡）＝ 一号 一 一警ｃ。ｔｈ［Ｒ（ ＋ ＋ ＋ｃ。）］＋ 拿 ・ｃｓｃｈ［Ｒ（ｘ＋ｄｙ＋ｃｔ＋ｃｏ）］ （ｚ， ，￡）＝ ｃ一 Ｒ ２ｃ。ｔｈＦＲ（ｚ＋ｄｙ＋ｃｔ ＂￣－Ｃｏ）］＋ ｃｓｃ＾［Ｒ（ｚ＋ ＋ｃｔ＋ｃ０）］ 情况３ ： “３（ ，Ｙ，￡）： （ ，Ｙ，￡）一告 一 —ｆ１－－ｄＲｔａｎｈｍＲ（ｘ ＋ ＋ ＋ｆ。）］ Ｐ３（ｚ，Ｙ， ）一 一Ｒｔａｎｈ［Ｒ（ｘ＋ｄｙ＋ｃｔ ＋ｃｏ）］ 情况４ ： “４（ ，Ｙ，￡）＝ （ｚ， ，￡）一 一 —ｃ 一ｄＲｃ。ｔｈＦＲ（ｚ ＋ ＋ｃｔ＋ｆｏ）］ 维普资讯 http://www.cqvip.com ４Ｏ 北方工业大学学报 第２Ｏ卷 户 （ ， ，￡）一 一ＲｃｏｔｈＥＲ（ｘ＋ｄｙ＋ ＋Ｃ。）］ 情况５ ： “ （ｚ， ，￡）一 ＋ ｔａｎｈＥＲ（ｚ＋ ＋ ￣ｆ－ｃｏ）］＋ ｓｅｃｈＥＲ（ｚ＋ ＋ｃｔ＋Ｃ０）］ （ｚ， ，￡）一 一 —ｃ （ｚ， ，￡）一 ｃ十 Ｒ ｔ５ａｎｈＥＲ（ ＋ ＋ Ｃｏ）］＋ ８Ｒ ２．ｓｅｃｈＥＲ（ｚ＋ ＋ ＋Ｃ。）］ 情况６ ： 一 ＋等ｃＯｔｈＥＲ（ｚ＋ｄｙ＋ｃｔ ＋ｃ。）］＋ ｃｓｃｈＥＲ（ｚ＋ ＋以＋Ｃ。）］ 口６（ｚ， ，￡）一ｌｃｄ— —ｃ１ ｐ６（ｚ， ，ｆ）一 ｃ十 Ｒ ｃ。ｔｈＥＲ（ｚ＋ ＋ ￣－Ｃｏ）］＋ ｃｓｃｈＥＲ（ｚ＋ ＋ｃｔ＋ｃ。）ｌ 。 情况７ ： 乱７（ｚ，ｙ，￡）一 ＋ｄＲｔａｎｈ［Ｒ（ｚ ４－ ＋ｃｔ 十Ｃ０）］ （ｚ， ，￡）一 — —ｃ Ｐ （ｚ， ，￡）一 ４－ＲｔａｎｈＦＲ（ｘ＋ｄｙ＋ｃｔ ＋Ｃ。）］ 情况８ ： ８（ｚ， ，￡）一 ＋ｄＲｃｏｔｈＥＲ（ｘ＋ｄｙ＋ｃｔ ＋ｆｏ）］ 口。（ｚ， ，￡）一 一 —ｃ Ｐ８（ｚ， ，￡）一 ＲｃｏｔｈＥＲ（ｘ＋ ＋ ＋Ｃ。）］ 情况９ ： Ｕ９（ｚ，Ｙ，￡）一 一 一 ＋警ｔａ （ｚ ＋ ＋ －￣－Ｃｏ） ＋ ・ｓｅｄ－Ｒ（ｘ＋ｄｙ＋ｃｔ＋ｆｏ）］ 户。（ｚ， ，￡）：＝： ｃ十 Ｒ ｔａｎ［Ｒ（ｚ＋ ＋ －－￣－ｃｏ）］＋ ｓｅｃ［Ｒ（ｚ＋ ＋ｃｔ＋Ｃｏ）］ 情况ｌＯ ： ｌｏ（ｚ，ｙ，￡）一 ｌ一ｃｄ－－２ 一等ｃｏｔ［肌 ＋ ＋ ＂Ｊｒ Ｃｏ）］＋ ・ｃｓｃ［－Ｒ（ｘ＋ ＋ｃｔ＋Ｃ０）］ （ 一号一譬ｃｏｔ［ ＋ｄｓ＋ｃｔ ｔ－Ｃｏ）］＋ ｃｓｃ［ ＋ ＋ｃｔ＋Ｃｏ）］ 情况１１ ： ｎ（ｚ，ｙ，￡）＝ （ｚ， ，￡）＝丢 一 —ｃ ＋ ｔａｎ［Ｒ（ｚ ＋ ３，＋ｃｔ＋Ｃｏ）］ （ｚ， ，￡）＝号＋Ｒｔａｎ［Ｒ（ｘ＋ｄｙ＋ ＋氏）］ 情况１２ ： 甜１２（ｚ，ｙ，￡）＝ 口 （ｚ， ，ｆ）＝ ｃｄ— —ｆ 一ｄＲｃ。ｔ［Ｒ（ｘ ＋ ＋ｃｔ＋ｃ。）］ Ｐｌｚ（ｚ， 一号一Ｒｃｏｔ［Ｒ（ｘ＋ｄｙ十 ＋Ｃ。）］ 情况１３ ： “１３（ｚ， ， ）＝ 一 ｔａｎ［Ｒ（ｚ＋ ＋ ￣－Ｃｏ）］＋ ｓｅｃ［Ｒ（ｚ ＋ ｖ＋ｃｔ＋Ｃｏ）］ 维普资讯 http://www.cqvip.com
第３期 何仁国 孙福伟：（２＋１）维非线性耦合可积广义Ｋａｕｐ方程的精确解 ４１ （ ， ）： 一 —ｃ （ ， ，￡）一 ｃ一 Ｒｔｌ３ａｎ［Ｒ（ｚ＋ ＋ －￣－Ｃｏ）］＋警ｓｅｃ［ ＋ ＋ｃｔ－Ｉ－Ｃｏ）］ 情况１４ ： 乱ｌｔ（ｚ， ，￡）一 ＋ ｄＲ ｃ。ｔＪＲ（ ＋ ＋以 ＋ｃ０）］＋ ｃｓｃ［ ＋ ＋ｃｔ＋ｃ０）］ （ ， ＝÷ 一 ～ｃ 户ｌ４（ｚ， ，￡）一 ｃ十 Ｒ ｃ。ｔＪＲ（ｚ＋ｄｙ＋ｃｔ Ｚ －］－Ｃｏ）］＋警…［Ｒ（ｚ＋ ＋ｃｔ－Ｆ Ｃｏ）］ 情况１５ ： 一 ｌ５（ ，Ｙ，￡）： —ｄＲｔａｎ［－Ｒ（ｘ＋ｄｙ＋ｃｔ ㈨ ］ 一＋ｆ０）］ （ｚ， ：专 一．～ ；【～ｃ Ｐｌｓ（ｚ， 号～ＲｔａｎＥＲ（ｘ＋ｄｙ＋ ＋Ｃｏ）］ 情况１６ ： 乱 （ ，ｖ，￡）一 ＋ｄＲｃｏｔ厂Ｒ（ｚ＋ｄｖ＋ｃｔ 图１当ｔ一１，Ｒ一８，ｄ一一１／１６，ｃ＋ｃ０—１／８， 一１，ｃｄ／２一 —ｃ１—０时，情况２ 中ｖ的解 Ｐｌ６（ ， ， ） 专＋Ｒｃ。