2018-2019学年河南省新乡市高二下学期期末数学(文)试题(解析版)

一、单选题

uuuvuuuvuuuv1．若向量AB1,2，AC1,3，则BC（ ）

A.2,1 【答案】C

【解析】根据向量减法的坐标运算直接求得结果. 【详解】

B.1,2

C.2,1

D.1,2

uuuvuuuvuuuvBCACAB1,31,22,1

本题正确选项：C 【点睛】

本题考查向量减法的坐标运算，属于基础题. 2．设i为虚数单位，则复数z34i 5534C．i

55A．【答案】A

2i的共轭复数z（ ） 2i34B．i

5534D．i

5534i，再利用共55【解析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以(2i)，得出z轭复数的定义即可得出。 【详解】

2i(2i)23434i，zi 解：Qz2i(2i)(2i)5555故选：A． 【点睛】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若z1abi，z2cdi，

z1z2（abi）（+cdi）=（ac）+(b+d)i，（ac-bd）（+adbc)i， z1gz2在

进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。 3．若集合M＝xxx12，Nxx2，则MN＝（ ）

22 A.3，B.4,2 C.，4

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3 D.，【答案】D

【解析】求出集合M，根据并集的定义可求得结果. 【详解】

QMxx4x304,3，Nxx2,2

MUN,3

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.

4．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得A.1只 【答案】B

【解析】将爵次从高到低分配的猎物数设为等差数列an，可知a42 只鹿，则大夫所得鹿数为（ ） 345B.只 C.只 D.2只

332，S55，从3而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得首项，即为所求结果. 【详解】

设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列an,则a42 3又S5a1a2a3a4a55a35 a31 da4a31 3a1a32d55，即大夫所得鹿数为只 33本题正确选项：B 【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，若输入的n4，则输出的j=（ ）

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A．1 【答案】C

B．3 C．5 D．7

【解析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值． 【详解】

由程序框图知：n=4，第一次运行， i＝1，j＝1,j=2i-j=1,满足i<4， 第二次运行i＝2，j=2i-j＝3；满足i<4， 第三次运行i＝3，j=2i-j＝3；满足i<4， 第四次运行i＝4，j=2i-j＝5；不满足i<4， 程序运行终止，输出j＝5． 故选：C． 【点睛】

本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法．

6．设alog23，blog46，c10lg2，则（ ） A.c＞a＞b 【答案】A

【解析】先利用对数的运算性质将a,b,c化成以2为底的对数，再利用对数的单调性即可得出a,b,c的大小。 【详解】

B.a＝b＞c

C.c＞b＞a

D.a＞b＞c

Qc2log24,alog23log242,blog46log262，

且36,log23log26cab，故选A。

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【点睛】

本题主要考查对数的运算性质以及对数函数的单调性的应用。

7．某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系，随机抽查了100名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中（ ） 表1 不语文 及性别 格 男 女 总计

A.语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 B.数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小 C.英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小 D.英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 【答案】C

2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中【解析】根据题目所给的数据填写2×的表格，得出统计结论． 【详解】 因为

14 16 30 36 34 70 50 50 100 格 计 男 女 总计 10 20 30 40 30 70 50 50 100 男 女 总计 25 5 30 25 45 70 50 50 100 性别 格 格 计 性别 格 格 计 及总数学 不及及总表2 表3 英语 不及及总10014341636100103020401002545525，所307050503070505030705050以英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小. 故选：C 【点睛】

本题考查了性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．

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150,Qfxcosx＋8．已知P（，1），（，－1）分别是函数244的图象上相邻的最高点和最低点，则（ ） A.5 4B.

5 4C.－

3 4D.

3 4【答案】B

【解析】由点P,Q两点可以求出函数的周期，进而求出，再将点P或点Q的坐标代入，求得，即求出。 【详解】

15122P因为，所以，把,1的坐标代入方程ycosx，得 44442kkZ，因为2，所以4,5，故选B。 4【点睛】

本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式。 9．已知24,，sin2，则tan（ ）

2544B.A.3 434或 43C.

3 4D.

