电磁场与电磁波试题及答案

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJDB,E,B0,D，(3分)（表明tt了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁

场也是电场的源。

1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别：

2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。

1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。

2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。

2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。

1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？

2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM波。

在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。

2. 时变场的一般边界条件 D2n、E2t0、H2tJs、B2n0。 (或矢量式nD2、nE20、

nH2Js、nB20)

1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位BA,A0；动态矢量位EAA。或E库仑规范与洛仑兹规范的作用都

tt是A的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义

2. Ads 是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量。若Ф> 0，流出S面的通量大于流入的通量，即通

s

量由S面内向外扩散，说明S面内有正源若Ф< 0，则流入S面的通量大于流出的通量，即通量向S面内汇集，说明S面内有负源。若Ф=0，则流入S面的通量等于流出的通量，说明S面内无源。

xy1. 证明位置矢量

2. 证明在直角坐标系里计算

rexeyezz 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 ，则有

r(r)exeyez(exxeyyezz)

yzxxyz3 xyz若在球坐标系里计算，则

1213(rr)(r)3由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 22rrrr1. 在直角坐标系证明A0

r(r)2.

1

AAAAAAAeyez)[ex(zx)ey(xz)ez(yx)] xyzyzzxxyAAAAAA(zy)(xz)(yx)0xyzyzxzxy(ex1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。

2. 亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。 例静电场

Ddsqs0 D0 有源

ReRR。

Edll0 E0 无旋

1. 已知

2. 证明

Rrr，证明

RRRRRxxyyzz RexeyezexeyezxyzRRRR …… R

1. 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式 ，恒定电流的呢？ 2. 一般电流JdSdq/dt0,J/t； 恒定电流JdS0,J0

1. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场中呢？

2. 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个

力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使 电偶极子中心 发生平动，移向电场强的方向。 1. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式 。 2. 答静电场基本方程的 积分形式

0微分形式 D,E0

sEds1q ，Edl0

l

1. 试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。 2. 静电场基本方程微分形式D,E源是是电荷的分布）。

1. 试说明导体处于静电平衡时特性。 2. 答导体处于静电平衡时特性有

①导体内 E0；

②导体是等位体（导体表面是等位面）；

③导体内无电荷，电荷分布在导体的表面(孤立导体，曲率)； ④导体表面附近电场强度垂直于表面，且 2. 答在界面上D的法向量连续

0 ，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激发静电场的

En/0。

1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。

；E的切向分量连续E1tE2t或（D1nD2n或（n1D2n1D2）

n1E1n1E2）

1. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。 2. 在界面上D的法向量

；E的切向分量E2t0或（n1E20） D2n或（n1D2）

1. 试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。

2

2. 答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为11. 试推导静电场的泊松方程。 2. 解由 D2，1，

122 nn

，其中 DE,E



DE 为常数

21. 简述唯一性定理，并说明其物理意义

2. 对于某一空间区域V，边界面为s，φ满足

，

给定



泊松方程

（对导体给定q）

则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法……），还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。

1. 试写出恒定电场的边界条件。 2. 答恒定电场的边界条件为

，

，

1. 分离变量法的基本步骤有哪些?

2. 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定的函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。

1. 叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？

2. 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据是唯一性定理。

1. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义。 2. 答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为

Bds0’ B0 HdlIHJsl

说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。1. 试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。

2. 答:恒定磁场的边界条件为:n(H1H2)Jsn(B1B2)0，说明磁场在不同的边界条件下磁场强度的切

,

向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。 1. 由矢量位的表示式

A(r)04J(r)dR证明磁感应强度的积分公式

B(r)并证明B0

2. 答

04J(r)Rd3R

B(r)A(r)

0J(r)d4R

J(r)10d0J(r)()d4R4R

3

1. 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。 2. 解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程

B[A(r)]0

00J(r)RRJ(r)()dd334R4R

E0和D

由D得

Dd据散度定理，上式即为

d

DdSqs利用球对称性，得

Der故得点电荷的电场表示式

q4r2 q4r2

由于E0，可取E，则得

即得泊松方程

EerDE2

21. 写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。 2. 解 空气和理想导体分界面的边界条件为



