一类平面微分系统极限环的存在唯一性

2000年5月

工　程　数　学　学　报

JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICS

Vol.17No.2May2000

文章编号:100523085(2000)0220121203

一类平面微分系统极限环的存在唯一性

李建全　　杨友社

(空军电讯工程学院基础部,西安710077)

α

得到了平面微分系统xα=-y+∆x+ax2m+bx2mΥ(x),yα=x2n-1(m,n∈N)极限环的存在性,唯一性和不存在性的完整结果。

关键词　微分方程,极限环,存在性,唯一性

分类号　AMS(1991)34C05　　　中图分类号:O175.12　　　文献标识码:A

摘　要

文文研究的平面微分系统为

2m2mαx=-y+∆x+ax+bxΥ(x)

(1)　　α2n-1

y=x

其中m,n∈N,Υ(x)满足(H1):Υ(x)解析,且为奇函数;(H2):xΥ(x)>0当x≠0;Υ(0)=0,

′\"(x)≥0　　xΥ(x)≥0.Υ(+∞)=+∞;(H3):Υ

定理1　当a=0,∆b≥0时,系统(1)不存在极限环。证明　当a=0时,系统(1)变为

2mαx=-y+∆x+bxΥ(x)≡-y-F(x)

(2)　　α2n-1

()y=x≡gx

2n2xydG2m

其中F(x)=-∆x-bxΥ(x),设G(x,y)=+,则󰃜(2)=x2n[∆+bx2m-1Υ(x)]

2n2dt

22

易见,当∆+b=0时,原点O为系统(2)的中心;

dG又xΥ(x)≥0,则当∆2+b2≠0,∆b≥0时,󰃜(2)常号,所以此情形下系统(2)不存在极限环,

dt

即定理1成立。

定理2　当a=0,∆b<0时,系统(2)存在唯一的极限环。此环当∆>0时是稳定的,当∆<0时是不稳定的。

λ证明　不妨设∆>0,b<0(∆<0,b>0时可对式(2)作变换:x=-θx,y=y,t=-γ,化成∆>0,b<0的情形)。Σ

在系统(2)中,g(x)为奇函数,且当x≠0时,xg(x)>0;由于Υ(x)是奇函数,所以

α

收稿日期:1998201231.

© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

122工　程　数　学　学　报　　　　　　　　　　　　　第17卷

′

(x)]。[∆+2mbx2m-1Υ(x)+bx2mΥ

1

(x)=-Υ(x),则F(x)=-xh(x),F′

′

F(x)也是奇函数,且F(x)=-

记h(x)=∆+bx2m-[h(x)+(2m-′′(x)]。(x)=bx2m-2[(2m-1)Υ(x)+xΥ(x)]<0当x>0;1)bx2m-1Υ(x)+bx2mΥ而h′

h(0)=∆>0,h(+∞)=-∞,所以存在x0>0,当00;当x≥x0时

′

h(x)≤0,即当00。

又显然有

∫

0

+∞

′

g(x)dx=F(+∞)=+∞,同时F(x)和g(x)在任何有限区间上满足

Lipschetz条件,因此LevinsonN.SmithOK.定理[1]的条件满足,故定理2成立。

λ当a≠0时,不妨设a>0(否则,可作变换:x=-θx,y=-y来实现),对系统(1)作变

换:x=

θx2m-1α2m2m

x=-y+∆x+x+sxΥ(x)≡P(x,y)　　α2n-1

y=rx≡Q(x,y)其中s=

2-2nb,r=a2m-1>0,Υ(x)=Υa

a

,y=

y2m-1λ

a

λ,并将θx,y仍分别记为x,y,则系统(1)可化为

(3)

x2m-1a

。显然Υ(x)仍满足(H1),(H2)与(H3)。

定理3　当∆s=0时,系统(3)不存在极限环。

证明　(1)当∆=s=0时,系统(3)变为

α2m

x=-y+x≡P1(x,y)　　α2n-1

y=rx≡Q1(x,y)由对称原理[2]易知,O(0,0)为(i)式的中心点。(2)当∆=0,s≠0时,系统(3)变为

α2m2m

x=-y+x+sxΥ(x)≡P2(x,y)　　α2n-1

y=rx≡Q2(x,y)

(i)

(ii)

