广东省珠海十中九年级数学上册《一元二次方程的应用(二)》练习题(无答案) 人教新课标版

例1.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其

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余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米,求甬路的宽度?

分析:为了使问题简化,不妨把种小块矩形草坪平移后拼成一大块矩形草整体思考,问题便显得轻而易举.

解:可设甬路宽为x米,依题意,得

(402x)(26x)1446,解得x12,x244(不合题意,舍去).

答:甬路的宽度为2米.

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例2.如图3-9-2所示要建一个面积为150m的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为am,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.

(1)求鸡场的长与宽各为多少米?

(2)题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?

分析:从几何图形建立等量关系式.从所列得的方程的解、分类讨论a的不同取值所产生的影响.

解：（1）设鸡场的宽为x m，则长为(352x)m.依题意列方程为 x(352x)150. 整理，得 2x35x1500. 解方程，得x110,x27.5.

所以当x10时，352x20.

答：当鸡场的宽为10m时，长为15m；当鸡场宽为7.5m时，长为20m.

（2）由（1）解得结果可知：题中墙长am对题目的解起严格的作用.当a15时，问题无解；当15a20时，问题只有一解，即可建宽为10m，长为15m的一种鸡场；当a20时，问题有两解.

点评：应注意讨论a对题目的解起的关键作用.

例3.已知：如图3-9-3所示，在△ABC中，

2B90,AB5cm,BC7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以

1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

（1）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm？

（2）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm?说明理由.

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用心 爱心 专心 1

分析：设出未知数后，关键是用含未知数的代数式表示与问题有关的线段、面积等. 解 （1）设xs后，△PBQ的面积等于4cm，此时，APxcm,BP(5x)cm，

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BQ2xcm.

1BPBQ4,得 21 (5x)2x4.

2由

整理，得 x5x40. 解方程，得 x11,x24.

当x4时，2x87,说明此时点Q越过点C，不合要求. 答：1s后，△PBQ的面积等于4cm.

（2）仿（1），由BPBQ5 得(5x)(2x)5. 整理，得 x2x0

解方程，得x10（不合，舍去），x22. 答：2s后，PQ 的长度等于5cm. （3）仿（1），得

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21(5x)2x7 2整理，得 x5x70 容易判断此方程无解.

答：△PQB的面积不可能等于7cm.

点评：较为复杂的一元二次方程在几何（图形）上的应用，往往要借用一些几何知识，如：面积公式；勾股定理；其它乘积关系的几何定理等等.观察图形，寻找等量关系，列出方程是解这类问题的关键. [自我测试] 一、基础验收题

1.直角三角形的面积是30，两直角边的和是17，则斜边长为（ ） A.17 B.26 C.30 D.13

2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩

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形挂图，如图3-9-4所示，如果要使整个挂图的面积是00cm，设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（ ）

A.x130x14000 B.x65x3500

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用心 爱心 专心 2

C.x130x14000 C.x65x3500

3.把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形面积比正方形面积增加

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14cm,那么原来正方形的边长应是（ ）

A.3cm B.5cm C.4cm D.6cm

4.如图3-9-5，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度.

5.小娟家有一块矩形花园，他爸爸想把它改建成正方形如图3-9-6，这样就必须将长

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减少3m，宽增加2m，同时面积减少5m.问改建后的花园面积为多少m.

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6.李叔叔家房子前面有一块长方形荒地，准备把它建成一座花园.但修两条互相垂直的等宽小路，正好将荒地分成四个面积相等的小长方形.如图3-8-7，已知原长方形的长为

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30米，宽20米，要使每个小长方形面积不少于126m.则每条小路宽至少为多少米?

7.等腰梯形上、下底及高之比为1∶4∶2，它的腰与高之差为1cm，求梯形的面积. 8.在一块长是宽的2倍的长方形的开辟一个面积最大的圆形花园，这块长方形土地的剩

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余面积是180m，求这块长方形土地的长和宽？（结果可保留π） 9.如图3-9-8，梯形ABCD中，AD//BC,ABCD，AE是高，若

AEAD6.求AC的长.

二、综合能力测试题

1.如图3-9-9，长方形铝皮的长40cm,宽30cm,在四角截去相同的四个小正方形后，折起来做成一个没有盖子的盒子.已知盒子的底面面积是原长方形面积的一半，求盒子的高.

用心 爱心 专心 3

2.如图3-9-10，等腰Rt△ABC中，ABBC8 cm，动点P从点A出发，沿AB向点B移动.通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于点R、Q，问：AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm？

3.如图3-9-11，一张矩形报纸ABCD的长ABa cm，宽BCb cm.E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽之比.求a:b的值.

4.如图3-9-12，一块直角三角形的草坪要扩大成以AB为边的正方形草坪，已知BC长为4m，扩大的面积为15m2，则原来草坪的面积是多少？

5．在顶角为36°，腰长为10cm的等腰三角形中，一个底角的平分线把一腰分成两段，这两段的长各是多少？（精确到0.01cm） 6.如图3-9-13，所示一个农户用24m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且

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彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个鸡舍的总面积为36m,求每个鸡舍的长和宽.

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用心 爱心 专心 4