《概率论与数理统计》第04章习题解答

第四章 正态分布

１、解：ZN(0,1)

（1）P{Z1.24}(1.24)0.25

P{1.24Z2.37}(2.37)(1.24)0.99110.250.0986 P{2.37Z1.24}(1.24)(2.37)(1.24)(2.37)

0.250.99110.0986（2）

P{Za}0.9147，(a)0.9147，得a1.37P{Zb}0.0526，1(b)0.0526，(b)0.9474，得b1.62XN(3,16)

2、解：

P{4X8}(P{0X5}(8343)()(1.25)(0.25)0.440.59870.2957 445303)()(0.5)(0.75) 44(0.5)1(0.75)0.691510.77340.493、（1）设X（2）设X解：（1）

N(25,36)，试确定C，使P{X25C}0.94；

N(3,4)，试确定C，使P{XC}0.95XN(25,36)，P{X25C}0.94

P{25CX25C}0.94

即(

25C2525C25)()0.9466CCC()()2()10.94 666CC()0.9772,2，C1266N(3,4)，P{XC}0.95

（2）X即1(

C33C)0.95，()0.95223C1.5，C0.292XN(3315,5752)

4、解：（1）

P{2584.75X4390.25}(4390.2533152584.753315)() 575575(1.87)(1.27)(1.87)1(1.27)0.969310.800.8673（2）P{X2719}(Y27193315)(1.04)1(1.04)10.85080.1492

575B(25,0.1492)

4iP{Y4}C4(0.1492)i(10.1492)4i0.66

i05、解：XN(6.4,2.3)

86.4)PX82.31(1.055)10.850.14460.1761P(X8X5}PX51(56.4)1(0.923)(0.923)0.82122.31(6、解：（1）XN(11.9,(0.2)2)

12.311.911.711.9P{11.7X12.3}()()(2)(1)(2)1(1) 0.20.20.977210.84130.8185设A={两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间} 则P(A)(0.8185)20.6699

（2）设X, Y分别是两只电阻器的电阻值，则X且X, Y相互

P{(X12.4)12.411.9(Y12.4)}1P{X12.4}P{Y12.4)}1()0.2

1(2.5)1(0.9938)20.012422N(11.9,(0.2)2)，YN(11.9,(0.2)2)，

7、一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值160，均方差为布，若要求P{120X200}0.80，允许解：因为XN(160,2)

200160的正态分

最大为多少？

由0.80P{120X200}(从而 2(8、解：（1）

40120160)()

X)10.80，即(N(90,(0.5)2)40)0.9，查表得

401.282，故σ≤31.2

P{X}(90)(2)1(2)10.97720.0228 0.5（2）设XN(d,(0.5)2)

80dd80d80)0.99，()0.99，即2.33 0.50.50.5由P{X80}0.99，1(从而d≥81.17 9、解：

X与Y相互，且X~N(150,32),Y~N(100,42)

则（1）W1XY~N(150(100,3)242)N(250,52)

W22XY~N2150100,(2)2321242N(200,52)

XY52~N(125,2)N(125,(2.5)2) W322（2）P{XY242.6}(242.6250)(1.48)1(1.48)10.93060.0694 5XYXYXYP1255P1255P125522212551251255125()1()(2)1(2)

2.52.522(2)220.97720.045610、解：（1）

X~N(10,(0.2)2),Y~N(10.5,(0.2)2)，且X与Y相互

XY~N(0.5,2(0.2)2)N(0.5,(0.282)2)

P{XY0}(0(0.5))(1.77)0.9616

0.282（2）设X~N(10,(0.2)2),Y~N(10.5,2)，且X与Y相互

XY~N(0.5,2(0.2)2)N(0.5,(0.2)22)

由 0.90P{XY0}(0.50.2220(0.5)0.222)(0.50.222)

1.28，故σ≤0.3348

N(1.63,(0.025)2)，男子身高（以m计）

11、设某地区女子的身高（以m计）WMN(1.73,(0.05)2)，设各人身高相互。

（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子。求女子比男子高的概率。

（2）在这一地区随机选5名女子，求其中至少有4名的身高大于1.60的概率。

（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高大于1.60的概率。 解：W~N(1.63,(0.025)2),M~N(1.73,(0.05)2)，且W与M相互

