吉安市2019-2020学年八年级上期末数学试卷含答案解析

吉安市2019-2020学年八年级上期末数学试卷含答案解析（解

析版）

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分） 1．在实数0、π、

、

、﹣

、0.1010010001中，无理数的个数有（ ）

A．1个B．2个 C．3个 D．4个

2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A．

，

，

B．1，

，

C．6a，7a，8a D．2a，3a，4a

3．已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ） A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）

4．如图，是象棋盘的一部分．若“帅”位于点（1，﹣2）上，“相”位于点（3，﹣2）上，则“炮”位于点（ ）上．

A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，2）

5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）

A．40° B．45° C．60° D．70°

6．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ）

1 / 24

A．4 B．8

C．16 D．8

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 7．

的平方根是______，﹣

的立方根是______．

8．某班10位同学将平时积攒的零花钱捐献给贫困地区的失学儿童，每人捐款金额（单位：元）依次为5，6，10，8，12，6，9，7，6，8，则这10名同学平均每人捐款______元，捐款金额的中位数是______元，众数是______元．

9．已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组

的解是______．

10．如果二元一次方程组的值是______．

的解是二元一次方程2x﹣3y+12=0的一个解，那么a

11．在一次函数y=﹣x+2的图象上有A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1＞x2，那么y1______y2．

12．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是______．

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13．“十一”黄金周，国光超市“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客在女装部购买了原价为x元，男装部购买了原价为y元的服装各一套，优惠前需付700元，而他实际付款580元，则可列方程组为______．

14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是______．

三、解答题（本大题共有9小题，共78分） 15．（12分）（秋•吉安校级期末）（1）|﹣3|+（

﹣1）0﹣

+（）﹣1；

（2）解方程组；

（3）求x的值：25（x+2）2﹣36=0．

16．已知一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根． 17．设2+

的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．

18．（10分）（秋•期末）开发区某电子电路板厂到井冈山大学从年应届毕业生中招聘公司职员，对应聘者的专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项进行测试或成果认定，三项的得分满分都为100分，三项的分数分别按5：3：2的比例记入每人的最后总分，有4位应聘者的得分如表． 得分 应聘人 项目 甲 乙 丙 丁 85 85 80 90 85 85 90 90 专业知识 英语水平 参加社会实践与 社团活动等 90 70 70 50 （1）分别算出4位应聘者的总分； （2）表中四人“专业知识”的平均分为85分，方差为12.5，四人“英语水平”的平均分为87.5分，方差为6.25，请你求出四人“参加社会实践与社团活动等”的平均分及方差； （3）分析（1）和（2）中的有关数据，你对大学生应聘者有何建议？

19．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：

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（1）△ACE≌△BCD； （2）AD2+DB2=DE2．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，且AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F． （1）求矩形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标； （2）求证：△OEF≌△BEC；

（3）P为直线y=x﹣2上一点，若S△POE=5，求点P的坐标．

21．在中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．

（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？

（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．

22．（10分）（秋•吉安校级期末）如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4． （1）求点D的坐标；

（2）求出四边形AOCD的面积；

（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．

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23．（12分）（秋•期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD． （2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．

（2）如图3，写出∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间的数量关系？（不需证明） （3）如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

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-学年朝宗实验学校八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分） 1．在实数0、π、

、

、﹣

、0.1010010001中，无理数的个数有（ ）

A．1个B．2个 C．3个 D．4个 【考点】无理数．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：π、故选：B．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A．

，

，

B．1，

，

C．6a，7a，8a D．2a，3a，4a

是无理数，

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】要判断三个数是否为直角三角形的三边长，根据勾股定理逆定理只需要判断最大的数的平方是否等于另外两个数的平方和即可． 【解答】解：（A）∵（（∴（

（B）∵（（∴（

（C）∵（8a）2=a2， （6a）2+（7a）2=85a2，

）2=3，

）2+12=3， ）2=（

）2+12；

）2+（

）2=7， ）2+（

）2； ）2=5，

）2≠（

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∴（8a）2≠（6a）2+（7a）2；

（D）∵（4a）2=16a2， （2a）2+（3a）2=13a2， ∴（4a）2≠（2a）2+（3a）2； 故答案选（B）

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，判断 已知三边长是否能围成直角三角形只需要判断最长边的平方是否等于另外两边长的平方和即可．

3．已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ） A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4） 【考点】点的坐标．

【分析】根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度列方程求出a的值，然后求解即可．

【解答】解：∵点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2， ∴a﹣1=﹣2， 解得a=﹣1， 所以，a+5=﹣1+5=4， a﹣1=﹣1﹣1=﹣2，

