高考物理 万有引力与航天讲义

考点一 万有引力定律及其应用

1．开普勒行星运动定律

(1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． (2)开普勒第二定律(面积定律)：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积． (3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即a3T2＝

k.

2．万有引力定律 (1)内容：

①自然界中任何两个物体都相互吸引． ②引力的方向在它们的连线上．

③引力的大小与物体的质量m1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．

(2)表达式：F＝Gm1m2－

r2，其中G为引力常量，G＝6.67×1011 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定．

(3)适用条件：

①两个质点之间的相互作用．

②对质量分布均匀的球体，r为两球心的距离． 命题视角1 开普勒三定律的应用

(多选)(2016·杭州外国语学校月考)据报道，美国探测器成功撞

击“坦普尔一号”彗星，并投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大碰撞”，如图所示．设“坦

普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一椭圆，其运行周期为5.74年，则下列说法中正确的是( )

A．探测器的最小发射速度为7.9 km/s B．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的加速度大于远日点处的加速度 C．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的线速度小于远日点处的线速度 D．探测器运行的周期小于5.74年

[思路点拨] 结合开普勒三定律解决问题比较方便．

[解析] 要想脱离地球控制，发射速度要达到第二宇宙速度11.2 km/s，故选项A错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律GMmr＝ma，得a＝GM

2r2，可知近日点的加速度大，故选项B正确；根据开普勒第二定律可知，行星

绕日运动的近日点的线速度大，远日点的线速度小，故选项C错误；探测器的轨道比彗星低，根据开普勒第三定r3

律T

2＝k可知其运行周期一定比彗星的运行周期小，故选项D正确． [答案] BD

命题视角2 星球附近重力加速度的问题

(多选)(2015·高考全国卷Ⅰ)我国发射的“嫦娥三号”登月探

测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次

悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器( )

[思路点拨] 在地球的两极和赤道处存在向心力的差异，利用g的不同找出与质量之间的关系进而求解出密度的表达式．

A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N

C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

[审题点睛] 由月球和地球的质量、半径关系可求出月球表面的重力加速度，从而求出速度、反冲作用力等问题．

GM月

解析] 设月球表面的重力加速度为gg月g＝R月2＝M月·R2[地1

月，则地R2＝×3.72，解得g月≈1.7 m/s2月81

.由v2＝2g月h，

地GM地MR2地

得着陆前的速度为v＝2g月h＝2×1.7×4 m/s≈3.7 m/s，选项A错误．悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103 N，

选项B正确．从离开近月圆轨道到着陆过程中，除月球引力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项GM月C错误．设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为vv1

R月

M月R地

1、v2，则v2

＝GM＝地M·地R月

R地

＝

3.781

<1，故v1命题视角3 天体质量和密度的计算

(2014·高考全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球

体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球

的密度为( )

A.3πg0－gGT2g0 B.3πg0GT2g0－g C.3π

GT

2 D．3πg0

GT2g

[解析] 在地球两极重力等于万有引力，即有mg0＝GMm4

R2＝3πρmGR，在赤道上重力等于万有引力与向心力

的差值，即mg＋m4π2Mm43πg0

T2R＝GR2＝3πρmGR，联立解得：ρ＝GT2(g，B项正确．

0－g)

[答案] B

1．[视角1](多选)(2014·高考全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是( )

地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径(AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B．在2015年内一定会出现木星冲日

C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半

D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 3

BD.由开普勒第三定律r3

解析：选T

2＝k可知T行＝

r行r

·

T地＝r3行年，

根据相遇时转过的角度之差Δθ＝2nπ地及ω＝Δθt可知相邻冲日时间间隔为t，则2π2πT－T行T地T行地T行t＝2π，即t＝T＝，又T火＝1.53年，T木＝5.23年，

