小学奥数 行程问题(上)

专题二：行程问题（上）

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小升初 走进重点中学 奥数培训 能力晋级（专题培训二） 陈欢

例1.A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行

驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？

分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。 解：后半段路程长：240÷2=120（千米）

后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时） 后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时) 原计划速度为：240÷6=40（千米/时） 汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。 答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。

例2.两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少

行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？ 分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。 解：轮船顺水速度为：231÷11=21（千米/时）

轮船逆水速度为：21－10=11（千米/时）， 逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时） 答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。

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例3.汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时48千米

的速度返回到甲地，求该车的平均速度。

分析：求平均速度，就要考虑用总路程除以总时间。 解：设从甲地到乙地距离为S千米。

S S 5 S 则汽车往返用的时间为：S÷48＋S÷72= ＋ = 48 72 144 5 S 平均速度为：2S÷ =144÷5×2=57.6(千米/时) 144

答：该车的平均速度为57.6千米/时

注：平均速度并不是求几个速度的平均值，因为用各速度行驶的时间不一样。

例4.一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均

速度为每小时40千米，要想使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？

分析：求速度，首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程和总时间的关系。 解：剩下的路程为300－120=180（千米）

计划总时间为：300÷50=6（小时）

剩下的路程计划用时为：6－120÷40=3（小时） 剩下的路程速度应为：180÷3=60（千米/小时） 答：剩下的路程应以60千米/时行驶。

注：在简单行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法。

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随堂演习（实外P176，二.8）：

甲、乙两地相聚1500千米，飞机从甲地到乙地是顺风，需2小时，从乙地返回甲地需2.5小时，则飞机往返的平均速度为多少？

例5.骑自行车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行驶，下午1时到；以每

小时15千米的速度行进，上午11时到；如果希望中午12时到，应以怎样的速度行进？

分析：求速度，先找相应的路程和时间，本题中给了以两种方法骑行的结

果，这是求路程和时间的关键。

解：达到时，速度15千米/小时比10千米/小时，少用的时间：

下午1时=13时，13-11=2（小时）

设，以每小时10千米的速度行驶，到达乙地的时间为x小时，

那么，以每小时15千米的速度行驶，到达乙地的时间为x－2小时。

10x = 15（x－2）

x = 6

总路程：10×6 = 60（千米） 出发时间：13－6 = 7（时）

中午12时到，则行驶时间为：12－7 = 5（小时） 速度应该为：60÷5 = 12（千米/小时） 答：若想12时到达，应以12千米/小时速度骑行。

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例6.一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，时速1500千米，

回来时逆风，时速为1200千米，这架飞机最多飞出多远就需往回飞？ 分析：由于是往返，所以路程相同，速度与时间成反比。 解：往返速度比为：1500:1200 = 5:4

所以往返时间比为：4:5 ；又知：往返总时间为6小时，

8 往，时间为：6÷（5＋4）×4 = （小时） 3 8 路程为：1500× = 4000（千米） 3

答：这架飞机最多飞出4000千米就需往回飞？ 随堂演习（成外P188，五.3）：

换方法求解：如果，设这架飞机最多飞出x千米就需往回飞，求解这道题。

例7.有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡，平路

及下坡的路程相等，某人骑车过桥时，上坡平路，下坡的速度分别为4米/秒、6米/秒、8米/秒，求他过桥的平均速度。 分析：平均速度还是要由总路程除以总时间求得。 解：设这座桥上坡、平路、下坡各长为S米，

13 过桥总时间为：S÷4＋S÷6＋S÷8 = S 24 13 7 平均速度为：3S÷ S =5 （米/秒）， 24 13 7 答：骑车过桥平均速度为5 米/秒。 13

注：有时求平均速度并不需要具体的路程和时间，只要不同速度对应的路程，或者不同速度对应的时间即可，不要被条件迷惑。 第5页，共12页 2011年4月

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随堂演习（成外P180，三.5）：

一只小船从甲港开往乙港，去时顺水每小时18千米，返回时逆水每小时12千米，这只小船的平均速度是多少？

随堂演习（实外P165，六.31）

一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比例是1:2:3，某人走各段路的时间所用比为4:5:6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程的平均速度是多少？

例8.某人要到60千米外的农场去，开始他以每小时5千米的速度步行，后来一

辆18千米/时的拖拉机把他送到农场，总共用了5.5小时，问：他步行了多远？

解：设他步行了x千米，那么，他乘拖拉机60－x千米。

x÷5＋（60－x）÷18 = 5.5 x = 15

答：他步行了15千米。

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例9.甲、乙各走了一段路，甲走的路程比乙少1/5，乙用的时间比甲多了1/8，

问甲、乙两人的速度之比是多少？

分析：速度比可以通过路程比和时间比直接求得。 解：设 乙的路程为S，那么甲的路程4S/5; 设 甲用时间为T，那么乙用时间9T/8。

甲的速度 : 乙的速度 =[(4S/5)÷T]:[S÷(9T/8)] = 9:10

答：甲、乙两人的速度之比是9:10

注：甲、乙路程比4/5，时间比8/9，速度比可直接用：4/5÷8/9=9/10，即9：10。

随堂演习（模拟训练数学试题<二>，二.16）：

张明和李莉早上7点出发去学校，张明学校的路比李莉多1/4，而李莉去学校的时间比张明少1/9，那么李莉的速度是张明的______倍。

例10.一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6小时，逆流要8小时，水

流速度为每小时2.5千米，求船在静水中的速度。

分析：顺流船速是静水船速与水流速度之和，而逆流船速是两者之差。 解：设船在静水中速度为x千米/时。

（x+2.5）×6 =(x－2.5)×8

x =17.5

答：船在静水中速度为17.5千米/时。

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例11.一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行，公共汽