所以，点P的坐标为（4，﹣2）． 故选A．

【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．

4．如图，是象棋盘的一部分．若“帅”位于点（1，﹣2）上，“相”位于点（3，﹣2）上，则“炮”位于点（ ）上．

A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，2） 【考点】坐标确定位置．

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【分析】根据已知两点的坐标可确定平面直角坐标系，再判断其它各点的坐标． 【解答】解：依题意，坐标系的原点是从下数第3行与从左数第4列的交点，故炮的坐标为（﹣2，1）． 故选：C．

【点评】考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）

A．40° B．45° C．60° D．70°

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数． 【解答】解：∵AE∥BD， ∴∠CBD=∠E=35°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBA=70°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠CBA=70°， ∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°． 故选：A．

【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．

6．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ）

8 / 24

A．4 B．8 C．16 D．8

【考点】坐标与图形变化-平移；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x﹣6上时的横坐标即可． 【解答】解：如图所示．

∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB=3．

∵∠CAB=90°，BC=5， ∴AC=4． ∴A′C′=4．

∵点C′在直线y=2x﹣6上， ∴2x﹣6=4，解得 x=5． 即OA′=5． ∴CC′=5﹣1=4．

∴S▱BCC′B′=4×4=16 （面积单位）． 即线段BC扫过的面积为16面积单位．

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故选：C．

【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积．

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 7．

的平方根是 ±2 ，﹣的立方根是 ﹣2 ．

【考点】立方根；平方根． 【分析】先找出【解答】解：∵∴∵∴﹣

、 =4，

的值，再根据平方根与立方根即可得出结论．

的平方根是±2； =8，

的立方根是﹣2．

故答案为：±2；﹣2．

【点评】本题考查了平方根以及立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的求法．

8．某班10位同学将平时积攒的零花钱捐献给贫困地区的失学儿童，每人捐款金额（单位：元）依次为5，6，10，8，12，6，9，7，6，8，则这10名同学平均每人捐款 7.7 元，捐款金额的中位数是 7.5 元，众数是 6 元． 【考点】众数；算术平均数；中位数．

【分析】根据平均数、中位数和众数的定义求解． 【解答】解：根据题意，平均数=

（5+6+10+8+12+6+9+7+6+8）=7.7；

众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；

而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的2个数的平均数是7.5，则这组数据的中位数是7.5． 故填7.7；7.5；6．

【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的概念．

9．已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组

的解是

．

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【考点】一次函数与二元一次方程（组）．

【分析】根据两图象的交点坐标，即可求出两函数的解析式组成的方程组的解． 【解答】解：根据图象可知：函数y=ax+b和y=kx的图象的交点P的坐标是（﹣3，﹣2）， ∴方程组

的解是

．

故答案为：．

【点评】本题考查了对一次函数和二元一次方程组的关系的理解和运用，能理解一次函数与二元一次方程组的关系是解此题的关键，图形较好，难度不大．

10．如果二元一次方程组的值是 ﹣ ．

【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．

【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，代入方程计算即可求出a的值． 【解答】解：

，

的解是二元一次方程2x﹣3y+12=0的一个解，那么a

①+②得：2x=12a，即x=6a， ①﹣②得：2y=﹣6a，即y=﹣3a，

把x=6a，y=﹣3a代入方程得：12a+9a+12=0， 解得：a=﹣， 故答案为：﹣

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

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11．在一次函数y=﹣x+2的图象上有A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1＞x2，那么y1 ＜ y2．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】由一次函数一次项系数小于0结合一次函数的性质即可得出该一次函数的单调性，再结合x1＞x2即可得出结论． 【解答】解：∵﹣1＜0，

∴直线y=﹣x+2上，y随x的增大而减小， ∵x1＞x2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜．

【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次项系数为﹣1＜0找出该一次函数单调递减．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数结合一次函数的性质找出其单调性是关键．

12．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是 x＜﹣2 ．

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】把x=﹣2代入y1=kx+b与y2=x+a，由y1=y2得出【解答】解：把x=﹣2代入y1=kx+b得， y1=﹣2k+b，

把x=﹣2代入y2=x+a得， y2=﹣2+a，

由y1=y2，得：﹣2k+b=﹣2+a， 解得

=2，

=2，再求不等式的解集．

解kx+b＞x+a得，

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（k﹣1）x＞a﹣b， ∵k＜0， ∴k﹣1＜0， 解集为：x＜∴x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2．

【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题的关键是求出看作整体求解集．

13．“十一”黄金周，国光超市“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客在女装部购买了原价为x元，男装部购买了原价为y元的服装各一套，优惠前需付700元，而他实际付款580元，则可列方程组为

．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】利用等量关系：①优惠前：男装原价+女装原价=700；②打折后：0.8×女装原价+0.85×男装原价=580；列出方程组即可．

【解答】解：根据优惠前需付700元，得x+y=700；打折后需付580元，得0.8x+0.85y=500． 列方程组为故答案为：

． ．

=2，把

，

【点评】此题考查方程组的实际运用；找到两个等量关系是解决本题的关键，还需注意相对应的原价与折数．

14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 110°或70° ．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．

