数学学习理论在教学中的应用

APOS数学学习理论在教学中的应用

一．问题的提出

从我区数学概念课单项式的教学实践与资料反馈显示，教师从定义出发，介绍符号表达，再讨论一系列性质，便匆匆进入解题环节，重结论轻过程短平快的教学方式希望学生能在熟能生巧中达到对概念的深入理解，但是一节课下来学生对单项式及其系数的判断还是出现问题，尽管教师不断的重复讲授，例如案例1。同样在几何教学中也存在同样问题，例如用圆心距和两圆的半径的数量关系来解释圆与圆的位置关系，教师的概念同化也非常明显。另一方面，依据天河区质量监控系统中所获得的数据，2007年上学期天河区初一初二数学期中测试分析行动报告中可以看出，教师对概念的教学、技能的有效训练以及学生对此部分的学习存在着较大问题，例如案例2。 案例1：单项式

1．自学：阅读课本P55，找出“单项式”，“系数”，“次数”等概念，并填空；（略） 2．经过上面的学习，你掌握了没有啊？来做一道题试一试：

判断下列代数式是否是单项式，不是的，请说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数。

5a2b3ab， a ， 5a ， ， -9 ， －x2y+z

32323. 练习：分 A、B、C组 (略) 案例2：分析行动报告（节选）：

初一：从本次考试中，我们可以看到许多考查基本概念的题目，然而学生对这部分题的 解答情况不容乐观。学生对基本概念的理解，基本技能的掌握上还存在着一定问题。比如：第6题是一道考察单项式的概念的题目，答对率相对比较低，通过对试题的具体分析，我们发现许多学生漏选了“0”这个选项，学生对“单个的字母和数字也是单项式”，为1这些概念都没有掌握好，不能正确判断0、y、明学生并没有真正掌握什么是单项式。

初二：对定义、定理、公式理解不够透彻。由于本次期中考的三章内容（《数的开方》、 《整式乘除》和《勾股定理》）中无理数的定义，平方根、立方根的定义区别，乘方意义的理解、二次根式的意义等多是对定义、公式和定理的理解和运用。部分学生没能真正理解定义的内涵、公式的实质和定理的题设和结论，只是死记定义、定理；硬背公式，或是模仿公

5的次数不x5这几个代数式是否属于单项式，这说x 1

式进行计算。这些都导致学生基础题型不过关，变式能力、分析能力不够的主要原因。建议教师在概念课的教学中注重概念内涵的理解和应用。

目前，相当多教师采取传统的概念同化教学方式，其教学步骤为：（1）揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊分类，揭示概念的外延；（3）巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；（4）概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。 这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使是那些跟着教师进行有意义学习的学生，其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。很多学生难以达到建构概念的图式层面。

而数学学习是一种特殊的学习，这主要是由数学内容的抽象性和数学知识体系的结构性所决定的。有人指出，数学抽象就其本质而言就是一种建构的活动，数学的研究对象正是通过这样的活动得到建构的。美国数学教育家杜宾斯基(Dubinsky) 等人提出一种建构主义学说———APOS 理论，对于理解数学学习的本质和促进数学学习的科学性有一定的启示和帮助。这个理论对数学概念的建立步骤提供了新的界定，也体现了一种教学规律，为概念教学提供了新的理论支持，同时也为我们提供了一种实用的教学策略。这种理论是否也可以在其它课型上得到应用呢，这引起我们的思考。

二．APOS 理论

APOS 分别是由英文action (操作) 、process (过程) 、object (对象) 和schema (图式)的第一个字母所组合而成，称其为APOS 理论。这种理论认为，在数学学习中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式从而理清问题情景、顺利解决问题。

皮亚杰认为，数学抽象活动的基本性质是一种“自反抽象”。从而与通常所谓的“经验抽象”有着重要的区别。具体地说，按照皮亚杰的观点所谓的“经验抽象”即是以真实的事物或现象作为直接的原型，也即是由一类物质对象中抽象出共同的特性，与此相反，“自反抽象”却并非是关于物质对象的，而只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动，或者说，这即是对人类自身活动进行反思的直接结果。皮亚杰的这一观点从一个侧面指明了数学学习的一

