带电粒子在磁场中的运动的几个典型习题

磁场 带电粒子的运动

1．在光滑绝缘的水平桌面上，有两个质量均为m，电量为＋q的完全相同的带电粒子P1和 P2，在小孔A处以初速度为零先后释放．在平行板间距为d的匀强电场中加速后，P1从C处对着圆心进入半径为R的固定圆筒中（筒壁上的小孔C只能容一个粒子通过），圆筒内有垂直水平面向上的磁感应强度

P1每次与筒壁发生碰撞均无电荷迁移，P1进入磁场第一次与筒壁碰撞点为D，为B的匀强磁场．∠COD=

θ ，如图所示．延后释放的P2，将第一次欲逃逸出圆筒的P1正碰圆筒内，此次碰撞刚结束，立即改变平行板间的电压，并利用P2与P1之后的碰撞，将P1在圆筒内运动．碰撞过程均无机械能损失．设d=5πR/8，求：在P2和P1相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P1与筒壁的可能碰撞次数． 附：部分三角函数值

2．如图是计算机模拟出的一种宇宙空间的情境，在广阔的宇宙空间存在这样一个远离其他空间的区域，以MN为界，上部分的匀强磁场的磁感强度为B1，下部分的匀强磁场的磁感强度为B2，B1=2B2=2B0，方向相同，且磁场区域足够大．在距离界线为h的P点有一宇航员处于静止状态，宇航员以平行于界线的速度抛出一质量为m、电荷量－q的小球,发现球在界线处速度方向与界线成60°角，进入下部分磁场．然后当宇航员沿与界线平行的直线匀速到达目标Q点时，刚好又接住球而静止，求： （1）PQ间距离是多大？（2）宇航员质量是多少？

3．如图所示，在x>0的空间中，存在沿x轴方向的匀强电场，电场强度E=10N/C；在x<0的空间中，存在垂直xy平面方向的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T．一带负电的粒子（比荷q/m=160C/kg），在x=0.06m处的d点以8m/s沿y轴正方向的初速度v0开始运动，不计带电粒子的重力．求： （1）带电粒子开始运动后第一次到达y轴时的坐标． （2）带电粒子进入磁场后经多长时间会返回电场． （3）带电粒子的y方向分运动的周期．

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4．如图所示，一绝缘圆环轨道位于竖直平面内，半径为R，空心内径远小于R．以圆环圆心O为原点在环面建立平面直角坐标系xOy，在第四象限加一竖直向下的匀强电场，其他象限加垂直环面向外的匀强磁场．一带电量为＋q、质量为m的小球在轨道内从b点由静止释放，小球刚好能顺时针沿圆环轨道做圆周运动．

（1）求匀强电场的电场强度E．

（2）若第二次到达最高点a，小球对轨道恰好无压力，求磁感应强度B． （3）求小球第三次到达a点时对圆环的压力．

5．有两个匀强磁场B1和B2，且2B1=B2，MN为两个磁场的理想分界面，磁场的方向如图所示，匀强电场的场强方向向上，场强为E．一带电小球沿电场的方向由A点射入B1区域后恰能做匀速圆周运动，在界面A点右侧有一点P与A点相距为d，要使小球能经过P点，则： （1）小球由A点射入磁场时的速度应满足什么条件？ （2）小球由A点射入磁场时的最大速度应是多大？

6．如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B=1.57T．小球1带正电，其电量与质量之比q1/m1=4C/kg，所受重力与电场力的大小相等；小球2不带电，静止放置于固定的水平悬空支架上．小球1向右以v0=23.59m/s的水平速度与小球2正碰，碰后经过0.75s再次相碰．设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，且始终保持在用一竖直

2

平面内．（取g=10m/s）问：

（1）电场强度E的大小是多少？

（2）两小球的质量之比m2/m1是多少？

7．如图，在竖直放置的光滑绝缘圆环中，套有一带电量为－q、质量为m的小环，整个装置放在正交的电场核磁场中，电场强度E=mg/q，方向水平向右；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，已知大环半径为R，当小环从大环顶端无初速下滑后，经过多大弧度，环的运动速度最大？此时受到洛仑兹力为多大？

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8．如图所示在两水平放置的平行金属板之间有向上的匀强电场，电场强度为．在两板之间及右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度均为B．有两个带电粒子、（不计重力，不计粒子间的相互作用力），在同一竖直平面内以水平速度进入平行板，恰好都做匀速直线运动．已知两粒子射入点相距