根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式 即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件

nE0nHJs

EHHEJsJms

nH0式中，Jms为表面磁流密度。

1. 写出麦克斯韦方程组（在静止媒质中）的积分形式与微分形式。 2.

nEJms

DD)dSHJ lsttBBEdldSE lsttBdS0 B0 Hdl(JssDdSq D

1. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。 2. 答边界条件为

E1tE2t0 或 nE10

H1tJs 或 nH1Js

B1nB2n0 或 nB10

4

D1ns 或 nD1s

1. 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。 2. 答

HjE

EjH

B0 D0

1. 试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。 2. 答波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。 圆极化的特点ExmEym，且Exm,Eym的相位差为， 20,， 或2直线极化的特点Exm,Eym的相位差为相位相差0,， 椭圆极化的特点ExmEym，且Exm,Eym的相位差为1. 能流密度矢量（坡印廷矢量）S是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的？

2. 答能流密度矢量（坡印廷矢量）S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印廷定理的表达式为(EH)dSsdd12122(WeWm)P(EH)dS(EH)dEd，或 反映dtdt22s了电磁场中能量的守恒和转换关系。

1. 试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质？（设媒质无限大） 2. 答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减 ； 电场和磁场不同向；以平面波形式传播。

E1tE2t、H1tH2tJs、B1nB2n。2. 时变场的一般边界条件 D1nD2n、 (写成矢量式n(D1D2)、n(E1E2)0、n(H1H2)Js、n(B1B2)0一样给5分) 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJDB,E,B0,D（表明了电磁tt场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是

电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件

2. 时变场的一般边界条件 D2n、E2t0、H2tJs、B2n0。 (写成矢量式nD2、nE20、

nH2Js、nB20一样给5分)

1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. .答矢量位BA,A0；动态矢量位EAA。库仑规范与洛仑兹规范的作用或Ett都是A的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1. 描述天线特性的参数有哪些？

2. 答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。 1. 天线辐射的远区场有什么特点？

2. 答天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒质的本征阻抗，有能量向外辐射。 1. 已知

(1) 穿过面积

(2) 在上述面积中心处电流密度的模； (3) 在上述面上

的平均值 。

5

求

在方向的总电流

2.

(1)

(2) 面积中心 , ,

(3)

的平均值

1. 利用直角坐标系证明(fG)fG(f)G

(fAx)ex(fAy)ey(fAz)ez2. 证明左边=(fA)(fAxexfAyeyfAzez)（ xyz(Ay)ey(f)ey(Ax)ex(f)exfAxfAyxxyyf(Az)ez(f)ezAzzz(Ay)ey(Ax)ex(f)ex(Az)ez[fff][Axxyzx(f)ey(f)ey=右边 AyAy]yy

fAAf

1. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为

j(20z)4j20z42Eax10eay10e(v/m)

求（1）平面波的传播方向；

（2）频率；

（3）波的极化方式； （4）磁场强度；

 （5）电磁波的平均坡印廷矢量Sav。 2. 解（1）平面波的传播方向为＋ｚ方向 （2）频率为fk0c3109Hz 2（3）波的极化方式因为ExmEym104,xy0（4）磁场强度

22，故为左旋圆极化．

6

H101azE(azax104jazay104)ej20z00(ay104jax104)ej20z11Re[EH*]Re[(ax104jay104)ej20z22

0（5）平均功率坡印廷矢量

Sav10(ay104jax104)ej20z

1(104)2(104)2[]az20011[2108]az21200.2651010az(W/m2)

1. 两平行无限长直线电流1和2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力2. 解 无限长直线电流1产生的磁场为

