巧妙进行“1”的代换，快速解答证明题

巧妙进行“1”的代换，快速解答证明题刘远桃

数字“1”，简单而又神秘.在解数学题时，巧妙地进本不等式就能求得最值，证明不等式成立.

行“1”的代换，可快速求解证明题.下面，我们结合几个例2.已知例题来探讨一下如何巧妙地进行“1”的代换.

tanθ=3,证明：sin2θ+1sinθcosθ-一、乘（除）“1”

3cos2θ=32我们知道，任何数乘（除）以“1”等于任何数.若某证明：4.

sin2θ+个代数式等于1，则可将所证目标式或者某个代数式1sinθcosθ-3cos2θ

乘（除）以“1”，这样不仅不会改变目标式或者代数式的大小，还会改变目标式或者代数式的结构、形式，这=sin2θ+122sinθcosθ-3cos2θ便给我们解题带来了新的契机.通过通分、约分、正负相消等，化简目标式或者代数式，即可证明结论.

=sinsin2θ+cos2θcos22θθ例1.已知a,b>0,sin+2sincosθθ-3cos22θθ+12b(2a1+b)+a(2b1+a)=1,证明：ab≤3.=tan2θ+tan122θtan+1θ-3,证明：ab=ab×1=abéê又tanθ=3,将其代入上式得ëb(2a1+b)+a(2b1ù+a)úû

=

atan2θ+tan122θtan+1θ-3=9+32-3==2a此题主要考查三角函数恒等变换的技巧9+134..因为2+1+b+2bb+aba+2+1ab,tan令t=ba，则1t=ab,

sin2θ=3，所以可θ+cos2θ=1、sin根据同角的三角2函数关系式所以ab=21+t+21+1=21+t+2tt+1=2tt2

2++45tt++123coscosθθ=tanθ，将sinθ+12sinθcosθ-2θ除以“1”，便能将目标式转化为只含有tanθ的式子，即可解题.=1例3.已知a,b,c>0，a+b+c=1,求证：æè1+1aöøæè1+1böø⋅=21∙2t2

2+tt25+t5+t2++3tæ2çæè1+2t2+35t2t+2ö÷ø

è1+1cöø≥.证明：æè=1æöæçö÷1+1aöøæè1+1böøæè1+1cöø2ççççè1+2t+32÷÷÷t+5÷ø≤12çç1+3=æ1+a+b+cöæ1+a+b+cèaböæ1+a+b+cøèøècöøè22t∙2÷t+5÷ø=23.=æè1+1+ba+acöæ1+1+a+cöæ1+1+aøèbbøèc+bcöø观察已知条件不难发现，等式b(2a1+b)+a(2b1+a)≥44bc44a2∙4acb2∙4abc2=.数=1左边的式子具有对称性，将ab乘以“1”，再将b

我们将已知条件和所证目标式关联起来，可发现学a整

体换元，便可得到只含有一个未知数的式子，借助基

将æ1+1öæ1+1öæ1+1ö与a+b+c相乘，可以使目标篇èaøèbøècø55备考指南

111式简化.于是将æ1+öæ1+öæ1+ö乘以“1”，通过约

aøèbøècøè

则2t3-3t2+1≥0,(t-1)(2t+1)≥0,

所以t≥-1时，f′(t)≥0,

2又t≥4,所以f(t)在t≥4上单调递增，

115所以f(t)min=f(4)=16-12-=,

44221的最小值为15.即a+b-ab-a+b4将不等式左边的式子化简为只含有a或b的式子，再来求最小值，这与例1的证明思路相同，这也是

2

分，便为运用基本不等式创造了条件，根据基本不等111式即可求得æ1+öæ1+öæ1+ö的最值，从而证明目

aøèbøècøè

标不等式成立.

二、将等于“1”的式子代入求解

该思路比较简单，只需根据解题需求，将等于“1”的代数式直接代入目标式或者某个代数式中进行运算，运用一些相关的定理、法则、公式等，即可证明结论.

证明这种题型的常规思路，理论上说可行，但就此题而言，这种证明方法却较为繁琐，主要有两个原因：一是a与b的表达式比较复杂，二是代入的式子本身比较复杂，因此不能同例1那样直接乘“1”，而是要变“1”，采用整体思想，进行代入和换元，把式子转化为只含有一个未知数的形式，再来求最小值.

四、构造出等于“1”的式子，再代入求解

要构造出等于“1”的式子，需根据解题需求、已知条件、相关的公式、定理、法则等构造出等于1的代数式，然后将其代入题设中进行求解.

例6.若a,b,c,d>0,求证：3b+c+d+

33+

a+c+da+b+d例4.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：3a+1+

3b+1+3c+1≤32.

证明：由柯西不等式得

=1∙3a+1+1∙3b+1+1∙3c+1=3∙3(a+b+c)+3

3a+1+3b+1+3c+1

≤1+1+13a+1+3b+1+3c+1

=32.

此题中只有一个已知条件，需借助柯西不等式ai,bi>0,则∑aibi≤

ni=1

数学篇56

转化为积的形式，这样便可将目标不等式左边的式子转化为a+b+c的形式，将“a+b+c=1”代入，即可证明结论.

三、变换等于“1”的式子，再代入求解变换等于“1”的式子，一般难度较大.往往需要根据解题需求，将等于1的代数式进行适当的变形，如凑系数、乘（除）以某一常数、拆项、添项等，使等于1的代数式变形为方便解题的式子.

22111例5.已知a,b>0,a+b=1,求证a+b-ab-a+b≥15.4证明：由a,b>0,1+1=1,

ab得到ab=a+b≥2ab,所以ab≥4,

2

a2+b2-ab-1=(a+b)-3ab-1a+ba+b21=(ab)-3ab-,

ab设t=ab,则t≥4,

21设f(t)=t-3t-,问题转化为求函数f(t)在t

t≥4上的最小值，

f′(t)=2t-3+1,令2t-3+1≥0，2tt2∑ai2∙

ni=1将三个单项式的和∑bi2，

ni=1

+

316≥.

a+b+ca+b+c+d证明：不妨设a+b+c+d=1,

于是1+1+1+1≥16,

1-a1-b1-c1-d3设f(x)=1,01-x则f′(x)=12,f″(x)=23,

(1-x)(1-x)所以f(x)为(0,1)上的凸函数，由琴生不等式得

1+1+1+1=f(a)+f(b)+f(c)+f(d)1-a1-b1-c1-d≥4fæ1ö=4∙1=16.

è4ø1-134所以原式得证.

此题有一定难度.首先设a+b+c+d=1，这便构

造出等于“1”的式子，再运用琴生不等式进行证明即可.这种证明方法在证明不等式时应用广泛，不失为一种具有普遍意义的解题方法.

通过上述分析，不难发现“1”在解题中能发挥巨大的作用，但数字“1”是比较容易被忽视的，忽视它往往就会错失了解题的重要依据.这也给我们一个启示：在解题过程中要仔细审题，深入挖掘隐含条件，尤其要关注等于“1”的式子，找到过程最简洁的解题方案.

（作者单位：贵州师范大学数学科学学院）