（其中为元电荷电量，为质子质量）．要使两粒子在离开平行板后能够相遇，则两

粒子射入平行板的时间差是多少？

9．如图所示，AC是一光滑的水平桌面，桌面上方AB区域有一水平向右，场强为E=2mg/q的匀强电场．DE区域是一正交的匀强电场和匀强磁场，磁场的磁感应强度B=0.5T，水平方向的匀强电场场强为E/2．现有一质量为m=0.1kg，电荷量q=+1C的物体P（可视为质点）在A点静止释放，当物体P运动到BC区域的某一位置时，恰好和从上方h=0.2m高处落下的一质量也为m=0.1kg的不带电物体Q（可视为质点）发生碰撞并粘在一起，随后P、Q一起离开桌面并沿DE匀速穿过DE区域．求匀强电

2

场区域AB的宽度s．（g=10m/s）

10．如图所示，有一质量为m，带负电的小球静止在光滑绝缘的水平台上，平台距离质量为M的绝缘板的中心O的高度为h，绝缘板放在水平地面上，板与地面间的动摩擦因数为μ，一轻弹簧一端连接在绝缘板的中心，另一端固定在墙面上．边界GH的左边存在着正交的匀强电场和匀强磁场，其电场强度为E，磁感应强度为B．现突然给小球一个水平向左的冲量，小球从平台左边缘垂直于边界GH进入复合场中，运动到O点处恰好与绝缘板发生碰撞，碰撞后小球恰能垂直反弹，而绝缘板向右从C点运动到D点，C、D间的距离为s，设小球与绝缘板碰撞过程无机械能损失．求： （1）小球获得向左的冲量的大小．

（2）绝缘板从C点运动到D点时，弹簧具有的弹性势能的大小．

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11．如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B．一绝缘c形弯杆由两段直杆和一半径为R的半圆环组成， 固定在纸面所在的竖直平面内．PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P，M点在磁场边界线上，NMAP段是光滑的．现有一质量为m、带电+q的小环套在MN杆上，它所受电场力为重力的3/4倍．现在M右侧D点由静止释放小环，小环刚好能到达P点． （1）求DM间距离．

（2）求上述过程中小环第一次通过与0等高的A点时弯杆对小环作用力的大小． （3）若小环与PQ间动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），现将小环移至M点右侧4R处由静止开始释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

12．如图甲所示，真空中两水平放置的平行金属板C、D，上面分别

开有正对的小孔O1和O2，金属板C、D接在正弦交流电源上，C、D两板间的电压UCD随时间t变化

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t=0时刻开始，的图线如图乙所示．从D板小孔O1处连续不断飘入质量为m=3.2×10－kg、电荷量q=1.6

－19

×10C的带正电的粒子（设飘入速度很小，可视为零）．在C板外侧有以MN为上边界CM为左边界的匀强磁场，MN与C金属板相距d=10cm，O2C的长度L=10cm，匀强磁场的大小为B=0.1T，方向如图甲所示，粒子的重力及粒子间相互作用力不计，平行金属板C、D之间的距离足够小，粒子在两板间的运动时间可忽略不计．求：

（1）带电粒子经小孔O2进入磁场后，能飞出磁场边界MN的最小速度为多大？

（2）从t=0到t=0.04s末时间内哪些时间段飘入小孔O1的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN． （3）磁场边界MN有粒子射出的长度范围．（计算结果保留一位有效数字） （4）在图中用阴影标出有粒子经过的磁场区域．

13．如图所示的区域中，左边为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，右边是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于OC且垂直于磁场方向．一个质量为m，电荷量为－q的带电粒子从P孔以初速度v0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角θ=60°，粒子恰好从C孔垂直于OC射入匀强电场，最后打在Q点，已知OQ=2OC，不计粒子的重力，求： （1）粒子从P运动到Q所用的时间t． （2）电场强度E的大小．

（3）粒子到达Q点的动能EkQ．

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14．如图甲所示，图的右侧MN为一竖直放置的荧光屏，O为它的中点，OO＇与荧光屏垂直，且长度为．在MN的左侧空间内存在着方向水平向里的匀强电场，场强大小为E．乙图是从甲图的左边去看荧光屏得到的平面图，在荧光屏上以O为原点建立如图的直角坐标系．一细束质量为m、电荷为q的带电粒子以相同的初速度从O＇点沿O＇O方向射入电场区域．粒子的重力和粒子间的相互作用都可忽略不计．