IIFm。

IB1eI0I12r

直线电流2每单位长度受到的安培力为

1Fm12I2ezB1dze1200I1I22d式中

e12是由电流1指向电流2的单位矢量。

II

同理可得，直线电流1每单位长度受到的安培力为

IFm21Fm12e12

0I1I22d

1. 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。 2. 解 球面上的电荷面密度为

Q4a2

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量rera点处的电流面密度为

将球面划分为无数个宽度为dlad的细圆环，则球面上任一个宽度为dlad细圆环的电流为

JSvωrezera

Qeasinesin4a

dIJSdlQsind4

dacos，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环

细圆环的半径为basin，圆环平面到球心的距离

电流在球心处产生的磁场为

dBez0b2dI2(b2d2)320Qa2sin3dez8(a2sin2a2cos2)32

7

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

0Qsin3dez8a

0Qsin3QBezdez008a6a

1. 半径为a的球体中充满密度(r)的体电荷，已知电位移分布为

r3Ar2(ra)5DraAa4

(ra)r2其中A为常数，试求电荷密度(r)。 2. 解 由D，有

1d2(r)D2(rDr)

rdr故在ra区域

1d23(r)02[r(rAr2)]0(5r24Ar)

rdr在ra区域

1d2(a5Aa4)(r)02[r]0

rdrr2

1. 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为Eer(ra)，设球内介质为真空。计算（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

2. 解 （1） 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为

41d21d2r4r30E0[2(rE)]0[2(r4)]604

rdrrdraa（2）球体内的总电量Q为

r3Qd6044r2dr40a2

a0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为

a2Q20 4a21. 一个半径为R的介质球，介电常数为，球内的极化强度PerKr，其中K为一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。 2. 解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为

pP1d2KK(r) r2drrr2K R在rR的球面上，束缚电荷面密度为

pnPrRerPrR（2）由于D0EP，所以

D0EP即

0DP (10)DP 8

由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

D总的自由电荷量

0P0pK

(0)r2KR14RK2qd4rdr 2r000（3）介质球内、外的电场强度分别为

PKer(rR) 0(0)rqRKE2ere(rR) r2240r0(0)rE1介质球内、外的电位分别为

R1EdlE1drE2dr

rrRKRKdrdr 2(0)r(0)rrR0KRKln(rR) 0r0(0)RRKRKdr(rR) 2(0)r0(0)rrr04U1nynx(x,y)0sinh()sin()

n1,3,5,nsinh(nba)aa2E2drxU02bU01ndnynbysin(b)sin(b)e bd2n1n2Wm0rl014000.0011.487Wm2r0l020.150.0011. 海水的电导率，相对介电常数的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。 2. 解 先判定海水在各频率下的属性

1cos(9109t30z)A/m3Eex40cos(9109t30z)V/m

r814S/mHey

。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz

48.81082fr02f810f

17f10Hz可见，当时，满足，海水可视为良导体。此时

f0c(1j)f=10kHz时

f0 9

10103410740.1260.396Np/m2215.87m0.126c(1j)f=100kHz时

10103410740.099(1j)

100103410741.26Np/m225m1.26c(1j)f=1MHz时

100103410740.314(1j)

106410743.96Np/m221.587m3.96c(1j)f=10MHz时

106410740.99(1j)

101064107412.6Np/m220.5m12.6c(1j)10106410743.14(1j)

1当f=100MHz以上时，不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，

2f2f0f=100MHz时

0r0221()12fr021()12fr00r020(r0)1j(2fr0)

37.57Np/m42.1rad/m20.149mcf=1GHz时

4214.05ej41.81j8.9

10

69.12Np/m203.58rad/m20.03m04236.5ej20.81j0.

r80,r1,4S/m1. 有一线极化的均匀平面波在海水()中沿+y方向传播，其磁场强度在y=0处为

Hex0.1sin(1010t/3)A/m

（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。

443610100.189108010801002. 解 （1）

10可见，在角频率10时，海水为一般有损耗媒质，故

21()128000[10.1821]83.9Np/m2101021()128000[10.1821]300rad/m21010c1j08001j0.1842.1541.82ej0.028j0.0281.008e1010vp0.333108m/s300226.67103m30011c11.92103m83.9

yy0.1得 （2）由0.010.1e即e11yln102.303m27.4103m83.9

H(y,t)ex0.1e83.9ysin(1010t300y)A/m3（3）

其复数形式为

H(y)ex0.1e故电场的复数表示式为

83.9yj300yeej3A/m

11

E(y)cH(y)ey41.82eez4.182e则

83.9yj0.0280.1e83.9yej(300y)32exey

ej(300y0.028)32 V/mE(y,t)Re[E(y)ejt]ez4.182e83.9ysin(1010t300y

30.028)V/m

12