由(H2)知,P1Q2-P2Q1=-rsx2n+2m-1Υ(x)常号,所以若(ii)式存在闭轨线,则必与(i)式的

闭轨线重合或不相交[2]。但事实上,重合是显然不可能的。又(i)式的闭轨线充满整个平面,则(ii)式的闭轨线必与(i)式的闭轨线相交,故出现矛盾。

(3)当∆≠0,s=0时,系统(3)变为

2mαx=-y+∆x+x

(iii)2n-1αy=rx

类似于(2)式可证得(iii)式不存在闭轨线。

由(1),(2),(3)式可知,定理3成立。

定理4　当∆s>0时,系统(3)不存在闭轨线。

证明　对于系统(3)有PQs-QPs=-rx2m+2n-1Υ(x)≤0,所以系统(3)关于s构成广义旋转向量场。

假设当∆>0,s>0时系统(3)存在闭轨线#3,则由广义旋转向量场理论知,当∆>0,

s=0时系统(3)的正向轨线均将由#

3

rxy的外部穿向其内部。又令G(x,y)=+,则

2n2

2n2

dG󰃜(3)=rx2m[∆+x2m-dt

1

+sx2m-1Υ(x)]当∆>0时在x=0的某邻域内常正,O(0,0)就不

是稳定奇点,从而由环域定理知,当∆>0,s=0时,在#3的内部应存在(3)的极限环。这与定理3相矛盾,故当∆>0,s>0时系统(3)不存在闭轨线。

© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

第2期　　　　　　　　李建全等:一类平面微分系统极限环的存在唯一性123

同理,当∆<0,s<0时系统(3)也不存在闭轨线。定理5　当∆s<0时,系统(3)存在唯一极限环。此环当∆<0时是不稳定的,当∆>0时是稳定的。

λ证明　不妨设∆>0,s<0(否则,可通过对系统(3)作变换:x=-θx,y=y,t=-Σ来

λ实现),并将θx,y仍分别记为x,y,则系统(3)可写为α2m2m

x=y+∆x+x+sxΥ(x)≡y-F(x)

(4)　　α2n-1

y=-rx≡-g(x)

′2m-2

其中F(x)=-x[sx2m-1Υ(x)+x2m-1+∆]=-xh(x)。h(x)=x[(2m-1)sΥ(x)+′2m-2′\"sxΥ(x)+(2m-1)]=xh1(x)。由(H3)知,h′msΥ(x)+sxΥ(x)≤0,而h1(0)1(x)=2

=2m-1>0,h1(+∞)=-∞,则存在x0>0,当x0;当x≥x0时,h1(x)≤0,即当x0,h(±∞)=-∞,所以存在x1,x2(x1<00;当xx2

又F(±∞)=±∞,所以必存在时,h(x)<0,故有当x≠0,且󰃜x󰃜充分小时xF(x)<0。

′′

M>max{󰃜x1󰃜,x2}以及k>0>k,使当x>M时F(x)≥k;当x<-M时F(x)同时有当x≠0时xg(x)=rx2n>0;知,系统(4)至少存在一个闭轨线。

又G(x)=

paгилёвAB定理

∫g(x)dx=±∞,所以由Д

0

±∞

[2]

∫

0

x

g(x)dx=

rxm,取Α=>0,则2nnx

m2n

F(x)　　Α=-G(x)

′

2nr

mn

2m-1

∆+1+sΥ(x)

(2m-1)∆F(x)2nn′

(x)>0　　Α=--+sΥ2m

rG(x)x

F(x)当x≠0时;即Α在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增,故由式[1]中的一结论(推论2)

G(x)

知,系统(4)至多存在一个极限环。由以上推理知,定理5成立。

综上所述:系统(1),当∆b≥0时不存在极限环;当∆b<0时存在唯一的极限环。

参考文献

1　张芷芬等著.微分方程定性理论.科学出版社,19852　叶彦谦等著.极限环论.上海科学技术出版社,1984

TheExistenceandUniquenessofLimitCyclesofaClassofPlaneDifferentialSystems

LiJianquan　　YangYoushe

(AirForceTelecommunicationsEngineeringInstitute,Xi’an710077)

Abstract

Inthispaper,weobtaincompleteresultsoftheexistence,uniquenessandnonexistenceoflimitcyclesfor.aclassofplanedifferentialsystems

© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.