（1）若再在MN左侧空间加一个匀强磁场，使得荧光屏上的亮点恰好位于原点O处，求这个磁场的磁感强度的大小和方向．

（2）如果磁感强度的大小保持不变，但把方向变为与电场方向相同，则荧光屏上的亮点位于图中A点处，已知A点的纵坐标

，求

它的横坐标的数值．

15．如图所示，质量M=3.0kg的小车静止在光滑的水平面上，AD部分是表面粗糙的水平导轨，DC部分是光滑的1/4圆弧导轨，整个导轨都是由绝缘材料制成的，小车所在平面内有竖直向上E=40N/C的勾强电场和垂直纸面向里B=2.0T的匀强磁场．今有一质量为m=1.0kg带负电的滑块（可视为质点）以v0=8m/s的水平速度向右冲上小车，当它即将过D点时速度达到v1=5m/s，对水平导轨的压力为10.5N．（g

2

取10m/s）

（1）求滑块的电量．

（2）求滑块从A到D的过程中，小车、滑块系统损失的机械能．

（3）若滑块通过D时立即撤去磁场，求此后小车所能获得的最大速度．

16．将氢原子中电子的运动看作是绕固定的氢核做匀速圆周运动，已知电子的电量为e，质量为m． （1）若以相距氢核无穷远处作为零势能参考位置，则电子运动的轨道半径为r时，原子的能量

，其中为静电力恒量，试证明氢原子核在距核r处的电势

．

（2）在研究电子绕核运动的磁效应时，可将电子的运动等效为一个环形电流．现对一氢原子加上一外磁场，其磁感应强度大小为B，方向垂直电子的轨道平面，这时电子运动的等效电流用I1表示．将外磁场反向，但磁感应强度大小仍为B，这时电子运动的等效电流用I2表示．假设上述两种情况下氢核的位置、电子运动的轨道平面及轨道半径都不变．求外磁场反向前后电子运动的等效电流的差值，即|I1－I2|等于多少？ 17．空间分布着如图所示的匀强电场（场强为E、宽为L）和方向相反的匀强磁场（磁感应强度均为B），一带电粒子质量为m，电量为q（不计重力）从A点由静止释放后经电场加速后进入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后按某一路径再返回A点而重复前述过程．求中间磁场的宽度d和粒子的运动周期T．

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18．如图所示，现有一质量为、电量为的电子从y轴上的P（0，）点以初速度平行于x轴射出，为了使电子能够经过x轴上的Q（，0）点，可在y轴右侧加一垂直于xoy平面向里、宽度为的匀强磁场，磁感应强度大小为，该磁场左、右边界与y轴平行，上、下足够宽（图中未画出）．已知

，

．试求磁场的左边界距坐标原点的可能距离．（结果可用反三角函数表示）

19．如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压U，板长L=0.4m，板间距离d=0.4m，在金属板右侧有一边界为MN的匀强磁场，磁感应强度B=5×10-3T，方向垂直纸面向里，现

5

有一带电粒子以速度v0=10m/s、沿两板中线OO＇方向射入电场，磁场边界MN与中线OO＇垂直，

8

已知带电粒子的荷质比q/m=10C/kg，粒子的重力可忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为恒定不变的．

（1）t=0时刻射入的带电粒子沿直线射入磁场，求在磁场中运动的入射点和出射点间的距离． （2）证明射出电场的任何一个带电粒子，进入磁场的入射点和出射点间的距离为定值． （3）试求带电粒子射出电场时的最大速度．

20．一个实心圆柱体和一个中空圆柱形导体共轴放置，其间为真空，实心柱体半径为，中空柱体半径为，如图所示，其间有磁感应强度为B的匀强磁场，一群电子以径向速度从内圆柱体表面射出，试问电子的速度满足什么条件才能和中空圆柱体相碰？设电子的质量为m，电量为e，不考虑电子与电子之间的作用力以及碰撞．

