墨概率问题错解的分类及剖析 李建彬 （沧县风化店中学，河北沧县０６１０００） 概率内容的新慨念较多，卡｝１近概念容易混淆。笔者通过归 纳．总结出在概率学习ｒＩ１学生容易混淆的五类题型，并结合实 例加以分析点 、总结，以便学生深刻记忆。 “排列”与“组合”混淆 排列与组合主要研究从一螳不同元素巾任取部分或全部 一、元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题。区别排列问 题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列 问题。与顺序无关的属于组合问题。在概率题中我们经常会碰 坚实的基础．有利于学生数学思维培养，有利于学生以后相关 专业课的学习。教师应在实践中创新，发现新的、容易接受的 教学方法．让课堂教学生动、活跃、有生机，让学生学习有兴 趣、有创新。 三、分层次教学的主要探索 怎样分层是分层次教学的核心问题。为了保证分层教学 目标及其效果的实现，我们分别从以下几个方面进行了分层。 １．按专业分层次 到有关排列与组合的问题。 例１：有１０件产品，其中次品３件，从中一件一件地不放回 地任意取出４件．求取出的４件中恰有１件次品的概率是多少？ 错解：因为第一次有ｌ０种取法，第二次有９种取法，第三次 有８种取法，第四次有７种取法，由乘法原理可知从１０件中取４ 件共有ｌＯ￣９ｘ８ｘ７种取法，故样本空间Ｓ含有ｌＯｘ９ｘ８ｘ７个基本 事件。 分析：计算样本空间Ｓ所含基本事件的个数是用排列的方 推论及较简单的基本例题作为课堂教学的基本内容，面向全 体学生讲授，要求讲解得清楚、透彻，使所有学生都能理解和 掌握：将有稍许难度的性质、定理的证明和一般例题作为一般 讲解，要求讲清证明思路和方法，讲清性质和定理的应用，使 得中等以上的学生经过课后思考都能够理解并会运用；将少 量有难度的性质、定理证明和例题点到为止，即讲清条件和结 论之间的内在联系，点清证明的思路和应用，使得少数好学生 有钻研和思考的余地。在布置课后作业上我们采取分层布置， 作业包括必做题和选做题。选做题供学有余力的学生作为课 后练习题：作业中的基本题型，要求学生必须掌握；其余作业 属于一般题，要求大多数学生都会做。对于学生的作业，教师 要做到详批详改。在习题课上，我们将作业中的基本题作为讲 授的重点，使绝大部分学生都会做基本题；辅以一般题，使得 中上等学生在做完基本题的基础上，又有一定的时间思考和 练习较难的习题；对于难题只作简单提示，好学生可以在课后 独立完成。 ３．其它形式的分层 根据不同专业对数学课程的要求，我们将《高等数学》分 为Ａ、Ｂ、Ｃｊ类，《线性代数》主要分为Ａ、Ｂ两类，《概率论与数理 统计》主要分为Ａ、Ｂ两类。我们对各类分别制定教学大纲和教 学计划，在保证同一专业的教学大纲一致的前提下，对于同一 专业的不同层次的学生，制定不同的教学方案，采取不同的教 学措施 这种对专业的分层次既有利于加强课程建设，提高教 学质量．又有利于发挥学生个体的主动性，提高学习效率。 ２．按学生分层次 （１）分层的方法 方面．教师要根据学生的数学基础、学习能力、学习 态度、学习成绩和学习兴趣的差异，以及提高学习效率的要 求，结合教材和学生的学习可能性水平，以及大学阶段学生 的生理特点及性格特征，按教学大纲所要达到的基本目标、 中层目标、发展目标这三个层次的教学要求，将学生按１：３：１ 的比例分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个层次：Ａ层是拔尖的优等生，此类学 生学习兴趣浓厚、抽象思维能力强、成绩好；Ｃ层是数学基 础较差、学习有困难的学生；Ｂ层是巾间层次的学生，介于 一除了以上两种分层方法外，我们还在全校范围开设了公 共数学类课程的选修课，如《高等数学选讲》、《概率论与数理 统计选讲》和《线性代数选讲》。随着近些年考研热潮的兴起， 以上三门作为学生考研的必修课程，在正常教学中由于受课 时的限制不可能达到考研的要求，因为在硕士研究生人学考 试中对相应知识的要求在平时教学的一般要求之上，所以，这 些课程的开设就显得尤为重要。这些课程对有关知识进行了 以上二者之间。 另一方面．教师的设计教学需要从教学目标、教学内容、 教学时问、教学步骤、教学方法等各方面都应坚持与Ａ、Ｂ、Ｃ各 类学生的实际相适应。其在目标要求、课堂设计、组织教学、课 堂提问、互动讲解、巩固练习、课后作业、课外辅导、考核评价 上都要有所区别．强调针对性，既保证“面向全体”，又兼顾“提 优”、“补差”。 （２）分层教学的具体实践 根据学生的基础和我校的实际情况，我校分层次教学法 只是在教学内容、教学要求和考试要求上分层次，以适应不同 深一步的挖掘与探讨，同时对近几年来的考研真题进行了整 合与分析，通过本课程的学习，学生获得硕士研究生考试大纲 要求而这些课程中没有涉及的基本内容，同时强化了应用意 识与典型问题解题的综合训练，进一步提高了运用知识分析 问题、解决问题的能力和基本数学素质。 参考文献： ［１］邓小庆，宋克国，黄世海．分层教学 差异发展［Ｊ］．人 民教育，２００９，（３）． ｆ２］姜春艳，王风英．大学数学分层次教学的实践与意义 ［Ｊ］．继续教育研究，２００９，（３）． ［３］刘建明．高等数学分层次教学的探索［Ｊ］．学习月刊， ２００９，（４）． 层次的学生；教师根据本班学生的特点，制定讲课内容，将课 堂教学分为教师精讲、泛讲和学生自学三部分，改变过去重理 论轻应用的教学方法，注意将实际问题模型化，培养学生解决 实际问题的能力；学生只要努力就可以做到，可激发他们的积 极性，实现因材施教，使各层次的学生都有最大限度的进步。 具体方法如下：在授课方式上，将基本概念、性质、定理、 ［４］孙凤芝等．高等数学分层次目标教学的探讨与实践［Ｊ］． 长春师范学院学报，２００９，（４）． ［５］邬桂芬，屈思敏．线性代数分层次教学的探索与实践 ［Ｊ］．广西民族大学学报，２００９，（２）． ７５ ■隧 法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件Ａ所包含的基本事件个 数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。 正确解答：样本空间ｓ含有Ａ 。个基本事件，事件Ａ包含Ａ：・ Ａ：・Ａ：个基本事件（４件中要恰有ｌ件次品，可以看成四次抽取 巾有一次抽到次品。有Ａ 种方式。对于每一方式，从３件次品 巾取１件，再从７件正品中一件一件地取３件，共有Ａ １・Ａ ・Ａ；种 取法） ｌ ｌ ３ ．Ｐ（Ａ）： 一１ ．．Ａ ２ 二、“非等可能”与“等可能”混淆 如果一次试验巾可能出现的结果有１３＿个，而且所有结果 出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 。如果某个事件Ａ包含的结果有ｍ个，那么事件Ａ的概率为： Ｐ（Ａ）＝一ｉｎ。 ｎ 例２：掷两枚骰子，求所得的点数之和为６的概率。 错解：掷两枚骰子出现的点数之和２，３，４，…，１２共１１种基 １ 本事件，所以概率为Ｐ＝ 。 １１ 分析：以上１１种基本事件不是等可能的，如点数和２只有 （１，１），而点数之和为６有（１，５）、（２，４）、（３，３）、（４，２）、（５，１）共 ５种。事实上，掷两枚骰子共有３６种基本事件，且是等可能的， 所以“所得点数之和为６”的概率为Ｐ＝ 。 ３６ 三、“互斥”与“对立”混淆 不可能同时发生的两个事件Ⅱｑ做互斥事件。如果事件Ａ、 Ｂ互斥，那么Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）。必有一个发生的互斥事件 叫做对立事件，事件Ａ的对立事件通常记作页，有Ｐ（Ａ）＋Ｐ（ ）＝ Ｐ（Ａ＋ ）＝ｌ。 例３：把红、黑、白、蓝４张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁４ 个人，每个人分得１张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是 （ ）。 Ａ．对立事件 Ｂ．不可能事件 Ｃ．互斥但不对立事件 Ｄ．以上均不对 错误答案：Ａ 分析：错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同。要准确解 答这类问题，我们必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区 别．这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面： （１）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立； （２）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两 个事件： （３）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至 多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示 它们有且仅有一个发生。 