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个重要特点，特别是数学抽象活动的间接性。这就是说，数学抽象未必是以真实事物或现象为原型的直接抽象，而也可以是以已经得到建构的数学对象为原型的间接抽象，也即是在更高的层次上去对已有的东西重新进行建构。APOS理论就在于指明了这种建构的途径和方式。无论是“经验抽象”也好，还是“自反抽象”也罢，必须在经过操作、过程、对象、图式等阶段后才能完成数学对象、数学思维的建构和提升。

具体来说，所谓操作是指个体对于感知到的对象进行转换，这个对象实质上是一种外部刺激。举例来说，给出一个函数公式，要求个体计算出在一个给定点的函数值，这就是操作。不断重复这种操作，学生从中得到不断反思，于是就会在大脑中进行一种内部的心理建构，即形成一种过程模式。这种过程模式使得操作呈现出自动化的表现形式，而不再借助于外部的不断刺激。比如一旦学生认识到所谓函数只不过是给定一个不同的数就会得出相应的不同值，而不必再进行具体的运算时，他就已经完成了这种过程模式的建构。而当学生意识到可以把这个过程看作是一个整体，并意识到可以对这个整体进行转换和操作的时候，其实已经把这个过程作为一个一般的数学对象。这时不但可以具体地去指明它所具有的各种性质，如单调性、奇偶性、周期性等，也可以此为对象具体地去实施各种特定的数学演算，如微分运算、积分运算等。从数学的角度看，由“过程”向“对象”的转移其基本意义就是为从更高的层次进行研究开拓了现实的可能性。就如这个例子所表明的那样，只有通过将注意力由主要集中于相应的计算过程转移到函数本身，也即把函数看成一个单一的对象，我们才能进而讨论函数的各种性质，包括各种函数的相互关系及函数的运算等。个体对操作、过程、对象以及他自己头脑中的原有的相关方面的问题图式进行相应整合、精致就会产生出新的问题图式，这种图式的作用和特点就是可以决定某些问题或某类问题是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应。显然，个体的思维和认识状况在这种持续建构中已经上升到更高的层次，即对有关概念进行了更高层次的加工和心理表征。

三．基于APOS 理论的教学案例

目前基于APOS 理论的教学案例中，大多运用于数学概念教学实践中。认为： APOS 理论当中的活动阶段相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段；过程阶段则是对具体实体进行思维概括得出数学概念的阶段。但这还没有结束，要对概念有真正的理解，要使数学概念真正在学生头脑中建立起来，还必须上升到对象、图式阶段。对象阶段即是将概念作为一个已知对象应用到它生存的土壤或背景中，并将它作为一个工具， 一个新的对象来看待，即达到了对象阶段。对象阶段过后，概念建立还要进入图式阶段；能够区分、评价此概念与

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彼概念，这时概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中，其中包括具体的实例、抽象的过程，完整的定义及与其他概念的区分与联系等等。同时，还必须注意，APOS 理论的四个阶段(步骤) 一般不能逾越，应当循序渐进。 同时，又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华、逐级地抽象，不断地形式化，最后完成数学概念的建立。具体案例见附件，这里不在熬述，我们主要是在探求前面提出的的思考。

请先看在考察听到的一节小学3年级的解难策略训练课，其设计大概如案例3所示： 全班20人，这5道题解题错误人数分别为：0—17—12—10—8（按学生举手统计）。在这里，教师很明显的采取建构思维，取得了一定的效果，有不少学生通过建构解决了问题；但总觉得能否有更好的办法来取得更进一步的效果呢？我们尝试用APOS理论来完善一下。如案例4的设计，在实施时增加小组合作学习，恐怕效果会更加突出一些。 案例3：解难策略训练