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【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°； 当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣20°=70°． 故答案为：110°或70°．

【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

三、解答题（本大题共有9小题，共78分） 15．（12分）（秋•吉安校级期末）（1）|﹣3|+（

﹣1）0﹣

+（）﹣1；

（2）解方程组；

（3）求x的值：25（x+2）2﹣36=0．

【考点】解二元一次方程组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】（1）原式利用立方根的绝对值的性质，零指数幂、负指数幂以及平方根定义化简，然后即可计算出结果．

（2）原方程组变形后，直接利用加减消元法从而求出x的值，然后把x的值代入一方程求y的值；

（3）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解答】解：（1）原式=3+1﹣4+3 =3；

（2）原方程可化为①+②得6x=24， 解得x=，4

把x=4代入①得y=0，

14 / 24

所以，原方程组的解为．

，

（3）方程整理得：（x+2）2=开方得：x+2=±， 解得：x1=﹣，x2=﹣

．

【点评】此题考查了实数的运算以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解方程组的方法是解本题的关键．

16．已知一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根． 【考点】平方根；立方根．

【分析】根据一个数的平方根互为相反数，有a+3+2a﹣15=0，可求出a值，由b的立方根是﹣2，可求出b值，继而代入求出答案．

【解答】解：∵一个数的平方根互为相反数，有a+3+2a﹣15=0， 解得：a=4，

又∵b的立方根是﹣2， 解得：b=﹣8，

∴﹣b﹣a=4，其平方根为：±2， 即﹣b﹣a的平方根为±2．

【点评】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0． 17．设2+

的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．

【考点】估算无理数的大小；算术平方根． 【分析】先找到

介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部

分，然后代入求值即可．

【解答】解：因为4＜6＜9，所以2＜即

的整数部分是2，

的整数部分是4，小数部分是2+

﹣2，所以

=

=

﹣4=．

﹣2，

＜3，

所以2+

即x=4，y=

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【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．

18．（10分）（秋•期末）开发区某电子电路板厂到井冈山大学从年应届毕业生中招聘公司职员，对应聘者的专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项进行测试或成果认定，三项的得分满分都为100分，三项的分数分别按5：3：2的比例记入每人的最后总分，有4位应聘者的得分如表． 得分 应聘人 项目 甲 乙 丙 丁 85 85 80 90 85 85 90 90 专业知识 英语水平 参加社会实践与 社团活动等 90 70 70 50 （1）分别算出4位应聘者的总分； （2）表中四人“专业知识”的平均分为85分，方差为12.5，四人“英语水平”的平均分为87.5分，方差为6.25，请你求出四人“参加社会实践与社团活动等”的平均分及方差； （3）分析（1）和（2）中的有关数据，你对大学生应聘者有何建议？ 【考点】方差；加权平均数．

【分析】（1）根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可； （2）根据平均数的计算公式先算出平均数，再根据方差公式进行计算即可； （3）根据（1）（2）得出的结论和实际情况分别写出合理的建议即可．． 【解答】解：（1）应聘者甲总分为（85×5+85×3+90×2）÷10=86（分）； 应聘者乙总分为（85×5+85×3+70×2）÷10=82（分）； 应聘者丙总分为（80×5+90×3+70×2）÷10=81（分）； 应聘者丁总分为（90×5+90×3+50×2）÷10=82（分）；

（2）4人参加社会实践与社团活动等的平均分数： =（90+70+70+50）÷4=70， 方差= [（90﹣70）2+（70﹣70）2+（70﹣70）2+（50﹣70）2]=200， 答：四人“参加社会实践与社团活动等”的平均分是70，方差是200．

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（3）对于应聘者的专业知识、英语水平的差距不大，但参加社会实践与社团活动等方面的差距较大，影响学生的最后成绩，将影响学生就业．学生不仅注重自己的文化知识的学习，更应注重社会实践与社团活动的开展，从而促进学生综合素质的提升．

【点评】本题考查了方差和加权平均数：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

19．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：

（1）△ACE≌△BCD； （2）AD2+DB2=DE2．

【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．

（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2． 【解答】证明：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE， 即∠BCD=∠ACE． ∵BC=AC，DC=EC， ∴△ACE≌△BCD．

（2）∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠B=∠BAC=45度． ∵△ACE≌△BCD，

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∴∠B=∠CAE=45°

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°， ∴AD2+AE2=DE2． 由（1）知AE=DB， ∴AD2+DB2=DE2．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，且AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F． （1）求矩形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标； （2）求证：△OEF≌△BEC；

（3）P为直线y=x﹣2上一点，若S△POE=5，求点P的坐标．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）根据题意可得点C的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点C的坐标，结合矩形的性质可得出A、B、D的坐标；