行－T地T行－1T土＝

9.53年，T

天

＝193年，T

海

＝303年，代入上式得

t>1年，故选项A错误；木星冲日时间间隔t5.23

木＝5.23－1

年<2年，所以选项B正确；由以上公式计算t土≠2t天，t海最小，选项C错误，选项D正确．

2．[视角2](2015·高考重庆卷)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )

A．0 GMmC. (R＋h)2

GMB． (R＋h)2GMD．2 h

Mmv24π22πrrv24π2r3v3T由G2＝m＝m2r和T＝得：M＝＝2＝. rrTvGGT2πG

M3πr33π

(3)若已知天体半径为R，则天体密度ρ＝＝23；若r＝R，则ρ＝2；若已知天体表面的重力加速度g

VGTRGT3g

及天体半径R，则天体密度ρ＝.

4πGR

2．万有引力与重力的关系

MmGM

解析：选B.飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确． 2

(R＋h)(R＋h)23．[视角3](多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球

自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出( )

mgR2

A．地球的质量地＝G

3B．太阳的质量m4π2L2

太＝GT22 3

C．月球的质量m4π2L1

月＝GT21

D．可求月球、地球及太阳的密度

Gm地m00来说，应有m0g＝gR2解析：选AB.对地球表面的一个物体mR2，所以地球质量m地＝G，A项正确．对

地球绕太阳运动来说，有Gm太m地L22＝m4π24π2L32

地T22L2，则m太＝GT2

2，B项正确．对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D项错误．

1．求解中心天体质量的方法

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解 GMmgR2由R2＝mg得M＝G

.

(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解

(1)在赤道上F＝Fmg＝GMm

万向＋mg，即R2－mω2R；

(2)在两极F＝mg，即mg＝GMm

万R

2；

(3)在一般位置，万有引力等于mg与F向的矢量和．

考点二 宇宙速度与卫星运行

1．环绕速度

(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9_km/s． (2)特点

①第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度． ②第一宇宙速度是人造卫星最大的环绕速度． (3)第一宇宙速度的计算方法： GMmv2

①由GMR2＝mR

得v＝R． ②由mg＝mv2

R得v＝gR．

2．第二、三宇宙速度的比较 名称 大小 挣脱 共同点 第二宇宙速度11.2 地球的引力均为相(脱离速度) km/s 束缚 应的最第三宇宙速度16.7 太阳的引力小发射(逃逸速度) km/s 束缚 速度 3.人造地球卫星

(1)人类发射的绕地球运行的所有航天器均可称为人造地球卫星，它们的轨道平面一定通过地球地心． (2)极地卫星和近地卫星

①极地卫星运行时每圈都经过两极，极地卫星可以实现全球覆盖．

②近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径．

(3)地球同步卫星

①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．

②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s. ③高度一定：离地面高度h＝r－R≈6R(R为地球半径)． ④绕行方向一定：与地球自转的方向一致． 命题视角1 卫星运行参量的比较

(2015·高考北京卷)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运

动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )

A．地球公转的周期大于火星公转的周期 B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度

[思路点拨] 比较卫星运行参量需看决定条件，一般满足“低轨高速周期短”的原理． [解析] 根据GMm＝m2πr3r2T2r＝mv2r＝man＝mω2r得，公转周期T＝2π

GM

，故地球公转的周期较小，选项A错误；公转线速度v＝

GMr，故地球公转的线速度较大，选项B错误；公转加速度an＝GM

r

2，故地球公转的加速度较大，选项C错误；公转角速度ω＝

GM

r3

，故地球公转的角速度较大，选项D正确． [答案] D

命题视角2 宇宙速度问题

(多选)据悉，我国的火星探测计划将于2018年展开.2018年左

右我国将进行第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量的1

9，火星

的半径约为地球半径的1

2

.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )

A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可

B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以

C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度

D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的

23

[审题点睛] 从对宇宙速度的理解上得出发射速度的大小，由万有引力提供向心力得出第一宇宙速度的表达式，进而解答本题．

[解析] 要将火星探测器发射到火星上去，必须脱离地球引力，即发射速度要大于第二宇宙速度，火星探测器仍在太阳系内运转，因此从地球上发射时，发射速度要小于第三宇宙速度，选项A、B错误，C正确；由第一

宇宙速度的概念，得GMmv21

GMR2＝mR，得v1＝

R

，故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约为29＝2

3

，选项D正确． [答案] CD

命题视角3 同步卫星问题

(2014·高考天津卷)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年

前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )

A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大 C．线速度变大 D．角速度变大

[思路点拨] 分析同步卫星需知道它的特点：位于赤道上空，角速度和地球自转角速度相同，离地高度一定．[解析] 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即GMmr2＝mr2πT23，得r＝GMT24π2

，由于同步卫星

的周期等于地球的自转周期，当地球自转变慢，自转周期变大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的

MmGMMmv2

高度变大，A项正确；由G2＝ma得，a＝2，半径变大，向心加速度变小，B项错误；由G2＝m得，v

rrrr＝

GM2π

，半径变大，线速度变小，C项错误；由ω＝分析得，同步卫星的周期变大，角速度变小，D项错误． 点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗

日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )

rT[答案] A

4．[视角1]地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )

A．F1＝F2＞F3 B．a1＝a2＝g＞a3 C．v1＝v2＝v＞v3 D．ω1＝ω3＜ω2

解析：选D.地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1＜v3，a1＜a3；人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即GMmmv2

GM2＝mω2

r＝＝ma可得，a＝GM

rr

v＝

2，ω＝GM

rr

r3

，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2＞v3，a2＞a3，ω2＞ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g；所以v＝v2＞v3＞v1，g＝a2＞a3＞a1，ω2＞ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2＞F3＞F1.由以上分析可见，选项A、B、C错误，D正确．

5．[视角2](2014·高考福建卷)若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )

A.pq 倍 B.

q

倍 C.p

p

q

倍 D.pq3 倍 解析：选C.卫星绕中心天体做圆周运动时，万有引力充当向心力，即GMmv2

GM

r2＝mr

，得v＝

r

，可见环绕速度与中心天体质量与半径比值的平方根成正比．题述行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的p

q

倍，C项正确．

6．[视角3](2015·高考山东卷)如图，拉格朗日点L1位于地球和月

球连线上，处在该

A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3 C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1

2

解析：选D.空间站和月球绕地球运动的周期相同，由a2πn＝Tr知，a2>a1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得GMm

r

2＝man，可知a3>a2，故选项D正确．

1．解决天体圆周运动问题的两条思路

(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即GMm

R2＝mg，整理得GM

＝gR2，称为黄金代换．(g表示天体表面的重力加速度)

(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

Mmv24π2Gr2＝mr＝mrω2

＝mrT

2＝man. 2．用好“二级结论”，速解参量比较问题

将天体运动模型简化为匀速圆周运动，明确中心天体(质量M、半径R)、绕行天体(质量m)、轨道半径r，列出万有引力提供向心力的公式求解．基本关系式为GMmv22r2＝mr＝mrω2

＝mπT2r＝ma.“二级结论”有：①向心加

速度a∝1

2，r越大，a越小；②线速度v∝

1

r

r

，r越大，v越小，r＝R时的v即第一宇宙速度(绕行天体在圆轨道上最大的线速度，发射卫星时的最小发射速度)；③角速度ω∝

1

r3

，r越大，ω越小；④周期T∝r3，r越大，T越大．即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”．

考点三 双星系统模型

双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，

分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离

和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )

A.n3

n3k2

T B.kT C.

n2

nk

T D．

k

T [思路点拨] 以其中的一颗星为研究对象，对其受力分析，应用合力(万有引力)提供向心力列方程，再对另一颗星采用同样的方法列方程，解方程组即可．

[解析] 设两恒星中一个恒星的质量为m，围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动的半径为r，两星总质量为m(M－m)4π2m(M－m)4π2

