正弦定理练习题

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )

A.6 B.2 C.3 D．26

abasinB解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝6.

sinAsinBsinA2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )

32

A．42 B．43 C．46 D.

3

asinB解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝46.

sinA3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，

b＝42，则角B为( )

A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对

bsinA2

解析：选C.由正弦定理＝得：sinB＝＝，又∵a>b，

sinAsinBa2

∴B<60°，∴B＝45°.

4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )

A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定

解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，

abB＝45°，b＝2，则c＝( )

11

A．1 B. C．2 D.

24解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由2×sin 30°

＝＝1.

sin45°

cos Ab6．在△ABC中，若＝，则△ABC是( )

cos Ba第 1 页

bsinB＝

csinC得cA．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

bsin Bcos Asin B解析：选D.∵＝，∴＝，

asin Acos Bsin AsinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B

π

即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.

2

7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )

3A. 23

C.或3 2

3B.

433D.或 42

ABAC3

解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，

sinCsinB2

∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.

1

再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．

2

8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )

A.6 C.3

B．2 D.2

62

解析：选D.由正弦定理得＝，

sin120°sinC1

∴sinC＝.

2

又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°， △ABC为等腰三角形，a＝c＝2.

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，

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π

C＝，则A＝________.

3

解析：由正弦定理得：

＝，

sinAsinCaca·sinC1

所以sinA＝＝.

c2

ππ

又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝.

36π

答案：

6

43

10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.

3

解析：由正弦定理得

asinAsinB＝

b 14×

2bsinA3

⇒sinB＝＝＝.

a243

33

答案： 2

11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.

解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，

ab12×sin30°由＝得，a＝＝43， sinAsinBsin120°

∴a＋c＝83.

答案：83

12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB， 代入式子a＝2bcosC，得

2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，

第 3 页

所以sinA＝2sinB·cosC，

即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC， 化简，整理，得sin(B－C)＝0.

∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°， ∴－180°＜B－C＜180°， ∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形

13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则

a＋b＋c＝________，c＝________.

sinA＋sinB＋sinCa＋b＋ca63

解析：由正弦定理得＝＝＝12，又

sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°

11

S△ABC＝bcsinA，∴×12×sin60°×c＝183，

22

∴c＝6.

答案：12 6

14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则

a－2b＋c＝________.

sin A－2sin B＋sin C解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，

a1

∴2R＝＝＝2，

sinAsin30°

又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，

a－2b＋c2Rsin A－2sinB＋sin C∴＝＝2R＝2. sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C答案：2

1

15．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝，S＝43，则b＝________.

3△ABC221

解析：依题意，sinC＝，S△ABC＝absinC＝43，

32

第 4 页

解得b＝23. 答案：23

16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．

1

解析：∵bsinC＝43×＝23且c＝2，

2∴c17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

1

解：在△ABC中，BC＝40×＝20，

2

∠ABC＝140°－110°＝30°，

∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得

BC·sin∠ABCAC＝

sinA20sin30°＝＝102(km)．

sin45°

即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km.

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sincos＝，sin Bsin C＝cos，求A、B及b、c.

242

2

C2

C1A1解：由sincos＝，得sinC＝，

2242

CC1

第 5 页

π5π

又C∈(0，π)，所以C＝或C＝.

66由sin Bsin C＝cos

2

A2

，得

1

sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]，

2

即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，

即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，

π5π

即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，

662π

A＝π－(B＋C)＝.

3由正弦定理

＝＝，得

sin Asin Bsin C12

abcsin Bb＝c＝a＝23×＝2.

sin A3

22ππ

故A＝，B＝，b＝c＝2.

36

19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对310

应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；

510(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．

10

解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝，

10310

∴cos B＝1－sinB＝.

10

2

3525

又cos 2A＝1－2sinA＝，∴sinA＝，cos A＝，

555

2

第 6 页

∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B 253105102＝×－×＝.

5105102π又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.

43π2

(2)由(1)知，C＝，∴sin C＝.

42由正弦定理：

asin Asin Bsin C＝b＝c得

5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b. ∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1. ∴a＝2，c＝5.

20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，

求边b的长．

11

解：由S＝absin C得，153＝×603×sin C，

22

1

∴sin C＝，∴∠C＝30°或150°.

2又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.

当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°. 又∵ab＝603，＝，∴b＝215.

sin Asin B当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)． 故边b的长为215.

ab第 7 页