问题1：裁缝制衣服：裁缝制造1件衣服需要2天，制造12件衣服需要多少天？

注：解决以下问题时要求学生画示意图（小学生创意，五花八门，有趣） 问题2：锯木头：一根木头锯成2段需要2分钟，锯成5段需要多少分钟？

问题3：植树：沿一条小路边种植树木，5米种1棵树，共种了10棵树，问小路长多少米？ 问题4：跑楼梯：跑一层楼梯需要上15级台阶，问从1楼跑到3楼需要跑多少级台阶？ 问题5：花坛设计：在一个圆形的花坛上放10盆花，每2盆花相隔2米（指的是圆弧长），问花坛的圆周长多少米？ 案例4：解难策略训练

1. 操作阶段----体会并思考两种问题之间的差异

问题1：裁缝制衣服：裁缝制造1件衣服需要2天，制造12件衣服需要多少天？

注：解决以下问题时要求学生画示意图（小学生创意，五花八门，有趣） 问题2：用剪刀剪绳子，剪一次需要2秒钟，问：

（1） 从一条长为10米的绳子剪下5段长为1米的绳子，需要多少秒？ （2） 把一条长为10米的绳子剪成5段，需要多少秒？ 教师通过这两个问题，引导学生自己初步体会两种问题之间的差异。 2．过程阶段----体验并抽象问题的解决过程

问题3：锯木头：一根木头锯成2段需要2分钟，锯成5段需要多少分钟？

问题4：植树：沿一条小路边种植树木，5米种1棵树，共种了10棵树，问小路长多少米？

4

教师通过这3个问题，使学生得到不断反思，进行内部的心理建构，形成一种过程模式。 3. 对象阶段---从更高的层次进行研究开拓现实，进行整体转换和操作 问题5：接问题2，把一条圆周长为10米的绳子剪成五段，需要多少秒？

在教学中，以形助数，使问题直观呈现，有利于对知识的识记和理解；有利于分析题中数量之间的关系，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。 4. 图式阶段----建立综合心理图式

问题6：花坛设计：在一个圆形的花坛上放10盆花，每2盆花相隔2米（指的是圆弧长），问花坛的圆周长多少米？

经历以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该形成了通过借助图形，揭示问题的关键难点的心理图式：具体的实例，运算过程，解题的策略，并利用数形结合的方法运用解决实际问题。

再看一个例子：华师大版九年级数学的《圆与圆的位置关系》的教学案例，此案例来自长兴中学肖晔老师的设计拓展。此课有概念的教学，更有更深层次的性质理解，不纯属概念课型。原设计在课堂实践中效果较好，现运用APOS理论重新整合设计，以期得到课堂实践的检验。

环节一、[温故知新]

1、点与圆位置关系有 种，如图1所示，⊙O的半径为r， （1）A点在圆 ，OA r，（2）B点在圆 ，OB r （3）C点在圆 ，OC r

2、如图2所示，r为⊙O的半径，d为直线l到圆心o的距离 在图（1）中，∵d r，∴直线l与⊙O 在图（2）中，∵d r，∴直线l与⊙O 在图（3）中，∵d r，∴直线l与⊙O

环节二、[操作（A）]

1、如下图，已知AB = 4cm，以A为圆心， 2、如下图，已知AB = 4cm，以A为圆心，1.5cm为半径画圆；以B为圆心，3cm为 1.5cm为半径画圆；以B为圆心，2cm为半径画圆。 半径画圆。

图2 图1

铺垫 作用

具体数据画图体验，感受

ABAB公共点不

⊙A与⊙B有公共点（交点）吗？ A与⊙B有公共点（交点）吗？ 同引起两

有几个？ 有几个？

3、如下图，已知AB = 3cm，以A为圆心，5cm为半径画圆；以B为圆心，1cm为半径

5

圆位置的

画圆。

不同及相切两圆圆心与切点共线（必要时解

AB ⊙A与⊙B有公共点（交点）吗 有几个？

4、如下图，已知AB = 4cm，以A为圆心， 5、如下图，已知AB = 3cm，以A为圆心，1.5cm为半径画圆；以B为圆心，2.5cm为 4cm为半径画圆；以B为圆心，1cm为半径画圆。 半径画圆。