ｔＥＲ（ｘ＋ｄｙ＋ ＋Ｃｏ）］ 其中情况１ 一情况８ 为孤波解，情况９ 一情况 １６ 为周期解． ２总结和讨论 利用截尾辅助函数法得到了（２＋１）维非线 性耦合Ｋａｕｐ方程的若干新的精确解，包括若 干复数解．本文所给出的解均为含有任意常数 的式（１）的显示精确解，当任意常数取特定值 时，可得到不同特解． （１）如当ｔ一１，Ｒ：８，ｄ＝一１／１６，Ｃ＋Ｃｏ一 １／８， ＝１，ｃｄ／２一 —ｃ 一０时，情况２ 中的、／ｒ 和Ｐ均为扭结孤立子解，其中 的解如图１．当 ｔ一１，Ｒ＝一８，ｄ一１／１６，ｃ＋Ｃ０＝＝＝１／８， 一１， ｃｄ／２一 —Ｃ 一０时，情况２ 中的 和Ｐ均为 反扭结孤立子解，其中 的解如图２． （２）如当ｔ＝１，Ｒ＝４０，ｄ一一１／８，ｃ＝Ｃ。 一１／１６， 一一１，ｃｄ／２一 —Ｃ１—０时，情况１０ 中的Ｖ和Ｐ均为周期波解，其中 的解如图３， Ｐ的解如图４． 图２ 当ｔ一１，Ｒ一一８，ｄ＝１／１６，Ｃ＋印＝１／８， ａ一１，ｏｄ／２一＾一ｆｌ一０时，情况２ 中Ｖ的解 维普资讯 http://www.cqvip.com ４２ 北方工业大学学报 第２Ｏ卷 图３ 当ｔ一１，Ｒ一４０，ｄ一一１／８，ｃ—ｃ０—１／１６， ＝一ｌ， ／２一 —ｃ１＝０时，情况１０ 中ｙ的解 本文所得解均通过计算机代数系统与符号 计算得到验证，并在所得到的一些孤波解和周 期解中出现了３个变量两两耦合的情况． 参考１刘式适，刘式达．物理学中的非线性方程．北京：北京 大学出版社．２００１ ２谷超豪，郭柏灵，李翊神等．孤立子理论与应用．杭 州：浙江科学技术出版社，１９９０ ３杨伯君．高等数学物理方法．北京：北京邮电大学出 版社，２００３ ４周凌云等．孤立子理论及在物理学和生物学中的应 用．昆明：云南科技出版社，２００１ ５楼森岳，唐晓燕．非线性数学物理方法．北京：科学出 版社，２００６ ６陈登远．孤子引论．北京：科学出版社，２００６ ７ Ｗａｎｇ Ｍｉｎｇｌｉａｎｇ，Ｚｈｏｕ Ｙｕｂｉｎ，Ｌｉ Ｚｈｉｂｉｎ．Ａｐｐｌｉｃａ— ｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｂａｌａｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｅｘａｃｔ ｓｏ— ｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉ— ｃａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ，１９９６，２１６：６７—７３ ８王明亮等．齐次平衡法及其应用．兰州大学学报， １９９９，３５（３）：８－１６ ９ Ｆａｎ Ｅｎｇｕｉ，Ｚｈａｎｇ Ｈｏｎｇｑｉｎｇ．Ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ｔｈｅ ｈｏｍｏ— ｇｅｎｅｏｕｓ ｂａｌａｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ，１９９８，２４６： ４０３—４０６ １Ｏ孙维君，赵熙强．寻找非线性演化方程精确解的新 的双曲函数法．烟台师范学院学报，２００４，２０（２）：８９— ９２ １ １ Ｅｎｇｕｉ Ｆａｎ．Ｅｘｔｅｎｄ ｔａｎｈ—ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔＯ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ， ２０００，２７７：２１２－２１８ １２居琳，田立新．Ｄｕｌｌｉｎ－Ｇｏｔｔｗａｌｄ—Ｈｏｌｍ方程的１一孤 子解．