M，两星之间的距离为R，由GR3

R2＝mrT2，GR2＝(M－m)(R－r)T

2，联立解得：T＝2π

GM

.经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为T′＝2π

(nR)3

n3

G(kM)

＝k

T.选项B正确． [答案] B

7．(2016·河南三门峡模拟)在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：

(1)双星的轨道半径； (2)双星的运行周期；

(3)双星的线速度．

解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，如图所示，所以具有周期、频率和角速度均相同，而轨道半径、线速度不同的特

点．

(1)由于两星受到的向心力相等， 则M1ω2R1＝M2ω2R2，L＝R1＋R2.

由此得：R1＝M2M1＋M2L，R2＝M1

M1＋M2L.

(2)由万有引力提供向心力得 GM1M22πL2＝M1T2M2πR1＝2T2R2.

所以，周期为T＝2πLL

G(M1＋M2).

(3)线速度v1＝2πR1

G

T＝M2

L(M＋M，

12)

v2＝

2πR2

G

T

＝M1L(M1＋M2)

.

答案：(1)R1＝M2M1＋M2L R2＝M1

M1＋M2L

(2)T＝2πL

L

G(M1＋M2)

(3)v1＝M2G

L(M1＋M2)

v2＝M1G

L(M1＋M2)

有关双星系统的三点说明

(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm1m2

L

2＝m1ω2

1r1， Gm1m2

L

2＝m2ω22r2. (2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2.

(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为

r1＋r2＝L.

考点四 卫星变轨问题

1．从低轨变高轨(如图所示)

(1)在P点加速(短时)由圆轨道1进入椭圆轨道2； (2)在椭圆轨道2上远地点Q再短时加速进入圆轨道3.

虽有两次短时加速，但卫星从近地点P到远地点Q的过程中引力做

负功，由v＝

GMr

知，卫星的速度减小(动能减小、势能增大)．

2．从高轨变低轨(如图所示)

(1)在轨道3上Q点短时制动减速由圆轨道3进入椭圆轨道2； (2)在轨道2上P点再短时制动减速进入圆轨道1.

3．渐变转轨：在卫星受空气阻力作用轨道变化问题中，“空气阻力”是变轨的原因，一般分析过程为：卫星

在半径为r1的较高轨道上做圆周运动，v1＝

GMr1(速度)减小→致使GMmv2

→空气阻力做负功→卫星动能r2＞mr

→卫星做向心运动→轨道高度缓慢降低到半径为r2的圆轨道上→重力做正功→卫星动能(速度v2＝

GM

r2

)增大．实质上，卫星在稀薄空气阻力作用下的运动是机械能缓慢减小、轨道半径缓慢减小、动能(速度)缓慢增大的运动．

命题视角1 运动参量变化问题

如图所示，1、3轨道均是卫星绕

地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R，2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B点，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是( )

A．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能

B．若卫星在1轨道上的速率为v1，卫星在2轨道A点的速率为vA，则v1＜vA

C．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a1、a3，卫星在2轨道A点的加速度大小为aA，则aA＜a1＜a3

D．若OA＝0.4R，则卫星在2轨道B点的速率vB＞

5GM

8R

[思路点拨] 卫星变轨过程中速度变化要从离心、向心的角度来分析，而加速度要从受力的角度来分析． [解析] 2、3轨道在B点相切，卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的，卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能，A错误；以OA为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A点，则v4＜vA，又因v1＜v4，所以v1＜vA，B正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是aA＞a1＞a3，C错误；由开普勒第三定律可知，2轨道的半长轴为R，OB＝1.6R，3轨道上的线速度v3＝

5GM

，又因vB5GM

8R

＜v3，所以vB＜ 8R

，D错误． [答案] B

命题视角2 能量变化问题

(2014·高考山东卷)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝GMmh

R(R＋h)，其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的

自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( )