（2）先求出OE、OF的长度，从而利用SAS证明△OEF≌△BEC即可．

（3）设点P的坐标为（xp，yp），则可表示出S△POE=×OE×|yp|，解出xp的值讨论即可．

【解答】解：（1）∵AD=BC=2， 故可设点C的坐标为（m，2）， 又∵点C在直线y=x﹣2上， ∴2=m﹣2，

解得：m=4，即点C的坐标为（4，2），

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∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=2，

故可得点A、B、D的坐标分别为（1，0）、（4，0）、（1，2）． （2）直线y=x﹣2与x轴、y轴坐标分别为E （2，0）、F （0，﹣2）， ∴OF=OE=BC=BE=2， 在RT△OEF和RT△BEC中，故可得△OEF≌△BEC．

（3）设点P的坐标为（xp，yp），则S△POE=×OE×|yp|=×2×|yp|=5， 解得：yp=±5，

①当yp=5时，xp=7；②当yp=﹣5时，xp=﹣3， 故点P的坐标为（7，5）或（﹣3，﹣5）．

【点评】此题综合考查了一次函数和矩形的性质，要求我们能将线段长度和点的坐标进行互相转化，在第三问的求解中，要先设出点P的坐标，根据面积关系进行求解．

21．在中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．

（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？

（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低． 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x，y的值即可；

（2）先设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出购买方案，再根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案．

【解答】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：

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，

解得：

，

答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；

（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据题意得：

，

解得：15≤a≤17， ∵a只能取整数， ∴a=15，16，17， ∴有三种购买方案，

方案1：需购进电脑15台，则购进电子白板15台， 方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台， 方案3：需购进电脑17台，则购进电子白板13台， 方案1：15×0.5+1.5×15=30（万元）， 方案2：16×0.5+1.5×14=29（万元）， 方案3：17×0.5+1.5×13=28（万元）， ∵28＜29＜30，

∴选择方案3最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最省钱．

【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意a只能取整数．

22．（10分）（秋•吉安校级期末）如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4． （1）求点D的坐标；

（2）求出四边形AOCD的面积；

（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．

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【考点】两条直线相交或平行问题．

【分析】（1）先把A点坐标代入y=2x+m得到m=4，则y=﹣2x+4，再利用AB=4可得到B点坐标为（2，0），则把B点坐标代入y=﹣x+n可得到n=2，则y=﹣x+2，然后根据两直线相交的问题，通过解方程组

得到D点坐标；

（2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用四边形AOCD的面积=S△DAB﹣S△COB进行计算即可；

（3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC=2论：当AE=AC=2

时，以A点为圆心，2

，然后分类讨

画弧交x轴于E1点和E2点，再写出它们的

坐标；当CE=CA时，E3点与点A关于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA=EC时，E4点为坐标原点．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y=2x+m得﹣4+m=0，解得m=4， ∴y=﹣2x+4，

∵AB=4，A（﹣2，0）， ∴B点坐标为（2，0），

把B（2，0）代入y=﹣x+n得﹣2+n=0，解得n=2， ∴y=﹣x+2，

解方程组得，

∴D点坐标为（﹣，）； （2）当x=0时，y=﹣x+2=2， ∴C点坐标为（0，2），

∴四边形AOCD的面积=S△DAB﹣S△COB

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=×4×﹣×2×2 =

；

（3）∵A（﹣2，0），C（0，2）， ∴AC=2

，

时，E1点的坐标为（2

﹣2，0），E2点的坐标为（﹣2

﹣2，0）；

当AE=AC=2

当CE=CA时，E3点的坐标为（2，0）， 当EA=EC时，E4点的坐标为（0，0）， 综上所述，点E的坐标为（2

﹣2，0）、（﹣2

﹣2，0）、（2，0）、（0，0）．

【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了分类讨论思想的运用．

23．（12分）（秋•期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD． （2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．

（2）如图3，写出∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间的数量关系？（不需证明） （3）如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

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【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠1，∠D=∠2，再根据∠BPD=∠1+∠2代入数据计算即可得解；

（2）根据根据两直线平行，内错角相等可得∠BOD=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；

（3）连接QP并延长，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答； （4）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠E=∠1，∠B+∠F=∠2，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EP∥CD，

∴∠B=∠1=50°，∠D=∠2=30°， ∴∠BPD=80°；

（2）∠B=∠BPD+∠D．

理由如下：设BP与CD相交于点O， ∵AB∥CD， ∴∠BOD=∠B，

在△POD中，∠BOD=∠BPD+∠D， ∴∠B=∠BPD+∠D．

（3）如图，连接QP并延长， 结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．

（4）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠E=∠1，∠B+∠F=∠2， ∵∠1+∠2+∠C+∠D=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

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【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

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