江苏科技大学学报（自然科学版），２００６，２０ 图４ 当ｔ一１，Ｒ一４０，ｄ一一１／８，Ｃ—ｃｏ一１／１６， 一一１，ｃｄ／２一 —ｃ１—０时，情况１Ｏ 中Ｐ的解 本研究得到理学院应用数学专业研究生陈 贺玲和王燕同学的帮助和支持，特此感谢！ 文 献 （４）：３３—３７ １３林麦麦，段文山，吕克璞．Ｈｉｒｏｔａ方法求解Ｂｏｕｓｓ— ｉｎｅｓｑ方程．西北师范大学学报（自然科学版），２００７， ４３（１）：３９－４３ １４冯国鑫，王卿，钱贤民．２＋１维Ｂｒｏｅｒ－Ｋａｕｐ方程推 广的Ｐａｉｎｌｅｖ６非标准截断展开和精确解．绍兴文理 学院学报，２００３，２３（１０）：１６—２０ １５楼森岳．推广的Ｐａｉｎｌｅｖ６展开及Ｋｄｖ方程的非标 准截断解．物理学报，１９９８，４７（１２）：１９３７—１９４５ １６范恩贵．联系广义Ｋａｕｐ－－Ｎｅｗｅｌｌ谱问题的有限维 和无穷维Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统，Ｄａｒｂｏｕｘ变换和多孤子 解．河北北方学院学报（自然科学版），２００６，２２（１）： １—１３ １７ 闫振亚．浅水长波近似方程的显式精确解．烟台大 学学报，２０００，１３（１）：８－１２ １８阎振亚，张鸿庆．非线性演化方程显示精确解的新 算法．工科数学，２０００，１６（２）：４０—４３ １９王霞，赵玲玲．Ｒ—Ｌ—ｗ方程的新的孤子解和周期 解．郑州轻工业学院学报（自然科学版），２００２，１７ （３）：７８—８０ ２Ｏ王霞，王书彬．一个非线性色散一耗散方程的新孤 子解和周期解．郑州大学学报（工学版），２００２，２２ （３）：４１－４３ ２１ Ｍｉｋｈａｉｌｏｖ Ａ Ｖ，Ｙａｍｉｌｏｖ Ｒ Ｉ．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ，１９９７， ２３０：２９５ ２２ Ｒｏｙ Ｃｈｏｕｄｈｕｒｙ Ｓ．Ｉｎｔｅｇｒａｂｉｌｉｔｙ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ＮＬＳ ｔｙｐｅ ｅｑｕａ— ｔｉｏｎｓ，Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００３，４４ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 （１２）：５７３３—５７５０ 何仁国孙福伟：（２＋１）维非线性耦合可 ｔ ｂ Ｃ ．ａ ．ｒ ｄ Ｓ “ ｐ ｔ ∞ ． Ｈ ｑ ！ ２４ Ｋａｕｐ Ｄ Ｊ．Ｓｔｕｄ．Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ，１９８０，６：１８９ ２３ Ｋａｕｐ Ｄ Ｊ．Ｐｒｏｇ．Ｔｈｅｏｒ．Ｐｈｙｓ，１９７５，５４：７２ ｔ ｔ Ｃ 一 ｈ ｔ ＾ ｈ Ｅｘａｃｔ Ｓｏｌｕｔｉ０ｎｓ ｔｏ（２＋１）一Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｃｏｕｐｌｅｄ ｍ Ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｋａｕｐ Ｅｑｕａｔｉｏｎ －ｇ试 ｍ吣 ｖ．。ｆ由 （Ｃｏｌ１ｅｇｅ。ｆ ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉ Ｔｅｃｈ．，１００１４４，Ｂｅ ｉｎｇ，ｃｈｉ“ ） Ｈｅ Ｒｅｎｇｕｏ Ｓｕｎ Ｆｕｗｅｉ ｄ Ⅲ — 附豺 ｒ＋ ｅ 一 ｍ 皂－ ｍ 啪 Ｋ ｅｙ Ｗｏｒｄｓ ｔｒｕｎｃａｔｅｄ ａｄｊｕｎｃｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ Ｋａｕｐ ｑ ； ｅ ｕａ【ｌｏ１ ；ｅｘａｃ ｕｌｕｕ ｔｉｏｎＳ；ｓｏｌｉｔａｒｙ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ Ｓ ｒ卜 ｍ ｍ∞． 