(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“∀x∈R，x＋3x－1≥0”的否定是( ) A．∃x∈R，x＋3x－1＜0 C．∃x∈R，x＋3x－1≤0
22
2
B．∃x∈R，x＋3x－1≥0 D．∀x∈R，x＋3x－1＜0
2
2
2
解析：选A.由全称量词命题的否定的定义可知，该全称量词命题的否定为∃x∈R，x＋3x－1＜0.故选A.
2．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝( ) A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选B.根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1且小于等于m的全部整数，知m＝2.
3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x}，若A＝B，则2x＋y等于( ) A．0 C．2
解析：选C.由A＝B，得x＝0或y＝0.
当x＝0时，x＝0，此时B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2. 4．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( ) A．{x|x≥－1} C．{x|0＜x≤2}
B．{x|x≤2} D．{x|－1≤x≤2}
22
2
B．1 D．－1
解析：选A.借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．
5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A．命题﹁p是真命题 C．命题p是全称量词命题
B．命题p是存在量词命题
D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
解析：选C.命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故﹁p是假命题，命题p是全称量词命题．故选C.
6．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)等于( ) A．{2，3} C．{4，5}
解析：选B.由题知A∩B＝{2，3}， 所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．
B．{1，4，5} D．{1，5}
7．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁RB)＝( ) A．{x|x＞1} C．{x|1＜x≤2}
B．{x|x≥1} D．{x|1≤x≤2}
解析：选D.因为B＝{x|x＜1}，所以∁RB＝{x|x≥1}． 所以A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．
8．已知集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为( )
2
A．{2} C．{－3，2}
B．{3} D．{－2，3}
解析：选A.注意到集合A中的元素为自然数．因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.
9．已知条件甲：(x－m)(y－n)＜0，条件乙：x＞m且y＜n，则甲是乙的( ) A．充要条件 C．充分不必要条件
解析：选D.因为甲：(x－m)(y－n)＜0⇔分条件．
10．若集合A，B满足A＝{x∈Z|x＜3}，B⊆N，则A∩B不可能是( ) A．{0，1，2} C．{－1}
B．{1，2} D．∅
B．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
x－m＜0，y－n＞0
或
x－m＞0，y－n＜0.
所以甲是乙的必要不充
解析：选C.由B⊆N，－1∉N，故A∩B不可能是{－1}．故选C.
11．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是( )
A．0≤a≤2 C．0＜a≤2
B．－2＜a＜2 D．0＜a＜2
a－2≥－2
解析：选A.A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2.
a＋2≤4
12．已知集合A＝{x|ax＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( ) A．1 C．0，1
B．－1 D．－1，0，1
2
2
解析：选D.因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
①当a＝0时，
方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意． ②当a≠0时，
由Δ＝2－4·a·a＝0， 即a＝1，所以a＝±1.
此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意． 综上，a＝0或a＝±1.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
解析：由于A∪B＝A，所以B⊆A，又因为B≠∅，
2
2
m＋1≥－2，
所以有2m－1≤7，解得2＜m≤4.
m＋1＜2m－1，
答案：2 解析：根据题意，p：“x－3x－4＝0”，即x＝4或－1，则有若q：x＝4成立，则有p：“x－3x－4＝0”成立，反之若p：“x－3x－4＝0”成立，则q：x＝4不一定成立，则p是 2 2 2 2 q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 15．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1，其中，可以是x＜1的一个充分条件的所有序号为________． 解析：由于x＜1即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意． 答案：②③④ 16．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________． 解析：因为B＝{x|1＜x＜2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x≥2}． 又因为A∪(∁RB)＝R，A＝{x|x＜a}， 将∁RB与A表示在数轴上，如图所示： 可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R. 答案：{a|a≥2} 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命 2 2 题的否定． (1)所有的正方形都是矩形； (2)每一个奇数都是正数； (3)∀x∈R，x－x＋1≥0； (4)有些实数有平方根； (5)∃x∈R，x＋1＝0. 解：前三个命题都是全称量词命题，即具有形式“∀x∈M，p(x)”． 其中命题(1)的否定是“并非所有的正方形都是矩形”，也就是说“存在一个正方形不是矩形”； 命题(2)的否定是“并非每一个奇数都是正数”，也就是说“存在一个奇数不是正数”； 命题(3)的否定是“并非∀x∈R，x－x＋1≥0”，也就是说“∃x∈R，x－x＋1＜0”； 后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“∃x∈M，p(x)”． 其中命题(4)的否定是“不存在一个实数，它有平方根”，也就是说“所有实数都没有平方根”； 命题(5)的否定是“不存在x∈R，x＋1＝0”，也就是说“∀x∈R，x＋1≠0”． 18．(本小题满分12分)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}． (1)若a＝1时，求A∩B，A∪B； (2)设C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合． 解：(1)由集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}， 2 2 2 2 22 B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}， 所以当a＝1时，A＝{1，3}，B＝{1，4}， 所以A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}． (2)因为C＝A∪B，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而1，3，4∈C，故实数a的取值集合为{1，3，4}． 19．(本小题满分12分)下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件；并说明理由． (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形． 解：(1)因为|x|＝|y|⇒/x＝y， 但x＝y⇒|x|＝|y|， 所以p是q的必要不充分条件． (2)因为△ABC是直角三角形⇒/△ABC是等腰三角形， △ABC是等腰三角形⇒/△ABC是直角三角形， 所以p是q的既不充分也不必要条件． (3)因为四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形， 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， 所以p是q的必要不充分条件． 20．(本小题满分12分)选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题： (1)x＞2； (2)x≥0； (3)x是偶数； (4)若x是无理数，则x是无理数； (5)a＋b＝c.(这是含有三个变量的语句，用p(a，b，c)表示) 解：(1)∃x∈R，x＞2. (2)∀x∈R，x≥0；∃x∈R，x≥0都是真命题． (3)∃x∈Z，x是偶数； (4)∃x∈R，若x是无理数，则x是无理数； 2 2 2 2 2 2 2 2 4 如2 (5)∃a，b，c∈R，有a＋b＝c. 21．(本小题满分12分)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x－3x＋m＝0}． (1)当m＝2时，求M∩N，M∪N； (2)当M∩N＝M时，求实数m的值． 解：(1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x－3x＋2＝0}＝{1，2}， 则M∩N＝{2}，M∪N＝{1，2}． (2)因为M∩N＝M，所以M⊆N，因为M＝{2}，所以2∈N. 所以2是关于x的方程x－3x＋m＝0的解， 即4－6＋m＝0，解得m＝2. 22．(本小题满分12分)已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}． (1)求a＝10时，求A∩B，A∪B; (2)求能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围． 解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}． 又B＝{x|3≤x≤22}． 所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}． (2)由A⊆(A∩B)，可知A⊆B. 又因为A为非空集合， 2 2 2 222 2a＋1≥3， 所以3a－5≤22，解得6≤a≤9. 2a＋1≤3a－5， 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容