34或

34【答案】A

【解析】利用二倍角公式和同角三角函数关系可将sin2化为关于正余弦的齐次式，分子分母同时除以cos2可构造出关于tan的方程，解方程求得tan；根据的范围可得tan的范围，从而得到结果. 【详解】

sin22sincos解得：tan2sincos2tan24 222sincostan12534或

343Q, tan1,1 tan

444本题正确选项：A 【点睛】

本题考查正余弦齐次式的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数关系的应用；易

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错点是忽略角所处的范围，从而出现增根.

10．观察下列各式110248＝248，11248＝2728，112248＝30008，

113248＝330088，114248＝3630968，…，则1199248的十位数是（ ）

A.2 【答案】C

【解析】通过观察十位数的数字特征可知周期为5，根据周期计算可得结果. 【详解】

记11n248的十位数为an

经观察易知a04，a12，a20，a38，a46，a54，a62…… 可知an的周期为5

则1199248的十位数为：a99a46 本题正确选项：C 【点睛】

本题考查利用数列的周期性求解数列中的项，关键是能够通过数字变化规律发现数列的周期性.

2x2211．设m0，双曲线M:y1与圆N:x2ym5相切，A（5，4B.4 C.6 D.8

0），B（5， 0），若圆N上存在一点P满足PAPB4，则点P到x轴的距

离为（ ） A.

10 10B.5 5C.

10 5D.

5 10【答案】D

【解析】根据圆与双曲线的位置关系，联立双曲线方程和圆的方程，消去x，可得y的一元二次方程，由判别式为0，求出m的值，再根据双曲线的定义以及韦达定理，即可求出。 【详解】

x22联立y21与x2ym1，消去x得5y22mym210

4Q4m220m210，又m0,m5

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易知点A,B分别为双曲线M的左、右焦点，又PAPB4，故由双曲线的定义可

知P在双曲线M上，且P为右切点，由韦达定理得2yp2m55 ,yp5510点P到x轴的距离为【点睛】

5，故选D。 10本题主要考查双曲线的定义的应用，以及双曲线与圆的位置关系应用，意在考查学生的数算能力。

x3x2a,x012．若函数fx2恰有2个零点，则a的取值范围为（ ）

x2xa，x0A.4，0 27B.1,4]0，+ 274+ 0，27C.1，4 27D.1，【答案】D

x3x2,x0【解析】将问题转化为gx2与ya恰有2个交点；利用导数和二次

x2x,x0函数性质可得到gx的图象，通过数形结合可确定a0或g1ag题意，进而求得结果. 【详解】

2时满足3x3x2,x0令gx2，则fx恰有2个零点等价于ygx与ya恰有2个

x2x,x0交点

当x0时，gxxx，则gx3x2x

32222当x0,时，gx0；当x,时，gx0

3322gx在0,上单调递减，在,上单调递增

33当x0时，gxx22xx11

2gx在,1上单调递减，在1,0上单调递增

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可得gx图象如下图所示：

若ygx与ya有两个交点，则a0或g1ag2 3又g11，g4284 3279274a1,U0,

27即当a1,4U0,时，fx恰有2个零点 27本题正确选项：D 【点睛】

本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于x轴的直线与曲线的交点个数的问题，利用数形结合的方式找到临界状态，从而得到满足题意的范围.

二、填空题

13．已知fx为奇函数，当x0时，fxx，则当x0时，fx=_________．

2【答案】x2

【解析】当x0时，x0，求得fx；根据奇函数fxfx可求得结果. 【详解】

当x0时，x0，fxxx2

2Qfx为奇函数 fxfxx2

本题正确结果：x2

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【点睛】

本题考查根据函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.

2 14．已知抛物线y28x上一点x0，y0到其焦点的距离为x0，则x0___________．

【答案】2

【解析】根据抛物线定义可构造方程求得结果. 【详解】

2由抛物线定义可知：x0x02，又x00，解得：x02

本题正确结果：2 【点睛】

本题考查抛物线定义的应用，属于基础题.