释） AABB⊙A与⊙B有公共点（交点）吗？ ⊙A与⊙B有公共点（交点）吗？

有几个？ 有几个？

不用具体

的数据直

环节三、[过程（P）]

6、画一大一小两个圆，分别满足下列情况（尽可能画多种位置画法）

1、 两圆没有公共点 2. 两圆只有一个公共点 3、两圆有两个公共点 环节四、[对象（O）] ★ 总结：

☆ 如第1题图，⊙A与⊙B有 个公共点，我们就说这两个圆相交； ☆ 如第2题图，⊙A与⊙B 公共点，我们就说这两个圆外离； 如第3题图，⊙A与⊙B 公共点，我们就说这两个圆内含； 统称相离 ☆ 如果⊙A与⊙B只有 个公共点，我们就说这两个圆相切； 如第4题图，我们就说这两个圆外切； 如第5题图，我们就说这两个圆内切。观判断画图 把过程看做整体转换，形成概念通过练习完成过程模式建构 学生画图产生误差会有不同

B练习：

1、如右图，圆与圆之间的不同的位置关系有( ) A、2种 B、3种 C、4种 D、5种 环节五、[图式（S）]

[研究学习]如下图，已知△ABC，

（1）请画出∠A与∠B的角平分线，两条角平分线的交点为O； （2）过O作OD⊥AC于D；以A为圆心，AD为半径画圆； C（3）过O作OE⊥BC于E；以B为圆心，BE为半径画圆； （4）问题：⊙A与⊙B的位置关系是外离？还是相交？ 还是相切吗？为什么？ A（5）判断两个圆的位置关系需要哪几个重要数据？

、 、 。

（6）如何使用这几个数据？设r1为⊙A的半径，r2为⊙B的半径，AB为圆心距：（设r2≥r1）（注：利用几何画板课件帮助学生理解）

位置，引导得出三个数据产生位置变

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r1、r2、AB之间的数量关系 ⊙A与⊙B的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 化，利用课件帮助学生理解

（注：对于画图操作，从理论上说明时若学生理解有问题则可不必详细解释。利用几何画板课件帮助学生理解，从特殊到一般进行解释，根据学生实际情况判断是否需要淡化圆心与切点共线的说明而采取直观呈现处理）

环节六：练习设置（略，题量不宜多，重要在于学生的感受认知，促进学生产生图式，运用图式产生反映解决问题）

另外，在一元一次方程的技能有效训练中，是否也可以运用APOS理论呢？经过听课

调研发现，老师们都在不知不觉中运用建构主义理论来进行技能训练，因此APOS理论完全有可能在训练中得到成功运用，有兴趣教师不妨一试。

四．思考

从APOS 理论可以看出,数学学习中图式的形成往往并非是一种自觉的行为,而是一个不知不觉的渐进的建构过程。在整个环节中,相应的数学操作为图式的形成提供了必要的基础。APOS 理论已经在很多方面得到广泛的成功应用，是一种实用的教学策略。对于在数学其他课型学习的使用效果有赖于教师的课堂实践检验。运用时需要注意：

在操作阶段，需要活动让学生亲身感知问题,也需要学生积极展开思考去发现数学。要适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；并且有适当的具体问题数量，使学生能进行充足的活动体验。在活动层面要有所突破，这是设计的关键。

杜宾斯基等人认为, 学生建立图式不能跨越“过程”这一阶段。在活动中从一个实例到另一个实例的具体过程认识，学生才有可能抽象出对象，进而形成高层次的知识转换，建立起数学知识的直观结构形象。在操作、过程阶段，应阐明知识产生的合理性和必要性，揭示知识的形成过程，实现从“过程”到“对象”的转化。