A.mg月RR＋h(h＋2R) B.mg月R

R＋h(h＋2R) C.mg月RR＋h

h＋22R

D．mg月RR＋h1

h＋2R

 [审题点睛] 由题意推导出环绕天体机械能的表达式，则由机械能守恒可得出结果．

[解析] 根据题意可知，要使“玉兔”和飞船在距离月球表面高为h的轨道上对接，若不考虑月球的自转影响，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做的功应为克服月球的万有引力做的功与在该轨道做圆周运动的动能之和，所以W＝Ep＋Ek，Ep＝GMmhGMmmv2GMm

R(R＋h)，再根据(R＋h)2＝R＋h，据此可求得需要的动能为Ek

＝2(R＋h)，再联系GM＝g2，由以上三式可求得，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做的功应为W＝

mg月R月RR＋hh＋12R

，所以该题正确选项为D.

[答案] D

命题视角3 卫星追赶问题

太阳系中某行星A运行的轨道半径为R，周期为T，但科学

家在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离．天文学家认为

形成这种现象的原因可能是A外侧还存在着一颗未知行星B，它对A的万有引力引起A行星轨道的偏离，假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同，由此可推测未知行星B绕太阳运行的圆轨道半径为( )

2

A．R

3

tt－T

B．Rt

t－T

R

C．R

3

t－T2

t

D．R

3t2

t－T

[审题点睛] 解决此类问题需从转动角度差即Δθ＝ω1t－ω2t来求解．

[解析] 在太阳系中行星A每隔时间t实际运行的轨道发生一次最大偏离，说明A、B此时相距最近，此过程类似于钟表中时、分两针从重合到再次重合，已知A的轨道半径小于B的轨道半径，则有ωAt－ωBt＝2π，即2π

Tt

－2π3tT′t＝2π，得T′＝tt－TT，利用开普勒第三定律有R3R′3＝T2T′2

，解得R′＝R

t－T2，所以只有A项正确． [答案] A

8．[视角1](多选)(2016·湖北八校联考)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点．a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是( )

A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s

B．嫦娥三号在M点进入地月转移轨道时应点火加速

C．设嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1

＞a2

D．嫦娥三号在圆轨道a上的机械能小于在椭圆轨道b上的机械能

解析：选BD.嫦娥三号在环地球轨道上运行速度v满足7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，则A错误；嫦娥三号要脱离地球需在M点点火加速让其进入地月转移轨道，则B正确；由a＝GM

r2，知嫦娥三号在经过圆轨道a上的N点和

在椭圆轨道b上的N点时的加速度相等，则C错误；嫦娥三号要从b轨道转移到a轨道需要减速，机械能减小，则D正确．

9．[视角2](多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断

正确的是( )

A．卫星的动能逐渐减小

B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小

C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小

解析：选BD.卫星轨道半径逐渐减小，线速度可认为依然满足v＝

GMR，则卫星的动能Ek＝11GMm

2mv2＝2×R

逐渐增大，A错误．由于W引＞0，则引力势能减小，B正确．由于W阻≠0，有非重力做功，则机械能不守恒，C

错误．由W引－W阻＝ΔEk＞0，所以W阻＜W引＝|ΔEp|，可知D正确． 10.[视角3]如图所示，A、B两颗行星绕同一颗恒星做匀速圆周运动，运转方向相同，A的周期为T1，B的周期为T2，若T2＞T1，在某一时刻T0，两行星相遇(即两行星相距最近)，试

求：再经过多少时间两行星又相遇？

解析：两行星再次相遇的实质是：两者转过的角度相差2nπ， 设A、B经过Δt后再次相遇，则有

ω1Δt－ω2Δt＝2nπ(n＝1，2，…)

又因为ω2π1＝T1、ω2＝2π

T2

由以上两式可得Δt＝nT1T2

T2－T1(n＝1，2，…)