15．如图，为测量某山峰的高度（即OP的长），选择与O在同一水平面上的A，B为观测点.在A处测得山顶P的仰角为45，在B处测得山顶P的仰角为60.若

AB30米，AOB30，则山峰的高为_________米.

【答案】303 【解析】设出OP，分别在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得山峰的高度． 【详解】

设OP＝h，在等腰直角△AOP中，得OA＝OP=h． 在直角△BOP中，得OP＝OBtan60°得OB＝在△AOB中，由余弦定理得

3h 3302332 hh233hhcos30，

2得h＝303（米）．则山峰的高为303m．

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故答案为：303． 【点睛】

本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力．

1H216．设正三棱锥PABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径RH，则＝27PA_______． 【答案】

35 39【解析】取线段AB的中点D，设P在底面ABC的射影为O，连接CD,PD。设出底面边长AB=a和斜高PDma，计算出正三棱锥的表面积和体积，利用等积法计算出

2H此棱锥的内切球的半径，由此得到m的值，故可求出H和PA，以及的值。 2PA【详解】

取线段AB的中点D，设P在底面ABC的射影为O，连接CD,PD（图略），设ABa,则OD313aa，设PDma，则正三棱锥PABC的表面积为2361326m32S3amaaa，又正三棱锥PABC的体积

24432aH3V11324RH ，则VaHS76m3234a43513H235 m3,HPDODa，又PAa,2122PA3922【点睛】

本题主要通过正三棱锥的结构特征考查学生的直观想象能力，以及运算能力。

三、解答题

17．在等比数列{an}中，a39，a49a2. （1）求{an}的通项公式；

（2）若bn(2n1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.

n【答案】（1）an3n1；（2）Snn3.

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【解析】（1）设出通项公式，利用待定系数法即得结果； （2）先求出{bn}通项，利用错位相减法可以得到前n项和Sn. 【详解】

a1q29（1）因为a39，a49a2，所以3，

aq9aq11解得a11

q3n1n1故{an}的通项公式为ana1q3. n1（2）由（1）可得bn(2n1)3，

2n2n1则Sn35373L(2n1)3(2n1)3，①

3Sn33532733L(2n1)3n1(2n1)3n，②

23n1nn①-②得2Sn3232323L23(2n1)32n3

n故Snn3.

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生的分析能力 及计算能力，难度中等. 18．已知函数fxkx2e(1)讨论fx的单调性；

(2)当k1时，求fx在1,4上的值域．

【答案】(1)k0时，fx在,1上单调递减，在1,上单调递增；k0时，

4e,2efx在,1上单调递增，在1,上单调递减. (2)

xk0．

【解析】（1）求导得到导函数后，分别在k0和k0两种情况下讨论导函数的符号，从而得到fx的单调性；（2）由（1）知fx在,1上单调递减，在1,上单调递增，可知fxminf1，fxmaxmaxf1,f4，求得最小值和最大值后即可得到函数值域. 【详解】

xxx（1）由题意得：fxkekx2ekx1e

第 11 页 共 19 页

①当k0时，x,1时，fx0；x1,时，fx0

fx在,1上单调递减，在1,上单调递增

②当k0时，x,1时，fx0；x1,时，fx0

fx在,1上单调递增，在1,上单调递减

综上所述：k0时，fx在,1上单调递减，在1,上单调递增；k0时，

fx在,1上单调递增，在1,上单调递减

（2）当k1时，fxx2e

x由（1）知，fx在,1上单调递减，在1,上单调递增

当x1,4时，fxminf1e，fxmaxmaxf1,f4

又f130，f42e40 fxmaxf42e4 e4e,2efx在1,4上的值域为：

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、求解函数在一段区间内的值域的问题；关键是能够通过对参数的讨论，得到导函数在不同情况下的符号，从而得到函数的单调性.