21．如图所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通．两板问距离为两板与电动势为E的电源连接，一带电量为一质量为-q、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），开始时静止于C点正下方紧靠N板的A点，经电场加速后从C点进入磁场，并以最短的时间从C点射出，己知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且每次碰撞时间极短，碰后以原速率返回．求： （1）筒内磁场的磁感应强度大小．

（2）带电粒子从A点出发至第一次回到A点射出所经历的时间．

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22．如图所示，在平行于纸面的平面上建立一个xoy平面直角坐标系，在此坐标系的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．一个反质子（质量与质子相同，电荷与质子等值反性）和一个α粒子从坐标原点O垂直磁场方向以相同速度v进入磁场中，速度方向与x轴夹角为30°．已知反质子的质量为m，带电量为e且为负电荷，α粒子的质量为4m，带电量为2e． （1）反质子和α粒子在磁场中运动时间之比是多少？ （2）分别求出这两个粒子射出磁场区时的位置坐标？

23．如图所示，在x＞0、y＞0的空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一粒子源源不断地发射相同的带电粒子，粒子的初速度恒定，并从y轴上的a处沿x轴正方向射入匀强电场中，粒子经电场作用后恰好从x轴上的b处射出，已知oa=2ob=L．若撤去电场，在此区域加一方向垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感强度大小为B，其它条件不变，粒子仍恰好从b处射出，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用．

（1）求带电粒子的比荷q/m？

（2）带电粒子在电场中的运动时间t1与带电粒子在磁场中的运动时间t2之比是多少？

24．如图所示，纸平面内一带电粒子以某一速度做直线运动，一段时间后进入一垂直于纸面向里的圆形匀强磁场区域（图中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后从上板边缘平行于板面进入两面平行的金属板间，两金属板带等量异种电荷，粒子在两板间经偏转后恰从下板右边缘飞出．已知带电粒子的质量为m，电量为q，其重力不计，粒子进入磁场前的速度方向与带电板成θ=60°角．匀强磁场的磁感应强度为B，带电板长为，板距为d，板间电压为U．试解答： （1）上金属板带什么电？

（2）粒子刚进入金属板时速度为多大？ （3）圆形磁场区域的最小面积为多大？

25．一个初速度为零的带正电粒子从M板开始运动，经过MN两平行板间的电场加速后，从N板上的孔射入长方形abcd区域，如图所示．当带电粒子到达P点时，长方形abcd区域内出现大小不变、方

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向垂直于纸面且方向交替变化的匀强磁场，磁感应强度B=0.4T，每经过t=×10s，磁场方向变化一

次，粒子到达P点时磁场方向恰指向纸外，在Q处有一个静止的中性粒子，P、Q间距离PQ=3m，直

4

线PQ垂直平分ab、cd．己知c、d相距D=1.5m，带电粒子的比荷q/m=1.0×10C/kg，重力不计，求：

（1）如果加速电压U=200V，带电粒子能否与中性粒子碰撞？ （2）在图中画出U=200V时带电粒子的运动轨迹．

（3）能使带电粒子与中性粒子碰撞，加速电压的最大值是多少？

答案

1．碰撞次数K可能为2、3、4、5、6、7次 2．（1）

（2）

3．（1）y=0.069m（2）t=0.026s（3）T==0.043s

4．（1）（2）（3）

5．（1）

（=1，2，3，…）（2）

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6．（1）E=2.5N/C（2）m2/m1=11 7．（1）8．9．s=1.6m 10．（1）11．（1）

（2）（2）

（3）若μ大于或等于3/4，则W=

；若μ小于

（2）

3/4，则W＝mgR 12．（1）最小速度=5×

103m/s （2）粒子在0到0.04s内飞出磁场边界的时间为：

（3）磁场边界MN有粒子射出的长度范围为：△x=0.06m

（ 4）粒子经过的磁场区域

13．（1）（2）（3） 14．（1），磁场方向竖直向上（2）

15．（1）

（2）（3）

16．（1）证明略（2）

17．， 18．设

．当

时，见图1，磁场左边界距坐标原点的距离为

，其中

当时，见图2，磁场左边界距坐标原点的距离为

19．（1）0.4m（2）证略（3）v=1.4×

105m/s

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20． 21．（1）（2）

22．（1）（2）反质子的坐标（

，0）α粒子的坐标（0.2，

）

23．（1）

（2）

24．（1）上金属板带负电（2）

（3）

25．（1）能与中性粒子相碰（2）如图示（3）450V

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