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两 个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两 ７６ 个都不发生．所以应选Ｃ。 四、“互斥”与“独立”混淆 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。如果事件Ａ、 Ｂ互斥，那么Ｐ（Ａ＋Ｂ）：Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）。事件Ａ（或Ｂ）是否发生对事 件Ｂ（或Ａ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独 立事件。如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么Ｐ（Ａ・Ｂ）＝Ｐ（Ａ）・Ｐ（Ｂ）。 例４：甲投篮命中率为０．８，乙投篮命中率为０．７，每人投３ 次，两人恰好都命中２次的概率是多少？ 错解：设“甲恰好投中两次”为事件Ａ，“乙恰好投中两次” 为事件Ｂ，则两人都恰好投中两次为事件Ａ＋Ｂ，Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋ ＇ ＇ ， Ｐ（Ｂ）＝ｃ；ｏ．８‘ｘ０．２＋ｃｚ３０．７‘ｘ０．３＝０．８２５。 分析：本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当 成互斥事件来考虑．将两人都恰好投中２次理解为“甲恰好投 中两次”与“乙恰好投中两次”的和。 正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件Ａ，“乙恰好投中两 次”为事件Ｂ，且Ａ、Ｂ相互独立，则两人都恰好投中两次为事 件Ａ・Ｂ，于是Ｐ（Ａ・Ｂ）＝Ｐ（Ａ）ｘＰ（Ｂ）＝ｃ：０．８ ｘ０．２ｘＣ￣０．７ ｘ０．３ ０．１６９。 例５：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时 被接的概率为０．１．响第二声时被接的概率为０３，响第三声时 被接的概率为０．４，响第四声时被接的概率为０．１，那么电话在 响前４声内被接的概率是多少？ 错解：分别记“电话响第一、二、三、四声时被接”为事件 Ａ 、Ａ 、Ａ 、Ａ４，Ｊ￣ＬＰ（Ａ１）＝０．１，Ｐ（Ａ２）＝０．３，Ｐ（Ａ３）＝０．４，Ｐ（Ａ４）＝０．１， 则电话在响前４声内被接的概率为Ｐ＝Ｐ（Ａ ）・Ｐ（Ａ，）・Ｐ（Ａ ）・ Ｐ（Ａ ）＝０．１ｘ０．３ｘ０．４ｘＯ．１＝０．００１２。 分析：本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同 时发生的事件来考虑。根据实际生活中的经验电话在响前４声 内，每一声是否被接彼此互斥。所以，Ｐ＝Ｐ（Ａ ）＋Ｐ（Ａ。）＋Ｐ（Ａ ）＋ Ｐ（Ａ ）＝Ｏ．１＋０．３＋０．４＋０．１＝０．９。 点评：以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事 件相互独立混同，互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两 事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与 否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘 的关系是根本不同． 五、“条件概率Ｐ（Ｂ／Ａ）”与“积事件的概率Ｐ（Ａ・Ｂ）”混淆 例６：袋中有６个黄色、４个白色的乒乓球，作不放回抽样， 每次任取一球，取２次，求第二次才取到黄色球的概率。 错解：记“第一次取到白球”为事件Ａ．“第二次取到黄球” 为事件Ｂ，“第二次才取到黄球”为事件Ｃ，所以Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ｂ／Ａ）＝ ６ ２ ＝一一 ９ ３ 分析：本题错误在于Ｐ（Ａ・Ｂ）与Ｐ（Ｂ／Ａ）的含义没有弄清， Ｐ（Ａ・Ｂ）表示在样本空间Ｓ中，Ａ与Ｂ同时发生的概率；而Ｐ（Ｂ／Ａ） 表示在缩减的样本空间Ｓ 巾，作为条件的Ａ已经发生的条件下 事件Ｂ发生的概率。 ＾ ￡ 正确解答：Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ・Ｂ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）＝一ａｌ－Ｘ ＝ 。