19．如图，在四棱锥B－ACDE中，正方形ACDE所在平面与正△ABC所在平面垂直，M，N分别为BC，AE的中点，F在棱CD上．

(1)证明：MN//平面BDE． (2)已知AB2，点M到AF的距离为30，求三棱锥C－AFM的体积． 5【答案】(1)证明见解析；(2)

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【解析】（1）取CD中点G，连接NG，MG；根据线面平行的判定定理可分别证得

MG//平面BDE和NG//平面BDE；根据面面平行判定定理得平面MNG//平面

（2）根据面面垂直性质可知CD平面ABC，BDE，利用面面平行性质可证得结论；

由线面垂直性质可得CDAM；根据等边三角形三线合一可知AMBC；根据线面垂直判定定理知AM平面BCD，从而得到AMMF；设CFa，表示出利用面积桥构造方程可求得a1；利用体积桥，可知VCAFMVAFCM，RtAFM三边，

利用三棱锥体积公式求得结果. 【详解】

（1）取CD中点G，连接NG，MG

QG,M为CD,BC中点 GM//BD

又BD平面BDE，GM平面BDE GM//平面BDE

Q四边形ACDE为正方形，N,G为AE,CD中点 NG//DE

又NG平面BDE，NG平面BDE NG//平面BDE

QGMINGG，GM,NG平面MNG 平面MNG//平面BDE

又MN平面MNG MN//平面BDE

（2）QABC为正三角形，M为BC中点 AMBC

Q平面ACDE平面ABC，CDAC，平面ACDEI平面ABCAC，CD平

面ACDE

\\CD^平面ABC，又AM平面ABC AMCD

又BCCDC，BC,CD平面BCD AM平面BCD

QFM平面BCD AMMF

设CFa，则AF4a2，MF1a2，AM3 30304a2AFAMMF，即：31a2，解得：a1

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1113 VCAFMVAFCMSFCMAM1133326【点睛】

本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面平行的判定、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质的应用等知识；解决三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解问题.

20．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年

，2，10的数据，得到散点图如图所示． 销售量yii1

(1)利用散点图判断yabx和yc·xd（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合 作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）(2)对数据作出如下处理，令uilnxi,vilnyi，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；

vi i110ui i110uiuviv i110uiui1102 15

15 28.25 56.5 (3)已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z18e－34y9x（其中2，根据第(2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下e2．71828）一年应投入多少研发费用?

ˆu的斜率和ˆˆ附：对于一组数据u1，v1,u2，v2,,un，vn，其回归直线v第 14 页 共 19 页

截距的最小二乘估计分别为vuuvviii1nuiui1nˆvu ，a2【答案】(1) 选择ycx更合适；(2) ye一年应投入4千万元的研发费用

d34x. (3) 要使年利润取最大值，预计下

【解析】（1）根据散点图分布，可知更符合指数型模型，可得结果；（2）对ycxd两边取倒数，得到vlncdu，采用最小二乘法可求得d和lnc，从而得到结果；（3）由（2）可得zx18x取最大值，从而得到结果. 【详解】

d（1）由散点图知，选择ycx更合适

9zxx，利用导数可判断出zx单调性，可知当x4时，

2d（2）对ycx两边取对数，得lnylncdlnx，即：vlncdu

328.251 d

56.52233133令lncm，则mvdu，即ce4

2224由表中数据得uv年销售y和年研发费用x的回归方程为：ye4x

（3）由（2）知，zx18x令zx0，得x4

当x0,4时，zx0；当x4,时，zx0

3999 x，则zxx22zx在0,4上单调递增；在4,上单调递减

当x4千万元时，年利润z取得最大值，且最大值为：z418千万元1.8亿元

要使年利润取最大值，预计下一年应投入4千万元的研发费用

【点睛】

本题考查统计中的数据的相关性的问题，涉及到非线性回归模型方程的求解、利用导数求解函数的最值的问题；解题关键是能够将非线性回归模型转化为线性回归模型，从而利用最小二乘法求得回归模型.

x2y221．已知椭圆C1：221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为A，

ab第 15 页 共 19 页

且C1过点B(3,线与圆O相切.

