数列教师讲义2017

一、数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即anf(n). 3.递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1,an2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式.如数列an中，a11,an2an1，其中an2an1是数列an的递推公式. 4.数列的前n项和与通项的公式 S1(n1)①Sna1a2an；②an. SS(n2)n1n5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何nN,均有an1an. ②递减数列:对于任何nN,均有an1an. ③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,. ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M使anM,nN. ⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得anM. 课堂练习 1、已知ann1*{a}，则在数列的最大项为__（答：）； (nN)n25n2156an2、数列{an}的通项为an，其中a,b均为正数，则an与an1的大小关系为___

bn1（答：anan1）；

3、已知数列{an}中，ann2n，且{an}是递增数列，求实数的取值范围（答：； 3）

课后练习 一、选择题

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1．下列有关数列的说法正确的是() ①同一数列的任意两项均不可能相同； ②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列； ③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② C．②③

2．下面四个结论：

①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数． ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③数列的项数是无限的． ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( ) A．①② C．②③ B．①②③ D．①②③④ B．①③ D．③

3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项( ) A．18 C．25 B．21 D．30 4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( ) A．递增数列 C．常数列 B．递减数列 D．摆动数列 5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( ) A．an＝2n－1 C．an＝(－1)n(2n－1) B．an＝(－1)n(1－2n) D．an＝(－1)n(2n＋1) 6．已知数列，，2，，…，则2可能是这个数列的( ) A．第6项 C．第10项

B．第7项 D．第11项

7．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝( ) A．1 C．1000

B．1999 D．－1

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8．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是( )

9．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－cosnπ C．an＝2sin2

D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)

10．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3 (n∈N*)，则f(n)是( A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 二、填空题 1/.，，，，，…的一个通项公式是________． 2．已知数列，，，，，…，那么3是这个数列的第________项． 3．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋，则a6＝__________. 4．已知数列{an}的通项公式an＝，则a2·a3＝__________. 三、解答题 1．写出下列数列的一个通项公式． (1)－，，－，，…； (2)2,3,5,9,17,33，…； (3)，，，，，…； (4)1，，2，，…； (5)－，，－，，…； (6)2,6,12,20,30，…. 2．已知数列{an}中，an＝，判断数列{an}的增减性． 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)求数列{an}中有多少项是负数？

(2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．

二、等差数列

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)

1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即

anan1d(nN*,且n2).(或an1and(nN*)).

2、（1）常见等差数列的判断方法：

①定义法：an1and(常数)an为等差数列。 ②中项法：2an1anan2an为等差数列。

（2）等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。公式变形为:ananb.其中a=d,b=a1－d. 如1、等差数列{an}中，a1030，a2050，则通项an ； 2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是8______（答：d3） 3（3）等差数列的前n和：Snn(a1an)n(n1)，Snna1d。公式变形为：22snAn2Bn，其中A=d2，B=a1d.注意：已知n,d,a1,an,sn中的三者可以求2另两者，即所谓的“知三求二”。 1315如数列{an}中，anan1(n2,nN*)，an，前n项和Sn，则222a1＝＿，n＝＿（答：a13，n10）； （4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A3.等差数列的性质： ab。 2（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于222SSn的二次函数且常数项为0.等差数列{an}中，n是n的一次函数，且点（n，n）

nn均在直线y=

ddx+(a1－)上 22来源：网络转载

（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.

如1、等差数列{an}中，Sn18,anan1an23,S31，则n＝____（答：27）； (4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,akm,ak2m,...(k,mN*)成等差.

{bn}是等差数列，{kanpbn}(k、p是非零常数)、若{an}、则{kan}、{apnq}(p,qN*)、Sn,S2nSn,S3nS2n（公差为n2d）．，…也成等差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225） （5）单调性：设d为等差数列an的公差，则 d>0an是递增数列；d<0an是递减数列；d=0an是常数数列 课本45页例4类型、等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）； 等差数列练习 一、选择题 1、等差数列an中，S10120，那么a1a10（） A.12B.24C.36D.48 2、已知等差数列an，an2n19，那么这个数列的前n项和sn（） A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数 C.有最大值且是整数D.有最大值且是分数

13、已知等差数列an的公差d，a2a4a10080，那么S100

2A．80 B．120 C．135 D．160． 4、已知等差数列an中，a2a5a9a1260，那么S13

A．390

B．195

C．180

D．120

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5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）

A.0B.90C.180D.360

6、等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()

A.130B.170C.210D.260

7、在等差数列an中，a26，a86，若数列an的前n项和为Sn，则（） A.S4S5B.S4S5C.S6S5D.S6S5

8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（） A.13B.12C.11D.10 9、已知某数列前n项之和n3为，且前n个偶数项的和为n2(4n3)，则前n个奇数项的和为（） 1B．n2(4n3) C．3n2D．n3 210若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（） A．6B．8C．10D．12 二．填空题 A．3n2(n1) 1、等差数列an中，若a6a3a8，则s9. 2、等差数列an中，若Sn3n22n，则公差d. 3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3a712,a4a64，则前10项的和S10= 5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为列的第6项是 *6、两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，若三．解答题

1、在等差数列an中，a40.8，a112.2，求a51a52a80.

25，偶数项的和为15，则这个数2Sn7n3a，则8. Tnn3b82、设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S12>0，S13<0， ①求公差d的取值范围； ②S1,S2,,S12中哪一个值最大？并说明理由.

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3、己知{an}为等差数列，a12,a23，若在每相邻两项之间插入三个数，使它

和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？

4、设等差数列{an}的前ｎ项的和为Sn,且S4=－62,S6=－75,求：（1）{an}的通项公式an及前ｎ项的和Sn；（2）|a1|+|a2|+|a3|+……+|a14|.

5、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每

年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（Ⅰ）问第几年开始获利？ （Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：

（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； （2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船. 问哪种方案合算 来源：网络转载