答案：nT1T2

T2－T1

(n＝1，2，…)

1．从引力和向心力的关系分析变轨问题

(1)卫星突然加速(通过发动机瞬间喷气实现，喷气时间不计)，则万有引力不足以提供向心力，GMm

v′2r2＜mr，

卫星将做离心运动，变轨到更高的轨道．

(2)当卫星突然减速时，卫星所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星变轨到较低的轨道． 2．变轨问题考查的热点

(1)运动参量的比较：两个轨道切点处，加速度由GMm

r2＝ma分析，式中“r”表示卫星到地心的距离，a大小相

等；由于变轨时发动机要点火工作，故线速度大小不等．

(2)能量的比较：在离心运动过程中(发动机已关闭)，卫星克服引力做功，其动能向引力势能转化，机械能保持不变．两个不同的轨道上(圆轨道或椭圆轨道)，轨道越高卫星的机械能越大．

一、选择题(1～6小题为单选题，7～10小题为多选题)

1．(2015·高考福建卷)如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心

O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )

A.v1r2

r1v2

＝r B.v11

v2

＝r2

C.v1＝(r2

)2 D．v1v2r1v2＝(r1r2

)2

[导学号76070186] 解析：选A.对人造卫星，根据万有引力提供向心力GMmv2

GM

r2＝mr，可得v＝

r

.所以对于a、b两颗人造卫星有v1

r2

v2

＝

r1

，故选项A正确． 2.如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心

角为θ弧度，已知引力常量为G，则月球的质量是( )

l2θ3l3t2A.Gθ3t B.Gl2t C.Gθt2 D.Gθl

3 [导学号76070187] 解析：选C.由题意知，线速度v＝lθt，角速度ω＝t，由v＝ωr得r＝l

θ.“嫦娥三号”做匀

速圆周运动，万有引力提供向心力，由GMmr2＝mω2

r，解得M＝l3

Gθt

2，选项C正确．

3．(2015·高考四川卷)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地

球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )

行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m 地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011 火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011 A.火星的公转周期较小

B．火星做圆周运动的加速度较小 C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大

[导学号76070188] 解析：选B.火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由GMm4π2

r2＝mT2r＝

man知，因rr3GMGM

火＞r地，而T2＝4π2，故T火＞T地，选项A错误；向心加速度an＝r2，则a火＜a地，故选项B正确；

地球表面的重力加速度gGM地GM火

地＝

R2，火星表面的重力加速度g火

＝，代入数据比较知g火＜g地，故选项C错误；地R2火

地球和火星上的第一宇宙速度：vGM地

GM火

地＝

R，v火＝R，v地＞v火，故选项D错误． 地

火

4.将地球看成均匀球体，已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心，地球表面处的重力加速度为g.假设在地球内挖去一半径为R

2的

球(R为地球半径)，如图所示．则图中A点的重力加速度为(O为地心，A为切点，忽略地球自

转)( )

A.g2 B.gg7g3 C.4 D.8

[导学号760701] 解析：选A.设地球的平均密度为ρ，则地球质量M＝ρ·4π

3R3，挖去部分的质量为M′＝

ρ·4π3·R38，则地球表面重力加速度g＝GM

4GM′gR2，挖去部分的质量在A点对应的重力加速度g′＝R2＝2，于是A点的重力加速度为gA＝g－g′＝g

2

，选项A正确．

5.2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞．这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义．我国今年底也将发射全球功能最强的暗

物质探测卫星．若

图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列选

项正确的是( )

A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1

B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1 C．双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2

D．双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2 [导学号76070190] 解析：选B.双黑洞绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项A错误；双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞间的距离为L，由GM1M2

L2＝

M1r1ω2＝M2r2ω2，得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1，选项B正确；双黑洞的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项C错误；双黑洞的向心加速度之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项D错误．