3)，圆O是以线段F1F2为直径的圆，经过点A且倾斜角为300的直2（1）求椭圆C1及圆O的方程；

（2）是否存在直线l，使得直线l与圆O相切，与椭圆C1交于C,D两点，且满足

uuuvuuuvuuuvOCODCD？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.

x2y2【答案】（1）椭圆C1的方程为（2）不存在 1，圆O的方程为x2y21；

43【解析】【详解】 分析：（1）由题意得

c1sin300，再根据椭圆过点B得到关于a,b,c的方程组，求a2解后可得椭圆和圆的方程．（2）先假设存在直线满足条件．（ⅰ）当直线斜率不存在时，

uuuvuuuvuuuv可得直线方程为x1，求得点C,D的坐标后验证可得OCODCD；（ⅱ）当直

线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得

uuuvuuuvOCOD0不成立．从而可得不存在直线l满足题意．

222详解：(1)由题意知F1c,0,F2c,0,Aa,0，圆O的方程为xyc

c0sin30aa233由题可知221，解得b3 ，

a24bc122abcx2y2所以椭圆C1的方程为1，圆O的方程为x2y21.

43（2）假设存在直线l满足题意.

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvOCODCDOCODODOC由，可得，故OCOD0．

（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为x1． 当直线l方程为x1时，可得C1,33,D1,, 22uuuvuuuv9所以OCOD10．

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同理可得，当l方程为x1时，OCOD0. 故直线l不存在．

（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l方程为ykxm， 因为直线l与圆O相切， 所以uuuvuuuvmk211，整理得m2k21①

ykxm222由x2y2消去y整理得34kx8kmx4m120，

134设Cx1,y1,Dx2,y2，

8km4m212则x1x2，x1x2， 2234k34kuuuvuuuvuuuv因为OCODCD， uuuvuuuvuuuvuuuvOCODODOC所以，

则OCOD0，即x1x2y1y20， 所以x1x2kx1mkx2m1k所以1kuuuvuuuv2xx12kmx1x2m20，

24m2128kmkmm20， 2234k34k整理得7m212k2120② 由①②得k21，此时方程无解. 故直线l不存在．

由（i）（ii）可知不存在直线l满足题意. 点睛：圆锥曲线中存在性问题的求解步骤

假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x2cos （为参数），直线l的

y3sin第 17 页 共 19 页

5x2＋t5参数方程为（t为参数）．

y2－25t5(1)求C与l的直角坐标方程；

(2)过曲线C上任意一点作P与l垂直的直线，交l于点A，求PA的最大值．

x2y2【答案】(1) 曲线C的直角坐标方程为1，直线l的直角坐标方程为

492xy60.(2) 115.

5【解析】（1）根据参数方程与普通方程互化原则可消去参数得到所求方程；（2）设曲线

3sin，可知PA等于点P到直线l距离d；利用点到直线C上任意一点P2cos,距离公式可求得PAd5sin65；根据正弦函数的值域可知当sin1时，PA取得最大值，代入求得结果.

【详解】

x2y2（1）曲线C的参数方程，消去得其直角坐标方程为：1

49直线l的参数方程，消去t得其直角坐标方程为：2xy60

3sin （2）设曲线C上任意一点P2cos,点P到直线l的距离d4cos3sin655sin65，其中

0,4，且tan 23由题意知：PAd5sin65 当sin1时，PAmax【点睛】

11115 55本题考查参数方程化普通方程、参数方程问题中的最值问题的求解；解决本题中的最值问题的关键是能够利用参数方程，将问题转化为三角函数的问题来进行求解，属于常考题型.

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23．已知fxx1x2．

（1）已知关于x的不等式fxa有实数解，求a的取值范围； （2）求不等式fxx2x的解集．

2【答案】（1）a3；（2）1,23.

【解析】（1）依据能成立问题知，fxmina，然后利用绝对值三角不等式求出f(x) 的最小值，即求得a的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。【详解】

1因为不等式fxa有实数解，所以fxmina

因为fxx1x2x1x23，所以fxmin3 故a3。

2x1,x22fx3,1x2

2x1,x1①当x2时，2x1x22x，所以23x23，故2x23 ②当1x2时，3x22x，所以1x3，故1x2 ③当x1时，2x1x22x，所以1x1，故x1

综上，原不等式的解集为1,23。

【点睛】

本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。

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