第一章 三角形的证明拓展题

第一章 三角形的证明拓展题

一、选择题 1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形. 其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）A．25° B．30° C．35° D．40° 3. 如图，在△ABC中，

，点D在AC边上，且

，则∠A的度数为（ ）

A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°

4.（2015•湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）

A.8或10 B.8

C.10

BDD.6或12

ACE

第5第2题 第3题 第5题 第7题图题 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）A．11 B．5.5 C．7 D．3.5

6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（ ）

A.5 cm B.6 cm C.5cm D.8 cm

7. 如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是（ ） A. AD=AE B. ∠AEB=∠ADC C. BE=CD D. AB=AC 8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

9.若一等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则等腰三角形的顶角为（ ） A．30° B．150° C．30°或150° D．以上都不对 10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果

那么△

二、填空题

11等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是 。 12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形. 13.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°. 14.如图，在△ABC中，

，AM平分∠

，

cm，则点M到AB的距离是_________.

的周长是（ ）A.6 cm

B.7 cm C.8 cm D.9 cm

cm，

15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点， FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则

_________，

_________.

16.(2015•江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 .

17. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A＝30° ，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝2cm，则AC= . 18．（2011•怀化）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5cm，BC=6cm，则AD= ． 19．（2011•衡阳）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ． 20．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ． B C A D 第17题 第18题 第19题 第20题

三、解答题

1、如图，Rt△ACB中，ACB90，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PFAD交BC的延长线于点F，交AC于点H. （1）求APB的度数； （2）证明：AHBDAB.

第1题图

21、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.

A

B图8DC

22、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.

23、如图，在△ABC中，∠B＝22.5，∠C＝60，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝62，AE⊥BC于点E，

0

0

求EC的长。

AF

ECBD

3题图 24. 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长.

A

19.（6分）如图，在△ABC中，点D，求证：

.

，是

上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠

的平分线于

20.如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD. 求证：D在∠BAC的平分线上.

20.（6分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.

应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数. 探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探PA 的长.

21.（6分）如图所示，在四边形

求证：

.

中，

平分∠

.

22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若

2，求BE的长.

23.（6分）如图所示，在Rt△ABC中，

，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角

板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，

并证明你的猜想．

24.（8分）（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.

第24题图

25.（8分）已知：如图，

是等腰三角形．

，是

上一点，

于点，

的延长线交

的延长线于点.求证：△

参

1.B 解析：只有②④正确. 2.A 解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，

∴BC AB2AC2  3242 5，

12∴ BC边上的高=345.

5∵ AD平分∠BAC，∴点D到AB，AC的距离相等，设为h，

1111212则SABC3h4h5，解得h，

2225711211215解得BD．故选A． SABD3  BD，272573.B 解析：因为因为又因为所以

，所以，所以

，

， .

.

所以所以

4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.

5.C 解析：因为所以△所以所以 即又因为 所以△所以 由△又因为所以△

≌△

，故④正确.

≌△≌△

故③正确.

，

（ASA）， ，知

，

，

≌△

（，

，

），

，

，故①正确.

由于条件不足，无法证得② 故正确的结论有：①③④.

6.D 解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3， 所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角. 又因为最短边 cm，则最长边 cm.

7.D 解析：添加A选项中条件可用“AAS”判定两个三角形全等； 添加B选项中条件可用“SAS”判定两个三角形全等；

添加C选项中条件可用“HL”判定两个三角形全等.故选D． 8.D 解析：在△ABC中，∵ ∠A=36°，AB=AC， ∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°.

∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠CBD=36°， ∴ ∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD＝36°+36°=72°， ∴ ∠C＝∠CDB，∴ △ABD，△CBD都是等腰三角形. ∴ BC=BD.∵ BE=BC，∴ BD=BE， ∴ △EBD是等腰三角形， ∴ ∠BED＝

=

＝72°.

在△AED中，∵ ∠A=36°，∠BED＝∠A+∠ADE，∴ ∠ADE＝∠BED-∠A＝72°-36°＝36°，∴ ∠ADE=∠A =36°，∴ △AED

是等腰三角形.

∴ 图有5个等腰三角形.

9.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中

因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以又因为直角三角形的周长是426，所以ab26. 两边平方，得(ab)24，即ab2ab24. 由勾股定理知abc16， 所以ab4 ，所以10.D 解析：因为

2222

221ab2. 2垂直平分

，所以

.

所以△的周长（cm）. 11.100° 解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC，得AO所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，

所以∠OAB=∠OBA=×50°=25°，

得∠BOA=∠COA=1802525130, ∠BOC=360°-∠BOA-∠COA=100°. 所以∠OBC=∠OCB=

180100 =40°.

2由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.

12.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三

角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.

13.15 解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°. 因为AB＝AC，所以∠ABC＝（180°－50°）÷2＝65°. 因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB， 所以∠DBE＝∠A＝50°. 所以∠DBC＝65°－50°＝15°.

14.20 cm 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案. 15.

5 1∶3 解析：因为2中，因为

，F是AB的中点，所以.

在Rt△，所以.

又，所.

16.4∶3 解析：如图所示，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC， 垂足分别为点M和点N.

∵ AD平分∠BAC，∴ DM＝DN. ∵

AB×DM， AC×DN，

∴ . 第16题答图

17.60 解析:∵ ∠BAC=120，AB=AC， ∴ ∠B=∠C=

180BAC18012030.

22∵ AC的垂直平分线交BC于点D，∴ AD=CD.

∴ CDAC30,

∴ ADBCDAC303060.

18. 85 解析:∵ ∠BDM=180°-∠ADF -∠FDE =180°-100°-30°=50°， ∴ ∠BMD=180°-∠BDM -∠B =180°-50°-45°=85°. 19.证明：∵

，

∴ ∥，∴ .

又∵ 为∠的平分线，

∴ ，∴ ，

∴ .

20. 解：应用：若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC. ∵ CD为等边三角形的高，∴ AD＝BD，∠PCB＝30°， ∴ ∠PBD＝∠PBC＝30°，∴ ∴∴

与已知PD＝AB矛盾，∴ PB≠PC. 若PA＝PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.

若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴ ∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°. 探究：若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32=(4-x)2，∴ x ＝ ，即PA＝. 若PA＝PC，则PA＝2.

若PA＝PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA＝2或.

21.证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E， 过点D作

于点F.

因为BD平分∠ABC，所以.

在Rt△EAD和Rt△FCD中，

所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）. 所以∠=∠

.

因为∠∠80°，

所以∠.

22.解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形， 所以

，∠

∠

60°.

所以∠即∠在△所以△又

和△

∠∠≌△，所以

中，.

∠中，因为，所以

.

∠，

.

在等腰直角△23.解：证明：∵ ∵ ∠∵ ∴ ∠

∠∠

2，故

. .

，BE⊥EC.

，点D是AC的中点，∴ 45°，∴ ∠

.

∠

135°.

，∴ △EAB≌△EDC.

∴ ∠∠90°.∴ ⊥. 24.证明：∵ AE∥BD，∴ ∠EAC＝∠ACB.

∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB.∴ ∠EAC＝∠B. 又∵ ∠BAD＝∠ACE＝90°，

∴ △ABD≌△CAE（ASA）.∴ AD＝CE. 25.证明：∵ ∵∴ ∠∵ ∠

∠∠

，∴ ∠于点，∴ ∠

∠

∠

∠

，∴ ∠

∠． ∠

．∴ ∠．∴ △

．

∠

．

是等腰三角形.