一～曼 ； ｅ ｕ 。ｎ．ｅｘａｃｔ ｓ０ｌｕｎｏｎｓ．ｐｅｒｉ０ ’ Ｌｌ工……ｓ０ｌｕ—－ｕ （上接第３６页） 一 ：量 ．ｎ ｎ ＇＝ Ｅｘａｃｔ Ａｎａｌｙｔｉｃ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｖａｒｉａｂｌｅ－Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｅ ．ｎ 眦 肌 ＨｉｒＯｔａ．Ｓａｔｓｕｍａ Ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｃｏｕｐｌｅｄ ＫｄＶ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ．ｎＨ ｔ ：一 阻 兰 Ｓｕｎ Ｆｕｗｅｉ Ｃｈｅｎ Ｈｅｌｉｎｇ （ｃ。ｌｌｅｇｅ。ｆ ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖ．。ｆ Ｔｅｃｈ．，１００１４４，Ｃｈｉｎａ，Ｂｅ ｉｎｇ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｅＸａｃｔ ａｎａｌｙｔｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ—ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｈｉｒｏｔａ—Ｓａｔｓｕｎａ ｓｙｓｔ啪ｏｔ ｃｏｕＤｌｅｄ ＫｄＶ ｅｑｕａｔｉ０ｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｔａｎｈ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉ ｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ｔｈｅ∞ｍｐ小 ＿ ｉｚｅｄ ｓｖｍｂ０ｌｉｃ ｃ０ｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｓｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｉｎｃｌｕｄｅ Ｊａｃｏｂｉａｎ ｅｌｌｉｐｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｎｇｏｎ０ｍｅｔｎｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｉｎｔｅｒａｅｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｗｏ ｌｏｎｇ ｗａｖｅｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｄｉｓｐｅｒｓ。０ｎ ｒｅｌａｔ ｏｎｓ・ ． Ｋｅｙ ｗ。ｒｄｓ ｖａｒｉａｂｌｅ－ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ。ｆ ｔｈｅ ｃ。ｕｐｌｅｄ ＫｄＶ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ； ｙｍｂ。ｌｉ ｃｏｍｐｕｔａｔｍｎ；Ｔａｎｈ Ｔ＿ｎ ｅｔｈｏｄ：ｅｘａｃｔ ａｎａｌｙｔｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
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