6．(2016·济南模拟)探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P

处，通过变速，再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道上”绕月飞行(视为圆周运动)，对月球进行探测．若探月卫星在“工作轨道”上的运行周期为T，“工作轨道”距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体C．“嫦娥五号”在3轨道所具有的机械能小于在2轨道所具有的机械能 D．“嫦娥五号”在3轨道所具有的最大速率小于在2轨道所具有的最大速率

[导学号76070193] 解析：选AB.“嫦娥五号”在1轨道做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响．下列说法正确的是( )

A．探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”的过程中应增大速度

B．探月卫星在“转移轨道”上运动的速度不断减小 C．探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小为 2π(R＋h)

T

D．月球的第一宇宙速度为

2πR

T

[导学号76070191] 解析：选C.探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，减小速度才能使卫星被月球引力俘获，选项A错误；探月卫星在“转移轨道”上靠近月球时，引力做正功，其速度不断增大，选项B错误；探月卫星在“工作轨道”上，其线速度的大小为v＝2π(R＋h)

T，选项C正确；设月球质量为M，探月卫星质量为

GMmGM2(R＋h)2

＝m(R＋h)4π2

m，万有引力提供向心力，T2，月球的第一宇宙速度v1＝

R，由以上两式解得v1＝πT

(R＋h)3

R

，选项D错误． 7．(2015·高考广东卷)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( )

A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大

B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大

[导学号76070192] 解析：选BD.探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由GMmv2

GM

R2＝mR，得v＝

R

，则摆脱星球引力时的发射速度2v＝

2GM

R

，与探测器的质量无关，选项A错误；设火星的质量为M，半径为R，则地球的质量为10M，半径为2R，地球对探测器的引力F1＝G10Mm(2R)2＝5GMmMm

2R2

，比火星对探测器的引力F2＝GR2大，选项B正确；探测器脱离地球时的发射速度v1＝

2G·10M

10GM

2R

＝ R

，脱离火星时的发射速度v2＝ 2GM

R

，v2＜v1，选项C错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能逐渐增大，选项D正确． 8.“嫦娥五号”的主要任务是月球取样返回．“嫦娥五号”要面对取样、上升、对

接和高速再入等四个主要技术难题，要进行多次变轨飞行．如图所示是“嫦娥五号”绕月球飞行的三条轨道，1轨道是贴近月球表面的圆形轨道，2和3轨道是变轨后的椭圆轨道．A点是2轨道的近月点，B点是2轨道的远月点．“嫦娥五号”在轨道1

的运行速率为1.8 km/s，则下列说法中正确的是( )

A．“嫦娥五号”在2轨道经过A点时的速率一定大于1.8 km/s B．“嫦娥五号”在2轨道经过B点时的速率一定小于1.8 km/s

得GMmrmv21r，由1轨道变轨到2轨道“嫦娥五号”做离心运动，则有GMmv22A

2＝r2＜mr

，故v1＜v2A，选项A正确；

“嫦娥五号”在2轨道B点做近心运动，则有GMmv2

2B

Mmr2B＞mrB，若“嫦娥五号”在经过B点的圆轨道上运动，则Gr2

B

v2＝mB

rB，由于r＜rB，所以v1＞vB，故v2B＜vB＜v1＝1.8 km/s，选项B正确；3轨道的高度大于2轨道的高度，故“嫦

娥五号”在3轨道所具有的机械能大于在2轨道所具有的机械能，选项C错误；“嫦娥五号”在各个轨道上运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，在A点时重力势能最小，动能最大，速率最大，故“嫦娥五号”在3轨道所具有的最大速率大于在2轨道所具有的最大速率，选项D错误．

9．(2015·高考天津卷)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围

的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )

A．P1的平均密度比P2的大

B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小 C．s1的向心加速度比s2的大

D．s1的公转周期比s2的大

[导学号76070194] 解析：选AC.由图象左端点横坐标相同可知，P1、P2两行星的半径R相等，对于两行星MmR2的近地卫星：GRma，得行星的质量M＝a

2＝G，由a－r2图象可知P1的近地卫星的向心加速度大，所以P1的

Mmmv2

质量大，平均密度大，选项A正确；根据GGM

R2＝R

得，行星的第一宇宙速度v＝

R

，由于P1的质量大，所以P1的第一宇宙速度大，选项B错误；s1、s2的轨道半径相等，由a－r2图象可知s1的向心加速度大，选项C

正确；根据GMmr3

r

2＝m2πT2r得，卫星的公转周期T＝2π

GM

，由于P1的质量大，故s1的公转周期小，选项D错误．

10．同重力场作用下的物体具有重力势能一样，万有引力场作用下的物体同样具有引力势能．若取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能为Ep＝－Gm0m

r(G为引力常量)，设宇宙中有一个半径为R

的星球，宇航员在该星球上以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的物体，不计空气阻力，经t秒后物体落回手中，则( )

A．在该星球表面上以 2v0R

t

的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 B．在该星球表面上以2v0R

t

的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 C．在该星球表面上以 2v0R

t

的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 D．在该星球表面上以2

v0R

t

的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 g′t

[导学号76070195] 解析：选ABD.设该星球表面附近的重力加速度为g′，物体竖直上抛运动有：v0＝，

2m0mv2m0m1

在星球表面有：mg′＝G2，设绕星球表面做圆周运动的卫星的速度为v1，则m＝G2，联立解得v1＝

2v0R

，F1R2F24π2R3

答案：(1)a.＝ 0.98 b.＝1－ (2)与现实地球的1年时间相同

F0(R＋h)2F0GMT2

12.(2015·高考安徽卷)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们

的作用，存在着一RRRt

A正确；2

v0R

＞2v0Rt

t，B正确；从星球表面竖直抛出物体至无穷远速度为零的过程，有11

2mv22＋Ep＝0，即2mv22＝Gm0mv0R

R

，解得v2＝2

t

，C错误，D正确． 二、非选择题(要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)

11．(2014·高考北京卷)万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．

(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.

a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1

F0

的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具

体数值(计算结果保留两位有效数字)；

b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2

F0

的表达式．

(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？

[导学号76070196] 解析：(1)设小物体质量为m.

a．在北极地面，GMm

R

2＝F0

在北极上空高出地面h处GMm

(R＋h)2＝F1

F1R2得F0＝(R＋h)2

当h＝1.0%R时，F11

F0＝1.012

≈0.98.

b．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有 Mm4π2F24π2R－F2＝mR3G2T2R得F0＝1－GMT2

. (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力． 设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有 MSM4π2 Gr2＝MrT2E

3

得TE＝

4π2r3πGMrR3

S

＝ GρS

其中ρ为太阳的密度．

由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径以及太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．

种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，

三角形的边长为a，求：

(1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T.

[导学号76070197] 解析：

(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为 FBA＝GmAmB2m2

r2＝Ga2＝FCA，方向如图所示，则合力大小为FA

23Gm2

＝a

2.

(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为 FAB＝GmAmB2m2

r2＝Ga

2，

FCB＝GmCmBm2

r2＝Ga2，方向如图所示．

由FBx＝FABcos 60°＋FCB＝2Gm2

a

2，FBy＝

ABsin 60°＝3Gm2Fa2，可得FB＝F2Bx＋F2

By＝7Gm2

a2.

(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则RC＝322

4a＋12a

，可得RC

＝74a.

1(或由对称性可知OB＝OC＝RC，cos ∠OBD＝FBxDB2a

7

FB＝OB＝RC，得RC＝4a)

(4)三星体运动周期相同，对C星体，由F2C＝FB＝7Gm2a3

a2＝mπT2RC，可得T＝π

Gm

. 答案：(1)23Gm2m27

a3

a2 (2)7Ga2 (3)4

a (4)π

Gm