车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问：几小时后两车第一次相距69千米？再过多少时间两车再次相距69千米？ 分析：相遇问题中求时间，就需要速度和及总路程。

解：第一次相距69千米时，两车共行驶了：299－69 = 230（千米）

所用时间为：230÷（40＋52）= 2.5（小时）

再次相距69千米时，两车共行驶了：299＋69 = 368（千米）

所用时间为：368÷（40＋52）= 4（小时）

两次时间差：4－2.5 = 1.5（小时） 答：2.5小时后两车第一次相距69千米；

再过1.5小时两车再次相距69千米。

随堂演习（成外P182，六.5）：

甲、乙辆车同时从A、B两地相对开出，相遇时，甲乙辆车的路程比是4:3，相遇后乙车每小时比甲车快12千米，甲车速度不变，结果辆车同时到达目的地。已知乙车一共行了8小时，问A、B两地相聚多少千米？

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例12.甲、乙两人在400米环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑，两个第一次

相遇与第二次相遇间隔40秒，已知甲每秒跑6米，问乙每秒跑多少米？ 分析：环形跑道上相反而行，形成了相遇问题。 解：第一次相遇到第二次相遇，两个人一共跑400米，

因此速度和为400÷40=10（米/秒） 乙速度为10－6=4（米/秒） 答：乙每秒跑4米。

注：环形跑道上的相遇问题要注意一定时间内两人行进路程的总和是多少。

例13.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，他们从同一地点同时出发，背向

绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，照这样计算，当他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 分析：本题重点在于计算第十次相遇时他们所走过的路程。 解：每两次相遇之间，兄妹两人一共走了一圈30米。

因此第十次相遇时二人共走了：30×10=300（米） 两人所用时间为：300÷（1.3＋1.2）=120(秒) 妹妹走了：1.2×120=144(米)

由于30米一圈，回到起点，妹妹的总路程必须是30倍数， 因此妹妹再走6米才能回到出发点。 答：妹妹再走6米才能回到出发点。

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例14.两只小爬虫甲和乙，从A点同时出发，沿长方形ABCD的边按照箭头方向爬行（如下图所示）。在离C点32厘米的E点他们第一次相遇；在离D点16厘米的F点他们第二次相遇，在离A点18厘米的G点他们第三次相遇。问长方形的边AB长多少厘米？

分析：由于总路程和各自的速度没变，

所以相遇时间不变，所以每次 相遇甲（或乙）的路程不变。

A 甲 G B 乙 E

D F C 解：第一次相遇：甲路程 = 长＋（宽－32） 第二次相遇：甲路程 = 32＋（长－16）

长＋（宽－32）= 32＋（长－16） 解之：宽 = 48（厘米） 第三次相遇：甲路程 = 16＋宽＋18 = 82（厘米） 82 = 32＋（长－16） 解之：长 = 66 厘米

随堂演习（成外P209，五.4）： 换个方法求解：用乙的路程求解这道题。

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习题：

1.（成外P193，六.3）

小华从A到B，先下坡再上坡共用7 1 小时。如果两地相距24千米，下坡每小

6

时4千米，上坡每小时3千米，那么原路返回要多少小时？

2.（实外P179，五.26）

小刚在560米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米，小刚跑后半程用了多少秒？

3.（麓山P107，五.4）

甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时甲、乙两车的速度比是5:4。相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%。这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么A、B两地相距多少千米？

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参 考 答 案

随堂演习：

1.（实外P176，二.8）：666又2/3 千米/小时 1500×2÷（2＋2.5）= 666又2/3（千米/小时）

2.（成外P188，五.3）：4000千米

x÷1500＋x÷1200 = 6 解之：x = 4000

3.（成外P180，三.5）：14.4千米/小时 2S÷(S÷18＋S÷12)= 14.4千米/小时

4.（实外P165，六.31）：4.8千米/小时

路程：↑60/6=10千米，→20千米，↓30千米 时间：↑10/3=10/3小时，→25/6小时，↓5小时

平均速度：60÷（10/3＋25/6＋5）= 4.8（千米/小时）

5.（模拟训练数学试题<二>，二.16）：0.9倍

6.（成外P182，六.5）：288千米

相遇时,时间一样,速度与路程成正比,甲速:乙速 = 4:3,剩下路程比3:4 同时到达,甲速:乙速=3:4,乙速-甲速=12千米,甲速36千米,乙速48千米 AB距离，36×8 = 288千米(由于甲是匀速，所以用甲的速度计算)

7.（成外P209，五.4）：66厘米

宽＋长＋32 = 宽－32＋长＋宽＋16 宽 = 48厘米

48－32＋长＋48＋16 = 长－16＋48＋长－18 长 = 66厘米

习题：

1.（成外P193，六.3）：6又5/6 小时

设A→B下坡t小时,4t+3(43/6-t)=24→t=5/2∴4t=10千米,24-10=14千米 B→A 10÷3＋14＋4 = 6又5/6（小时）

2.（实外P179，五.26）：45秒

前半时间与后半时间的路程比4:3，前半时路程320米，后半时路程240米。 后半程时间，（560/2－240）÷8＋240÷6 = 45（秒）

3.（麓山P107，五.4）：450千米

相遇时，时间相等，速度与路程成正比，甲乙路程比5:4，剩下的路程比4:5 相遇后，甲速度:乙速度=[5×(1－20%)]:[4×(1＋20%)]=4:4.8 设剩下的路程，甲4S千米,乙5S千米，那么到达甲B地时：

4S÷4v = (5S－10)÷4.8v 解之：S = 50 那么4S＋5S = 450（千米）

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