在对象阶段，应深刻把握数学知识的本质属性，形成综合的心理图式，并能灵活加以应用，同时注意在教学中体现数学知识形成的数学思维方法。所以，作为对象，在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：它既操作别的对象，又被高层次的运算来操作。当

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知识进入对象状态时，便呈现一种静态结构关系，成为一个“实体”，易于整体把握性质，这时一个完整的理解才真正成型，新的图式才能在学生大脑中建构。

APOS理论为我们教师数学教学和学生学习提供一种策略和教学理论，广大教师若能从中汲取学习，对自己的教学定会有所帮助。 参考文献：

1．张奠宙,李士, 李俊. 数学教育学导论. 北京:高等教育出版社,2003 ,4. 2．乔连全.APOS:一种建构主义的数学学习理论.全球教育展望，2001. 3. 3．唐艳．基于APOS理论的数学概念教学的设计．上海中学数学，2005，12． 4．李莉．学生学习数学概念的层次分析[T]．数学教育学报，2002，8(2)：12-14 . 5．郑毓信，梁贯成.认知科学建构主义与数学教育.上海教育出版社 ，2002.12 6．涂荣豹.建构主义的辨析及再认识.中学数学教学参考，2002 . 3. 附件一：

三篇文章的链接：天河部落-----初中数学

http://59.42.251.241:9010/lyd07/article/2039/633319571722874409.aspx http://222.16.82.130/lyd07/article/2039/633319571722874409.aspx 1．乔连全.APOS:一种建构主义的数学学习理论. 2．唐艳．基于APOS理论的数学概念教学的设计． 3．李莉．学生学习数学概念的层次分析 附件二：

六年级《比例》这一节内容，按照APOS理论可以设计如下的教学：

1. 活动阶段----创设问题情景, 在活动中思考问题

活动一：让同学拿出准备的测量直尺,量一量自己数学课本的长和宽； 活动二：把这本课本的尺寸图画在练习本上,有几种画法？ 活动三：观察并计算，所画的图中的课本长和宽的比是否相等？ 学生量出的结果：12∶5 1.2∶0.5 120 ∶50 „„

教师通过这三个问题，引导学生自己初步体会几组数据的比相等这一关系。 2. 过程阶段----体验并抽象比例概念的过程

教师任意选取两组学生两组组数据，12∶5 和1.2∶0.5 ，让学生发现这两组数据的关

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系---相等，写出数学式子，即12∶5 =1.2∶0.5，抽象概括比例概念这一过程，即a,b,c,d四个量中，如果 a ∶b = c∶d，那么a,b,c,d成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例。

接下来，教师和学生一起回顾比的内容a ∶b可写成b = c∶d可写成

。

的形式，引导学生能够写出a ∶

3. 对象阶段----比例式进行变形成为乘积式

这一阶段，教师可继续让学生观察上面归纳出来的比例式，应用等式的基本性质进行计算，

的两边同时乘以bd，得ad=bc。反过来，在ad=bc的两边同时除以bd，得

，

其中a,b,c,d都不为零。

从而得到比例的基本性质 如果a ∶b = c∶d或

，那么ad=bc。

。

反之，如果a,b,c,d都不为零，且ad=bc，那么a ∶b = c∶d或（即两外项积等于两内项积） 接下来出示课堂练习

例1 比例6∶15 ＝100∶250写成分数形式是 ，写成等积式是 。 例2 求下列各式中的x

①x∶4.8 ＝5∶2 ② 4∶x ＝③

∶1

④15∶x ＝1.2∶1.5

例3 牛肉6千克售100元。现有250元，可以购买牛肉多少千克？ 通过练习进一步理解和掌握比例的概念和比例的基本性质。 4. 图式阶段----建立综合心理图式

经历以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该形成了比例的心理图式：具体的实例，运算过程，比例的意义，并利用比例的基本性质进行运用解决实际问题。

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