（1）WM~N(1.631.73,(0.025)2(0.05)2)N(0.1,(0.056)2)

P{WM}P{WM0}1(0.1)1(1.79)10.96330.0367 0.0561.601.63（2）P{W1.60}1()1(1.2)(1.2)0.8849

0.025设5名女子中身高大于1.60的人数为Y，则YB(5,0.8849)

5P{Y4}C(0.8849)4(10.8849)1+C5(0.8849)5(10.8849)00.55

（3）Wi~N(1.63,0.0252),i1,2,,50，且它们相互

150(0.025)2)N(1.63,0.0035352) 则 WWi~N(1.63,50i1501.601.63Ｐ｛P{W1.60}1()1(8.4866)(8.4866)1

0.003535X161612、解（未修改）：（1）Ｐ{}＝０.２０＝－０.８４ ① X20Ｐ{}＝０.９20＝１.２８ ②

由①，②解得，

μ＝１７.６，σ＝１.８８５

（2）３Ｘ＋２Ｙ－６Ｚ～Ｎ（０，４９）

3X2Y6Z7 Ｐ{}＝0.1587 7713、解（未修改）：（1）Ｚ＝m－Ｘ－30 （2）Ｚ～Ｎ（m－30，7.52） （3）Ｐ{Ｚ≥450}≥0.95

Ｐ{

Z（m30）450（m30）}≥0.95 7.57.50（m30）≤-1.5 m≥492.4

7.514、解（未修改）：(1) Ｚ～Ｎ(m-30，32＋7.52) （2）Ｐ(Ｚ≥450)≥0.90

Ｐ{

Z（m30）450（m30）≥} ≥ 0.90

222237.537.50（m30）≤-1.28

2237.5 m ≥ 490.36

15、某种电子元件的寿命X（以年记）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互

。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。

解：X服从参数为2的指数分布EX2，DX4

Xi第i个电子元件的寿命，Xi与X具有相同分布(i1,2,，100)，且它们Xi~N1002,1004N200,202i1100近似地

100180200PXi180110.8413

20i116、解（未修改）：

Xi1100i100251001～Ｎ(0,1)

100i1Ｐ{24.74≤X≤25.25}＝P{

2475250010Xi25001025252500}＝0.9876

1017、解（未修改）：Ｘi～N(－0.5×107，0.5×107)

1014 Ｅ(Ｘi)＝0， Ｄ(Ｘi)＝＝σ2

12

Xi4000400～Ｎ(0,1)

Ｐ{

Xi＜0.5×10}＝Ｐ{6Xi400近似地＜0.51000}＝0.6156

18、解：（1）XB(1000,0.2)，XN(10000.2,10000.20.8)N(200,160)

1850.52001700.5200P{170X185}()() 160160(2.41)(1.15)0.99200.87490.11711900.5200P{X190}1()(0.83)0.7967

1601800.5200P{X180}()(1.)1(1.)10.93820.0618

160（2）设至少需要装n部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95

即 0.95P{X50}1(500.2n0.2n50)()n0.20.8n0.20.8

0.2n501.5，n304.9552，从而取n305

n0.20.819、一射手射击一次得分X是一个随机变量，具有分布律 X 8 9 10 Pk 0.01 0.29 0.70 （1）求射击10次总得分小于等于96的概率； （2）求在900次射击中得分为8的射击次数大于等于6的概率。 解：（1）E(X)80.0190.29100.709.69

E(X2)820.01920.291020.7094.13 D(X)E(X2)E(X)94.139.6920.2339

Xi~N109.69,100.2339N(96.9,(1.53)2)

i110近似地设第i个射手射击一次得分为Xi, Xi（i =1，2，3，…，10）和X具有相同的分布且它们相互

109696.9PXi960.5910.5910.72240.2776

1.53i1（2）设X={900次射击中得分为8分的射击次数}，则X~B900,0.01

60.59000.01PX611.170.8790

9000.010.99

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）